Một số pp cm bất đẳng thức cực hay

3/ Một số phương pháp chứng minh BĐT *PP1: Dựa vào định nghĩa.. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BA – B≥0 *PP6: Vận dụng BĐT Cauchy – BĐT Bunhiacôpxki... Dấu bằng xẳy ra khi và chỉ khi a x

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/

Định nghĩa về BĐT:

2/Tính chất của bất đẳng thức ( Xem SGK toán 8).

3/ Một số phương pháp chứng minh BĐT

*PP1: Dựa vào định nghĩa.

Để cm BĐT A ≥B ta làm như sau:

B1: Xét hiệu A – B

B2: Dùng lập luận chỉ ra A – B ≥0

B3: Kết luận (bao gồm cả việc chỉ ra dấu bằng nếu có)

Ví dụ : cmr a2 + b2 + 1≥ ab + a + b

HD: Xét a2+b2+1 – ab-a-b = … = 12 [ (a−b2) (+ a− 1 2) (+ b− 1 2) ] ≥ 0 ∀a, b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b =1

KL: …

*PP2: Biến đổi tương đương.

Để cm A < B ta biến đổi A < B ⇔ ⇔ C < D Mà BĐT C < D đúng nên BĐT cần cm cũng đúng

Ví dụ : Cmr a >2; b >2 thì ab > a + b.(1)

HD: Ta có (1) ⇔ab – a – b + 1 >1

⇔(a – 1)(b – 1) >0 (2)

Mà a > 2, b > 2 suy ra a – 1 > 1 > 0 ; b – 1 > 1 > 0 suy ra (2) luôn đúng

Vậy BĐT (1) được cm

*PP3: Làm trội – Làm giảm (sử dụng tính chất bắc cầu)

Ví dụ: Cmr 1n

3

1 2

1 1

1 + + + + > n với n∈N, n>1

HD:

n

1

3

1 2

1 1

1 + + + + >

n n

n

1

1

n

n

n

=

*PP4: Phương pháp phản chứng.

Để cm A > B ta giả sử A≤B và lập luận chỉ ra giả sử sai, suy ra đpcm

Ví dụ: Cho a + b = 2mn Cmr ít nhất 1 trong 2BĐT sau là đúng: m2 ≥a;n2 ≥b

HD: Giả sử cả 2 BĐT trên là sai.

Ta có: m2 < 2a ; n2 < 2b suy ra m2 + n2 – (a + b) < 0 suy ra (m – n )2 < 0 – vô lí Vây ta có đpcm

*PP5: Vận dụng các BĐT có chứa dâu giá trị tuyệt đối.

A

A, ∀

≥

A ; A ≥ −A, ∀A ; A ≥ 0 , ∀A

B A B

A + ≥ + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A.B≥0

B A B

A− ≥ − Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B(A – B)≥0

*PP6: Vận dụng BĐT Cauchy – BĐT Bunhiacôpxki.

- BĐT Cauchy: Cho 2 số a,b không âm, ta có : a+b≥ 2 ab

Dấu “ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥0

HQ1:

Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

HQ2:

Nếu 2 số không âm có tổng không đổi tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- BĐT Bunhiacopxki:

Cho 2 cặp số (a;b) và (x;y) : (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu bằng xẳy ra khi và chỉ khi a x =b y ( giả thiết các tỉ số có nghĩa)

- Chú ý: + BĐT cauhy, BĐT Bunhiacôpxki còn được viết ở một số dạng khác

+ Nếu sử dụng BĐT cauchy với 3 số không âm trở lên và sử dụng BĐT

Bunhiacôpxki cho 2 bộ số mỗi bộ số từ 3 số trở lên thì phải chứng minh mới được dùng

*PP7: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai(- kiến thức về phương trình bậc hai).

*PP8: Quy nạp toán học.

*PP9: Dùng toạ độ hình học( PP này đề nghị h ọc sinh tìm hiểu thêm).

5/ PP chung để giải bài toán GTLN, GTNN của biểu thức A(x) xác định trên miền

D là:

• Với bài toán tìm GTLN:

B1: Cm A(x) ≤ m- hằng số ∀x∈D

B2: Chỉ ra tồn tại x = x0 ∈D để tại đó A(x0) = m

B3: Kết luận GTLN của A là m hay MaxA = m khi x= x0

• Với bài toán tìm GTNN ta làm tương tự.

6/ Một số chú ý khi giải bài toán GTLN, GTNN :

- Có khi phải thay bài toán đã cho bởi bài toán tương đương

+ MinA ⇔ Min A2 với A > 0

+ Min A ⇔ - MaxA với A > 0

( Tương tự với bài toán tìm GTLN)

- Có khi phải tìm cực trị trong từng khoảng của biến rồi so sánh để tìm cực trị trên D (GTLN,GTNN)

7/Một số sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán BĐT - Cực trị đại số.

- Trừ từng vế của hai BĐT cùng chiều

- Nhân từng vế của hai BĐT cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm

- Bình phương hai vế của BĐT mà không có giả thiết hai vế không âm

- Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu

- Nghịch đảo hai vế và đổi chiều BĐT khi chưa có giả thiết hai vế cùng dấu

- Thừa nhận xm > xn với m,n nguyên dương và m>n mà chưa biết điều kiện của x

- Sai lầm về việc sử dụng BĐT cơ bản

II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Cmr: x2 + 2y2 + z2 ≥ 2xy – 2yz.

2/ Cmr: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )

1

2

2

2

≥ +

+

x

x

4/ Cho a,b≥1, cmr: a b− 1 +b a− 1 ≤ab

5/ Cmr 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2

6/ Cmr với a,b≥0 thì a+ b≥ a+b

7/ Cmr:

ab b

2 1

1 1

1

2 2

8/ Cmr:

2 2

2

a b

a+ ≤ +

9/ Cmr: n n 21n

2

1 1

1

+ + +

+ + > 12 với n > 1, n∈N

10/Chứng tỏ rằng trong các BĐT sau có ít nhất 1 BĐT là sai: a/ a− ab<0 ; b− ac <0 ; c− ab<0 với a,b,c >0

b/ a( 2-b ) > 1 ; b( 2-c ) > 1 ; c( 2-a ) > 1 với 0 < a,b,c < 2 11/Cmr:

a/ 1x+1y ≥ x+4y với x,y >0

b/ 2 2 3 2 ≥ 14

+

+

b a

ab với a,b >0 và a + b≤ 1

12/ Cmr:

a/ x +y +x− 3 +y− 5 ≥ 8

x

y y

x

với x,y ≠0 13/ Cho x ≥ 3 ; y ≥ 3 ; z ≥ 3 Cmr + + ≤ 1

xyz zx yz xy

14/ Cmr:

a/ 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2 ≥3(xy+yz+zx)

b/ a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)

15/ Cho x > y và xy = 1 Cmr 2 2

2 2

≥

−

+

y x

y x

16/ Cho x2 + 4y2 = 1 Cmr: − 25 ≤x−y≤ 25

17/ Cmr: 2n+2 > 2n + 5 với mọi n nguyên dương

18/ Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x4 + 2x3 + 3x2 +2x +1

c/ C =

1

3 2 4

2

2

+

+ +

x

x x

d/ H = 1 2

3

5

x

x

−

−

e/ E = ( )

x

x+ 2008 2 với x > 0

19/ Tìm GTNN, GTLN của S = y – 2x + 5 biết 36x2 + 16y2 = 9

20/ Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a/ y= x x−1

b/ y=x 1 −x2

c/ y =x+ 2 −x2

d/ y = x3(16 – x3) với 0 < x3 <16

III/ GỢI Ý CÁCH GIẢI

* Các bài từ bài 1 đến bài 5 dùng định nghĩa ( có thể có cách khác VD bài 3 có thể dùng BĐT cauchy)

* Bài 6 đến bài 8 dùng pp biến đổi tương đương

- Chú ý : -Bài 8 ta phải xét 2 TH của vế trái hoặc ta chứng minh VP ≥ a2+b ≥a2+b

* Bài 9: Dùng PP làm trội làm giảm

* Bài 10: Dùng PP phản chứng

* Bài 11, bài 15 bài 18de, 20ad – Dùng BĐT cauchy

* Bài 14 bài 16,bài19, bài 20c – Dùng BĐT Bunhia- copxki

* Bài 12,13 – Dùng BĐT có chứa dấu GTTĐ

* Bài 18c – Dùng PP miền giá trị (Liên quan đến đk có nghiệm của pt bậc 2)

* Bài 17- Dùng quy nạp

* Bài 20b: ĐK x ≤ 1

2

1 2

1 1

1

1 − 2 ≤ − 2 = 2 − 2 ≤ 2 + − 2 = ⇒ ≤

y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =

2 2

KL: GTLN là 21 khi x = …

Chú ý: Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau.

Giáo viên thực hiện : Lê văn Quynh – THCS Yên Phong

Hoàn thành ngày 06/06/2008.