GIẢI MỘT SỐ DẠNG PT VÔ TỈ BẰNG PP ĐẶT ẨN PHỤ

Xét điều kiện đối với t.. Với t không thoả mãn.

giải một số dạng phơng trình vô

tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ

1) phơng trình dạng

+ +d =n (1)

Trong đó a,b,c,d.n là những hằng số, c>o, d≠ 0.

Điều kiện : a+cx 0, b-cx 0 (2) điều kiện này tơng ứng với (a+cx)(b-cx) 0 và a+b

0 Để giải PT này , ta đăt ẩn phụ

t= + , t 0 sử dụng hằng đẳng thức (x+y) ta có 2= t -a-b (3)

PT đẵ cho trở thành PT quen thuộc 2t+d(t -a-b)=2n (4)

đến đây ta giải PT(4) bậc 2 ẩn t 0 rồi thay giá tri t vào (3) để gigỉ PT bậc 2 ẩn x

So sánh nghiệm x tìm đợc với điều kiện ban đầu để rút ra kết luận

Xét điều kiện đối với t Từ (3) có ta+b và t -a-b=  (a+cx)+(b-cx)=a+b

 t2(a+b) vậy điều kiện với ẩn phụ t để PT (3) ẩn x có nghiệm là t (5)

Vì a+b0 nên (5)  (2) là điều kiện để PT (1) có nghiệm

Ví dụ 1: Xét PT + – =n (1)

a) Giải PT với n=2

b) Tìm các giái trị của n để PT có nghiệm

Giải

Điều kiện 











0 3

0 1

x x

 -1x3

Đặt t= + ,t0 khi đó t=4+2 hay 2=t-4 (2)

Với n=2 PT (1) trở thành 2t-(t -4)=4 t -2t=0 t =0, t =2

Nhận thấy t =0 thoả mãn (2) Thay t =2 vào (2) ta đợc =0 x =-1, x =3 thoả mãn điều kiện ban đầu

c) Tơng tự nh trên ta có PT (1) trở thành 2t-(t -4)=2n t -2t+2n-4=0

Nếu = 5-2n 0 thì PT có nghiệm t =1+ , t =1-

Điều kiện ở đây là 2 t 2 Với t không thoả mãn t có 21+  2

2-2 n 2

2) phơng trình dạng

bx

ax 2 2ab- + =cx+m (*) trong đó a,b,c,m là hằng số, a≠ 0.

Điều kiện : x-b 0  xb Thông thòng ở đề bài chỉ cho hiệu số a -b=d, ta phải thay d=a -b Để giải PT (*) đặt ẩn phụ t= , t  0 ta có t=x-b x= t +b Thay vào

x+ a -b 2a đợc t + a  2at= (ta) PT (*)

trở thành | t+a | + | t-a | =c( t +b)+m (**)

Xét 2 trờng hợp:

a) t a thì (**) trở thành 2t=ct +bc+m ct -2t+bc+m=0 (***)

b) 0ta thì (**) trở thành 2a=ct+bc+m ct -2a+bc+m=0 (****)

Giải các PT (***), (****) ta tìm đợc nghiệm , lúc đó x= t +b thoả mãn điều kiện đề bài

Ví dụ 1: Xét PT + = (1)

a) Giải PT với m=23

d) Tìm các giái trị của m để PT có nghiệm

Giải

Điều kiện: x-9 0  x 9 Đặt ẩn phụ t= khi đó x= t +9 PT đã cho trở thành :

6= t +9+m  6( t 3 +t  3 )= t +9+m

 























) 3 0

( 0 27

) 3 ( 0 9

12

2

2

t m

t

t m t

t

a) Với m=23 có 

















) 3 0

( 4

) 3 ( 0 32 12

2 2

t t

t t

t

Giải ra đợc t=8, t =4, t =2  PT có 3 nghiệm là: x =73, x =25, x =13

b)Với t 3 thì t-12t+9+m=0 (t-6) =27-m PT này có nghiệm khi m 27 Với 0 t 3 thì PT t =27-m có nghiệm khi m 27

Vậy PT (1) có nghiệm khi m 27