Casio Xong 1415

Trên tia Bx vuông góc với AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC.. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.. c/ Tìm vị trí

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Môn Toán lớp 9 Năm học 2014  2015

(Thời gian làm bài 150 phút)



Câu 1 : (3,0 điểm)

1/ Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy 1 x 2 1 y 2  2015

Tính giá trị biểu thức C = x 1 y 2 y 1 x 2

2/ Giải phương trình: a/ x2 3x 1 x 3  x2 1

b/ (3x 3)(x 3) 16   5(x 2)(x 4) 54 5 (    x 1)2

Câu 2 : (1,0 điểm).Tìm các số x, y, z

Biết x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx và x 2014 + y 2014 + z 2014 = 3 2015

Câu 3 : (2,0 điểm).

1/ Chứng minh rằng: a b c a b c         a b c     abc với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

2/ Cho

2 2 13

1



x

để đẳng thức trên là đúng với mọi x > 0 và x  4

Câu 4 : (3 điểm).

Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B A, B C) Trên tia Bx vuông góc với AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC

a/ Chứng minh rằng CD = AE và CD  AE

b/ Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AE, CD và MN Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC

c/ Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất này theo m

Câu 5 : (1 điểm).Cho x2y2 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

S = (2 – x)(2 – y)



ĐÁP ÁN  BI U I MỂU ĐIỂM ĐIỂM ỂU ĐIỂM

1/ Hai vế đẳng thức đều dương, bình phương hai vế ta được

2015 = xy 1 x 2 1 y 22 0,25

(3,0 điểm)

=x y2 2 2xy 1 x  2 1 y 2  1 x2 y2x y2 2

= x (y2 2 1) 2xy 1 x   2 1 y 2 y (x2 2 1) 1

 x 1 y 2 y 1 x 22 2014

Hay C2 2014 Mà C > 0 Vậy C 2014

2/ a/ Ta có PT x2 3x 1 x 3  x2 1

 x2 3x 1  x 3  x2  1 0

  x2 12  x x2  1 3x 3 x 2   1 0

 x2 1 x2  1 x  3 x2  1 x 0

  x2  1 x x2  1 3 0



2 2







2 2







2



 

 + PT x2  1 x2  1 = 0 (PT vô nghiệm) + PT x2 + 1 = 9  x2 = 8  x =  2

Vậy PT có hai nghiệm là x 1 = 2 ; x 2 =  2

b/ (3x 3)(x3) 16  5(x 2)(x4) 54 5 (   x1)2

 3(x 1) 2   4 5(x 1) 2  9 5 (   x 1) 2

Vế trái của phương trình 3(x 1) 2   4 5(x 1) 2  9  2 + 3 = 5

Vế phải của phương trình 5 (  x 1) 2  5 Dấu (=) xảy ra khi x =

1

Do đó phương trình có nghiệm khi hai vế cùng bằng 5  x = 1 Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 1

0,25

0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

2

(1,0 điểm)

Ta có : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

 (x  y)2 + (y  z)2 + (z  x)2 = 0

 x = y = z

x2014 + y2014 + z2014 = 32015  3x2014 = 32015  x2014 = 32014  x = 3 Vậy x = y = z = 3

0,25 0,25 0,25 0,25 1/ Ta có: a2 b c 2 a2  a b c a b c       a2(1)

I

N M

F E

D

3

(2,0 điểm)

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên nhân (1), (2) và (3) theo vế ta được: a b c a b c       a b c  2abc2

 a b c a b c    a b c  abc (đpcm) 2/ Đặt x m 0 m 2 Đẳng thức đã cho có dạng:

2

2

2 2



2 2

A B m C B m A C B D m C B E D m A C E

m m

Vì đẳng thức trên (*) đúng với mọi m > 0, m  2 nên

0

 













A B

, giải ta tìm được A=1, B=-1; C=-2; D=-3;

E=-4

0,25 0,25

0,25

0,25

0,5

4

(3 điểm)

a) Xét ABE và DBC, ta có:

AB=BD (gt) BE=BC (gt)

ABE DBC 90  

Vậy  ABE  DBC c g c (   )  CD AE 

Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:

EDF BDC  (đối đỉnh)

AEB BCD do ABE  (   DBC )

EDF AEB BDC BCD

    = 90 nên  DFE 90   0 hay CD  AE b) Gọi M’, I’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, I, N xuống AC

ABE

 có M là trung điểm của AE và MM’//BE Nên MM’ là đường trung bình của  ABE 1 1

Chứng minh tương tự, ta có NN 1BD 1AB

'

Tứ giác MNN’M’ có MM’//NN’ nên MNN’M’ là hình thang

Lại có I là trung điểm của MN, II’//MM’//NN’ nên II’ là đường

0,5

0,5

0,25 0,25

trung bỡnh của hỡnh thang MNN’M’

II

c) Vỡ  ABE  DBC nờn S ABE  S DBC  SABE SDBC  2SABE

mà ABE

1

2

Mặt khỏc

AB BC  2  0 AB 2  2 AB BC BC  2   0 AB 2  BC 2  2 AB BC

Vỡ AB + BC = AC = m (khụng đổi) nờn

2

AC 4 AB BC m 4 AB BC AB BC

4

Dấu “=” xảy ra AB BC m

2

  B là trung điểm của đoạn AC

2 ABE DBC

m

4

  (đvdt)  B là trung điểm của đoạn AC

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

5

(1điểm) S = (2 – x)(2 – y) = 4 - 2x - 2y + xy =

8 4(x y) 2xy

2

x2 y2 2xy 4(x y) 7 x y2 4(x y) 4 3 x y 22 3

Vỡ (x - y)2 ≥ 0 với mọi x, y  2xy ≤ x2 + y2  (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2)

=2  x y  ≤ 2  - 2 ≤ x + y ≤ 2

 - 2- 2 ≤ x + y  2 ≤ 2- 2 < 0

Suy ra: S  2 22 3 9 4 2

Đẳng thức xảy ra  x = y = 2

2



S

  Đẳng thức xảy ra  x = y = 2

2

Vậy maxS = 9 4 2

2

 khi x = y = 2

2

 ; minS = 9 4 2

2

 khi x = y = 2

2

0,25

0,25

0,25

0,25

Ubnd huyện kinh môn

Phòng giáo dục và đào tạo

đề thi chọn học sinh giỏi huyện

Môn: Giải toán trên máy tính CASIO- lớp 9

Năm học 2009 – 2010

( Thời gian làm bài 120 phút)

âu1: (2điểm) 1) Tính kết quả đúng ( không sai số) của các tích sau:

A= 13032006 13032007

B= 3333355555 3333377777

2) Tính giá trị biểu thức M ( Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân) Với

25 30 , 57 30

   

              

Câu 2 : (2 điểm) Một ngời gửi tiết kiệm 100 000 000 dồng( tiền Việt Nam) vào một

ngân hàng theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% 1 tháng

1)Hỏi sau 10 năm , ngời đó nhận đợc bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi) ở ngân hàng.Biết rằng ngời đó không rút lãi ở tất cả các định kì trớc đó

2)Nếu với số tiền trên, ngời đó gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,63%

1 tháng thì sau 10 năm , ngời đó nhận đợc bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi) ở ngân

hàng.Biết rằng ngời đó không rút lãi ở tất cả các định kì trớc đó

(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán)

Câu 3 : (2 điểm) Giải phơng trình (Kết quả lấy các chữ số trên máy khi tính toán)

x 178408256  26614 x 1332007  x 178381643 26612 x 1332007   1

Câu 4 : (1 điểm) Xác định các hệ số a,b,c của đa thức P(x)= ax3 + bx2 +cx -2009

để sao cho P(x) chia cho 13) có số d là 3 , chia cho 14) có số d là 5 và chia cho (x-3) có số d là 4

( Kết quả lấy với 2 chữ số thập phân)

Câu 5 : (1,5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát đợc cho bởi công thức :

  n n

n

U

2 3

 với n=1,2,3,….,k,…..,k,….,k,….. 1) Tính U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8

2) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1

3) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1

Câu 6 :(1,5 điểm) Tam giác ABC có cạnh AC= 3,85 cm; AB= 3,25cm và đờng cao

AH= 2,75cm

1) Tính các góc A,B,C và cạnh BC của tam giác

2) Tính độ dài trung tuyến AM(M thuộc BC)

3) Tính diện tích tam giác AHM

( Góc tính đến phút, độ dài và diện tích lấy kết quả với 2 chữ số thập phân)

đáp án – biểu điểm biểu điểm

1

A= 169833193416042

B= 11111333329876501235

M1,7548

0,5 0,5 1

2

1) 100 000 000

20

3,9

100

đồng

1

2) 100 000 000

40

1,89

100

3

1) x = - 0,99999338

2) 175717629< x < 175744242

1 1

4 a= 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28 1

5

1) U1=1; U2=26; U3=510; U4=8944; U5=147884; U6=2360280;

U7= 36818536; U8=565475456

2) LËp c«ng thøc : Un+1= 26Un-166Un-1

3) 26 SHIFT STO A x 26 - 166 x 1 SHIFT STO B

LÆp l¹i d·y phÝm :

x 26 - 166 x ALPHA A SHIFT STO A

x 26 - 166 x ALPHA A SHIFT STO B

0,5

0,5

0,5

6

B 57 48 ; C 45 35 ; A 76 37

2) AM= 2,79 cm

3) SAHM=0,66 cm2

0,5 0,5 0,5