tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề bất đẳng thức, cực trị

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề bất đẳng thức, cực trị tham khảo

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu

ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Trang 2

Đối với y'0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu y''0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f ' x rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại xb: y AxB

Nếu f x  AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb

Trang 3

Khi đó f a 1  f a 2   f a n A a 1a2  a nnB

Anb nB n Ab B nf b

Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n b

Còn nếu f x AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb thì có ngược lại

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi 0;

Trang 4

Trang 5

Trang 6

Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương:

n n

1'

Trang 7

Với 0 x 2n thì f liên tục trên đoạn 0; 2n nên tồn tại giá trị bé nhất tại x0 Nếu x0 0 hay

Trang 8

f x

xy x

Trang 9

x xy y x  xy x y x yx y

Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f ' x đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x  f y 0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y

Bài toán 6.6: Cho x y z, , 0 và x  y z 1 Chứng minh:

Trang 10

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosbcosa  b a với a, b tùy ý

 Không mất tính tổng quát, giả sử ba

Hàm số f x cosx liên tục trên  a b; và có đạo hàm f ' x  sinx

Theo định lý Lagrange, tồn tại c a b; sao cho:

Trang 11

Theo định lý Lagrange, tồn tại cx x; 1 sao cho:

Trang 12

Trang 13

f  nên tiếp tuyến tại x1 là:

x

x x

Trang 14

111

n

n i i

n n

x x x

e e e

x

n i i

Trang 15

Ta chứng minh: f n1 x   0, x  0; Giả sử có số x0 0; mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0 x1  Ta có

Trang 16

Trang 17

Trang 18

F a b c d abc bcd cdadab abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

b  c b c  thì tương tự lí luận trên:

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Trang 19

Bài toán 6.16: Cho a b c, ,  1,a b c  1

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho 1

1

Trang 20

  Khi đó do điều kiện a b c, ,  1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c, 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

Trang 21

Dấu “=” xảy ra khi a  b c d

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 22

x y

Khi 0 x 1 thì y 1 2 22

Vậy min y2 2 2 tại x 1 2

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n

a) Tìm giá trị lớn nhất của ycosp x.sinqx với 0

p q

p q y

Trang 23

A dấu = xảy ra khi 1

2

x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

16

Trang 24

Bài toán 6.22: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 4a b c    9 0 Tìm GTNN của

Trang 25

Trang 26

M  khi 2x2 3y2, min M 0 khi y0

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

2 3

x y z   xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3 2,y z 0

Vậy min P 34, đạt được khi 3

x y z

Trang 27

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

x y x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

minPmin f t  f 0 18, đạt khi t  0 x 1,y1

Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:

Trang 28

Suy ra 2x 2y2  y 2x2 2

Do đó dấu đẳng thức xảy ra nên 2

2

x y và y 2x2 Suy ra x y, 0 và x2 y2 2

Đặt t x y Khi đó  2 2

0 t 2 x  y 2 Đặt t x y Khi đó  2 2

Trang 29

   nên P25 Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 30

Do đó P 5, dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a  b c 1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 31

Trang 32

max f t  f 3 32;min f t  f 2 22 nên 2 P 4

Vậy max P4, đạt khi a  b c 1

2

Min P , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2

3

x  y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 33

y z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 34

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

2, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại

Bài toán 6.36: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hướng dẫn giải

Trang 35

Điều kiện

2 2

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên ¡ và thỏa mãn:

cot  sin 2 cos 2 ,

f x  x x  x ¡ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f x f   1x trên đoạn 1;1

2 2

Trang 36

2

2 2

Trang 37

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x y 1

Trang 38

Bài toán 6.4: Chứng minh

4

a b c 

và a b c  1

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x1

b) Tiếp tuyến tại 1

Bài toán 6.5: Chứng minh

A B C  với tam giác ABC

b)

1 1

Bài tập 6.6: Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn, cạnh là a, b, c Chứng minh:

Trang 39

Trang 40

a) Đặt tcosxsinx rồi xét hàm

a   b c d

b) Kết quả 3

10 khi

13

Trang 41

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	842,21 KB