Chuyên đề bất đẳng thức ôn thi đại học

2 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3 2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa.. Bình luận Các bạn hãy xem thêm các bài tập 2.16 trên trang 16, 2.17 trên trang 16, rồihãy cho nh

Mục lục

1.1 Định nghĩa bất đẳng thức 2

1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 2

2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3 2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa 3

2.2 Phương pháp biến đổi tương đương 5

2.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức X2 ≥ 0 7

2.4 Dùng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh bất đẳng thức 9

2.4.1 Bất đẳng thức Côsi 9

2.4.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 17

2.5 Phương pháp phản chứng 21

2.6 Phương pháp quy nạp 23

2.7 Phương pháp tam thức bậc hai 25

2.8 Phương pháp đạo hàm 29

2.9 Phương pháp hình học, toạ độ, véctơ 35

2.10 Phương pháp miền giá trị 39

2.11 Các phương pháp khác 41

2.11.1 Phương pháp làm trội 41

2.11.2 Phương pháp lượng giác 43

3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 48 3.1 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 48

3.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 54

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Định nghĩa bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1 Cho hai số a và b, ta nói rằng a nhỏ hơn b và kí hiệu là a < b nếu a − b

âm a < b ⇐⇒ a − b âm

Tương tự ta có a lớn hơn b và kí hiệu là a > b nếu a − b dương a > b ⇐⇒ a − b dương

Định nghĩa 1.2 Cho a, b là hai biểu thức số, các mệnh đề dạng ”a < b” hoặc ”a > b”được gọi là bất đẳng thức

Định nghĩa 1.3 Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b nếu a < b hoặc a = b và kí hiệu là a ≤ b.Vậy a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b

Tương tự ta cũng có định nghĩa cho a lớn hơn hoặc bằng b

Tính chất 1.5 Quy tắc nhân hai bất đẳng thức với một số:

Tính chất 1.7 Với hai số a, b > 0; n nguyên dương ta có: a < b ⇔ an< bn

Tính chất 1.8 Với a, b > 0, n ∈ N, n ≥ 1 ta có: a < b ⇔ √n

a < √n

b

2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa

Để chứng minh A > B, ta đi chứng minh A−B dương và ngược lại, để chứng minh A < B

ta chứng minh A − B âm Sau đây là các ví dụ:

Vậy bất đẳng thức luôn đúng Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Ví dụ 2.3 Chứng minh rằng với mọi a, b ta luôn có

Do đó S ≥ 0, dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi

√

a+√b

´

=

4

√ab

Bài tập 2.3 CMR với mọi a, b, c ta luôn có a2+ b2+ c2 ≥ ab + bc + ca

Bài tập 2.4 Cho a, b, c ≥ −1, chứng minh rằng

2.2 Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh về một BĐT đã biết hoặc BĐT hiển nhiênđúng Sau đây là các ví dụ:

Ví dụ 2.6 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng a

b + b

a ≥ 2Lời giải

2)

2+ (

√3

2 b)

2

¸

≥ 0 (luôn đúng)Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b

Ví dụ 2.8 Cho các số thực dương a, b, chứng minh rằng

Bất đẳng thức trên đúng vì √a −√b và a − b luôn cùng dấu Vậy BĐT ban đầu đúng.Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Bất đẳng thức cuối đúng vì ab ≥ 0, do đó bất đẳng thức ban đầu đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc a = 0 hoặc b = 0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài tập 2.7 Chứng minh rằng ∀a ∈ R∗

2

a2+ b2

Bài tập 2.11 Chứng minh rằng (a5+ b5)(a + b) ≥ (a4+ b4)(a2 + b2) với ab > 0

2 Mà a+b ≥ 2, nên ta suy ra ngay a2+b2 ≥ a+b.

Ở câu b chúng ta có thể làm như sau:

Ta có: a2+ 1 ≥ 2a và b2+ 1 ≥ 2b, suy ra a2+ b2 ≥ a + b + (a + b − 2) ≥ a + b

Bình luận Cả hai cách giải của câu b chúng ta đã sử dụng phương pháp tách theo lượngtrội như sau: Để chứng minh A ≥ B, có thể làm theo hai cách:

C1 Chứng minh A ≥ B + C, rồi chứng minh C ≥ 0

C2 Chứng minh A ≥ BC, (giả sử B > 0 ) rồi chứng minh C ≥ 1

Vẫn sử dụng ý tưởng tách theo lượng trội như trên, ta xét ví dụ sau:

Lời giải Đặt x = √a, y = √b, z = √c Ta có x, y, z > 0 và x2 + y2+ z2 ≤ 3 Ta cầnchứng minh

Bình luận Bất đẳng thức trên tuy đơn giản, nhưng nó lại có ứng dụng rộng rãi Người

ta thường hay sử dụng hai dạng đặc biệt của nó, đó là:

p− b +

1

p− c ≥

4(p − b) + (p − c) =

4a1

p− c +

1

p− a ≥

4(p − c) + (p − a) =

4bCộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra:

¶

Dấu bằng xảy ra ⇔ p − a = p − b = p − c ⇔ a = b = c ⇔ ABC là tam giác đều

Ví dụ 2.14 Cho a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng

1

a+ 3b + 2c =

13b + (a + 2c) ≤ 14µ 1

19

µ 1

a +1

c +1c

¶¸

12

µ 13a +

1

b + 2 13c

¶

(1)Hoàn toàn tương tự ta có

¶

(2)1

c+ 3a + 2b ≤121 µ 1

3c +

1

a + 2 13b

¶

(3)Cộng từng vế các bất đẳng thức ( 1), ( 2), ( 3) ta được

¶

Mặt khác theo giả thiết, từ ab + bc + ca = abc ta có 1

1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a3, a3, b3 ta được

a3+ a3+ b3

≥ 3√3

a6b3 = 3a2bTương tự ta cũng có:

Từ đó suy ra điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = d

Bình luận Các bạn hãy xem thêm các bài tập 2.16 trên trang 16, 2.17 trên trang 16, rồihãy cho những trường hợp đặc biệt để có những bất đẳng thức "phù hợp" với mục đíchcủa bạn

Ví dụ 2.16 Cho a1, a2,· · · , an là các số không âm Cho α1, α2,· · · , αn là các số hữu tỉdương sao cho α1+ α2+ · · · + αn= 1 Chứng minh rằng

Trong đó p1, p2,· · · pn, N là các số nguyên dương và p1+ p2 + · · · + pn= N

1 a

p2N

2 · · · a

pnN

(a + b + c)µ 1

a + 1

b + 1c

¶

≤ 818

Từ (a − 1)(a − 2) ≤ 0 ta có a + 2

a ≤ 3 Do đó(a + b + c) + 2µ 1

a +1

b +1c

¶

≤ 9

Mặt khác

s(a + b + c)µ 1

a +1

b +1c

¶

≤ 818 (đpcm)

+ b + 1Mặt khác a ≤ b ≤ c do đó ta có:

Ví dụ 2.20 Cho ai ≥ 0, i = 1, n thoả mãn điều kiện 1

1 + a1

1 + a2+· · ·+ 1

1 + an = n−1.Chứng minh rằng a1a2· · · an≤ 1

µ

1 − 1 + a1

3

¶+ · · · +

1 + an ≥ (n − 1)n−1

r a1a2· · · an−1

(1 + a1)(1 + a3) · · · (1 + an−1)Nhân từng vế của n bất đẳng thức trên, ta được:

1(1 − a1)(1 + a2) · · · (1 + an) ≥ (n − 1)n(1 + a a1a2· · · an

Ví dụ 2.21 Cho hai dãy số không âm a1, a2,· · · an; b1, b2,· · · bn Chứng minh rằng

n

p(a1+ b1)(a2+ b2) · · · (an+ bn) ≥ √na

1a2· · · an+ pn

b1b2· · · bn

Lời giải.Có hai khả năng xảy ra

1 Nếu (a1+ b1)(a2 + b2) · · · (an+ bn) = 0 thì bất đẳng thức đã cho đúng

2 Nếu (a1 + b1)(a2+ b2) · · · (an+ bn) > 0 khi đó bất đẳng thức đã cho được viết lạidưới dạng:

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1

− 1) + 2 = 4 từ đó suy ra điều phải chứngminh

2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho p số sin2x

q số

ssin2px

Bài tập 2.15 Cho tam giác ABC, O là điểm tuỳ ý trong tam giác, AO, BO, CO kéo dài

cắt các cạnh đối diện tại M, N, P Chứng minh rằng:

AO

OP ≥ 6

Bài tập 2.16 Cho a, b, c là những số không âm, n, k là những số tự nhiên, n ≥ 2, k ≥ 1.Chứng minh rằng

Bài tập 2.18 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có ha+ hb + hc ≥ 9r, ở đây

ha, hb, hc là ba chiều cao của tam giác còn r là bán kính đường tròn nội tiếp

Bài tập 2.19 Cho a, b > 0; x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng

µ

a+ bx

¶4

+

µ

a+ by

¶4

+

µ

a+ bz

¶n

>

µ

1 + 1m

cos (α − β) +

sin γ sin βcos (γ − β)+

sin α sin γcos (α − γ) ≤

34

Bài tập 2.25 Cho x, y, z > 0 và 1

x+ 1

y +1

z = 4 Chứng minh rằng1

1 Dạng tổng quát: cho hai dãy số a1, a2,· · · an và b1, b2,· · · bn Khi đó ta có

b1 = a2

b2 = a3

b3Bình luận Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki trong trường hợp tổng quát đã đượcchúng tôi trình bày trong phần Phương pháp tam thức bậc hai Cho nên ở đây chúng tôikhông trình bày lại, bạn hãy xem ví dụ 2.37 trên trang 26 Sau đây chúng tôi trình bàyứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopxki trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

1 =

b

3 =c5

≤ (3 + 4)(3x2+ 4y2)Vậy 3x2+ 4y2 ≥ 7 Dấu bằng xảy ra ⇔

3Lời giải.Ta có:

a2+ b2 + c2

≥ 13(a + b + c)2 = 1

3

·(a + b + c)µ 1

a +2

b +3c

¶¸2

≥ 13(1 +√

2 +√3)4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

(y +x

2)

2+ (

√3

2 z)

2

= 3Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(

√3

2 x)(y +

x

2) + (

√3

2)

2+ (

√3

2 z)

2

¸

=√16.3 = 4√

3

Từ đó suy ra

√32

µ

xy+ zx

2 + yz +

zx2

¶

≤ 4√3Hay xy + yz + zx ≤ 8 (đpcm)

Ví dụ 2.27 Cho a1, a2,· · · an; b1, b2,· · · bn là hai dãy số, trong đó bi >0, ∀i = 1, n Chứngminh rằng:

a2 1

b1

+ a

2 2

b2 + · · · + a

2 n

b1 +a

2 2

b2 + · · · + a

2 n

bn

¶(b1+ b2+ · · · + bn) ≥ (a1+ a2+ · · · + an)2

⇔a

2 1

b1

+ a

2 2

b2 + · · · + a

2 n

S− xi ≥ n 1

− 1Lời giải.Đặt ai =

r

x3 i

S− xi ≥

µ nP

i=1

x2 i

Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: nPn

i=1

x2

i ≥

µ nP

i=1

xi

¶2

hayn

Từ ( 1 trên trang trước), ( 2 trên trang ngay trước) và ( 3 trên trang trước) suy ra:

Bài tập 2.29 Cho x2+ y2 = 1 Chứng minh rằng x√

Bài tập 2.36 Pháp biểu và chứng minh bài toán tổng quát của bài tập 2.31

Bài tập 2.37 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh

a2+ b2

≥ 45

Sau đây là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.29 Cho các số dương a, b Chứng minh rằng nếu a < b thì 1

a >

1

b.Lời giải.Giả sử 1

a ≤ 1b Khi đó1

a − 1b ≤ 0 ⇔ b− aab ≤ 0 ⇔ b − a ≤ 0 (vì ab > 0)

Suy ra b ≤ a, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy điều giả sử là sai hay 1

Điều này vô lí Vậy |x + y| ≤ |x| + |y|

Ví dụ 2.31 Cho các số không âm a, b, c, d Chứng minh rằng

p(a + c)(b + d) ≥√ab+√

Điều này vô lí, vì theo BĐT Cauchy thì ad + bc ≥ 2√ad.bc

Vậy BĐT ban đầu là đúng

Ví dụ 2.32 Chứng minh rằng 1 +

√5

5p10 − 2√5 <

√3

6

Lời giải.Giả sử 1 +

√5

5p10 − 2√5 ≥

√3

⇔ 72 + 24√5 ≥ 250 − 50√5

⇔ 37√5 ≥ 89

⇔ 6845 ≥ 7921 (vô lí)

Vậy điều giả sử là sai Ta có đpcm

Ví dụ 2.33 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, x, y ta có

(a2+ b2)(x2+ y2

) ≥ (ax + by)2.Lời giải.Giả sử (a2+ b2)(x2+ y2) < (ax + by)2 Khi đó

một trong hai BĐT sau là đúng: c2 ≥ a; d2 ≥ b

Hướng dẫn: Phản chứng, dẫn đến (c − d)2 <0, vô lí

Bài tập 2.40 Cho các số a, b, c thỏa mãn 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng ít nhất một

trong các BĐT sau là sai: a(1 − b) > 1

4; b(1 − c) > 14; c(1 − a) > 14.Hướng dẫn: Phản chứng, dẫn đến

2.6 Phương pháp quy nạp

Cho n0 là một số nguyên dương và P (n) là một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0.Nếu

1 P(n0) là đúng và

2 Nếu P (k) đúng, thì P (k + 1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k ≥ n0 thì mệnh đề

P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0

Ví dụ 2.35 Cho a, b là hai số tuỳ ý và thoả mãn a + b ≥ 0 Chứng minh rằng ∀n nguyêndương ta đều có:

³ a + b2

• Với n = 1 dễ thấy ( 1 trên trang trước) đúng.

• Giả sử ( 1 trên trang ngay trước) đúng với số nguyên dương n = k, ta có

³ a + b2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài tập 2.43 Chứng minh rằng³1 + 1

n

´n

<3

Bài tập 2.44 Chứng minh rằng nếu a > −1 và n là số nguyên dương, thì (1+a)n≥ 1+na

Bài tập 2.45 Chứng minh rằng nếu n ∈ N, n ≥ 2 thì

Bài tập 2.46 Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, α tuỳ ý ta có

| sin nα| ≤ n| sin α|

2.7 Phương pháp tam thức bậc hai

Nội dung của phương pháp này là sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

1 Định lý thuận: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c(a 6= 0) và ∆ = b2− 4ac

• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x

• Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x 6= − b

2a

• Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 giả sử (x1 < x2) Thế thì

f(x) cùng dấu với a với mọi x ngoài đoạn [x1; x2] và f (x) trái dấu với a khi x

ở trong khoảng hai nghiệm (x1; x2) (Hay nói gọn là "trong trái ngoài cùng")

2 Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c(a 6= 0) và một số thức α Nếu

af(α) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2(x1 < x2) và x1 < α < x2.Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Giả sử cần chứng minh ax2+ bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R Khi đó ta chứng minh a > 0

và ∆ = b2 − 4ac ≤ 0

Dạng 2: Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức dạng b2− 4ac ≤ 0, khi đó ta lập một tamthức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c(a 6= 0), rồi biến đổi đưa tam thức này về dạng các tổngbình phương để khẳng định rằng f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Từ đó suy ra ∆ = b2− 4ac ≤ 0.Dạng 3: Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức dạng b2− 4ac ≥ 0, khi đó ta lập một tamthức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c(a 6= 0), rồi chỉ ra rằng tam thức này có nghiệm bằngcách tìm α ∈ R sao cho af(α) ≤ 0 hoặc tìm α, β ∈ R sao cho f(α)f(β) ≤ 0

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 2.36 Cho tam giác ABC bất kì, A, B, C tương ứng là ba góc của tam giác ứng

với ba cạnh a, b, c Chứng minh rằng ∀x ∈ R ta đều có:

1 + x

2

Lời giải.( 1) ⇔ x2− 2x(cos B + cos C) + 2(1 − cos A) ≥ 0

Đặt f(x) = x2− 2x(cos B + cos C) + 2(1 − cos A) thì f(x) là một tam thức bậc hai của x

Ví dụ 2.37 Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki tổng quát Cho

Ví dụ 2.39 Các số a, b, c, d, p, q thoả mãn điều kiện: p2 + q2 − a2 − b2 − c2 − d2 ≥ 0.Chứng minh rằng:

p, ta có:

f(α) = −

µ(aα − c)2

Ví dụ 2.40 Chứng minh rằng ∀x, y ta đều có

(x + y)2

− xy + 1 ≥√3(x + y)Lời giải.Ta có:

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 9 −

√3

6 , y =

√33

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Với cách giải tương tự như những ví dụ trên, ta có có thể giải các bài tập sau:

Bài tập 2.47 Chứng minh rằng ∀x, y ta luôn có:

x2(1 + sin2y) + 2x(sin y + cos y) + 1 + cos2y >0

Bài tập 2.48 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng ∀x, y, z ta có

x2+ y2+ z2

≥ 2xy cos C + 2yz cos A + 2zx cos B

Bài tập 2.49 Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

(

x2+ y2 + z2 = 8

xy+ yz + zx = 4Chứng minh rằng −8

2.8 Phương pháp đạo hàm

Để giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng đạo hàm, thường chúng ta làm theocác bước sau:

@Bước 1: Xác định hàm f(x) và miền xác định D của nó

@Bước 2: Xét sự biến thiên của f(x) trên D hoặc trên những đoạn con thích hợp của D

@Bước 3: Từ sự biến thiên của f(x) trên D kết hợp với tính chất của đồ thị hàm số f(x)suy ra kết luận của bài toán

* f′

(x) > 0 ⇔ x3 >(1 − x)3 ⇔ x > 1 − x ⇔ x > 1

2.Bảng biến thiên của f(x):

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) ≥ 1

8, ∀x ∈ RVậy, x4+ (1 − x)4 ≥ 1

y + 1

⇔ lnxy − 2

x

y − 1x

y + 1 >0 (1)Nếu đặt t = x

khảo sát sự biến thiên của một hàm f nào đó Vì vậy chúng ta cần chú ý đến mấy điểmsau:

Œ Phải xác định đúng hàm f và tìm đúng miền xác định D

 Việc xác định dấu của f′

có thể tiến hành theo các cách sau:

« Tìm các điểm tới hạn của hàm số f, rồi lập bảng xét dấu của f′

« Giải bất phương trình trên miền D

« Nếu không tìm được các điểm tới hạn của hàm số f thì ta tính f′′

rồi từ dấu của

f′′ xác định được các khoảng đơn điệu của f′

Từ đó xác định được dấu của f′

(xem ví

dụ 2.45)

Ž Việc xác định hàm số f có thể theo nhiều hướng nhau, không có một quy tắc nào chophép xác định các hàm f Một số bài thì hàm f có thể nhìn thấy ngay từ đề bài ( xemcác ví dụ 2.41 trên trang 29, 2.42 trên trang 29 ), một sô thì phải biến đổi khéo mới đượchàm f hợp lý (?) Nhìn chung để tìm được hàm f thích hợp thì chúng ta cần hướng dẫnhọc sinh nghiên cứu kĩ đề bài, ví dụ 2.46 trên trang tiếp là một ví dụ về việc xác địnhhàm f cho thích hợp

1

2007 <ln 2007 − ln 2006 < 20061Xét hàm số f(x) = ln x, với x > 0 Ta có f′(x) = 1

x >0, ∀x > 0

Do đó theo định lí Lagrange thì ∀0 < a < b đều tồn tại c ∈ (a; b) sao cho:

ln b − ln a = 1c(b − a)Đặc biệt với a = 2006, b = 2007 suy ra ∃c ∈ (2006; 2007) sao cho

f”(x) = − sin x + x ≥ 0, ∀x ≥ 0 (chứng minh điều này tương tự như ví dụ 2.41 trêntrang 29).

Suy ra f′(x) là hàm đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f′(x) ≥ f′(0) = 0, ∀x ≥ 0 Do đó hàm

(

x= 1

x= π4

điều này là vô lý

Vậy f(x) < g(x), ∀x ∈ (0;π

2) hay 3x − x3 < 2

sin 2x

JLời bình:

Trong ví dụ này, nếu chúng ta xét hàm số f(x) = 3x − x3

−sin 2x2 trên miền (0;π

2) thìvềnguyên tắc là vẫn được Nhưng thực tế việc xét dấu của f′(x) = 3 − 3x2+ 4cos 2x

sin22x trên(0;π

2) là rất khó khăn Vì, f′(x) có chứa cả biểu thức lượng giác và biểu thức đại số

BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài tập 2.54 Chứng minh rằng ∀x ∈ (0;π

2) ta có:

i sin x > 2x

π

j 2sinx+ 2tgx >2x+1

Bài tập 2.60 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 ta có nn+1>(n + 1)n

Bài tập 2.61 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để:

y ≤ −2x2+ 3xChứng minh rằng: x2+ y2 ≤ 2