CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộ

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người

sử dụng Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứng minh bất đẳng thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học

Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất đẳng thức Cô si Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực trong chương trình Toán học phổ thông.

Bất đẳng thức Cô si được áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản đến phức tạp Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và

vận dụng vào các bài toán hai biến Nhưng , cũng có những bài toán trở thành những thách thức lớn trong giới chuyên môn.

Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó

Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực tập.

Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã

giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em

học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này

Giải

ab b

Giải

0 ) (

2 ) ( ) ( 2

2 2

b a

Giải (I.1.1) abc 3 3 abc  abc 3 abc  4 3 abc

2

abc c

b

3

2 2

2 ab c abc

abc c

b a







c b

b) a b c abc

3

3 3

3

Ví dụ 2.Với a1,a2, ,a nlà các số thực không âm, chứng minh rằng

n n

i i n

i

a n

1

1 1

) ( 1

n (I.1.2) hiển nhiên đúng

Giả sử (I.1.2) đúng với nk(k  2 ) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

1 1

S

k k

i i k

i i k

Theo giả thiết quy nạp thu được

S

k k k

i i k

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 ta cần chứng minh

1 1 1

1 1 1

1

) ( 1

) (

i i k

k k

i

i

a k

a a



k k k

i i k

) (

Vậy (I.1.2) được chứng minh

Cách 2 (Dùng quy nạp kiểu Côsi).

2

,

1



n (I.1.2) hiển nhiên đúng

Giả sử (I.1.2) đúng với n số không âm ta chứng minh (I.1.2) đúng với 2n sốkhông âm

i i n

i

n

a n

2

1 2

) ( 2

1

1 1

n

i i n n

a 2

1 2

1

) (

1 1

1

) ( 1

i

a k

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1

) ( )

k

i i k

1 1

i

i a a k

1 1 1 1

1 1

1

) ) (

1 1

i

1 1

i i a

x1 2   n

 n

n x x

a1  2   n  n

n a a

a1. 2 (6)ii) Nếu tồn tại ak = 0, thì hiển nhiên (5) đúng và (6) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 3 Cho a i  0 (i  1 ,n); i(i 1 ,n) là các số hữu tỉ dương; 1

 ; chứngminh rằng

n

n n

n a a a a a

2 1 2

2 1

 nên ta có thể viết

) , 1

n i P n

i i i

1

) , 1 ( , 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

n

P P

n P P n

P

n n

n

P P

a a a P

P P

a a

a a

a a a a

2 1 2

1

2 2

2 1 1

2 1

n

a a a a N

P a

N

P a

2 1 2

2 1



n n

n a a a a a

2 1 2

2 1

Ví dụ 4 Với a i  0 (i 1 ,n);m i(i 1 ,n) là các số hữu tỉ dương; chứng minh rằng

m m

n m m n

n n

a a a m

m m

a m a

m a

1

2 2 1

n

i m m

 Khi đó

n n

n a a a a a

2 1 2

2 1

( theo bất đẳng thức (I.1.3)

1 1

i

1 1

i i a

 gọi là trung bình điều hòa

Trong mục này chúng ta quan tâm tới các bất đẳng thức được chứng minh nhờcác tính chất của các dạng trung bình như;

1 Trung bình nhân

2 Trung bình căn

3 Trung bình điều hòa

4 Mối liên hệ giữa các dạng trung bình

I Trung bình nhân.

Chúng ta có các kết quả cơ bản sau:

Ví dụ 1 Với a i,b i(i  1 ,n) là những số thực dương Chứng minh rằng

n n

i

i i n

n

i i n

1 1

1

) (

) ( )

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

i i i

i b a

a P

i i i

i b a

a n

a

n 1

1

i m

j ij n

1 1

) (

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1 ) (

j

m

j ij

ij a

a P

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được

n a

a n

1 1

i m

j ij

ij m

j

n a

i i n

) ( 1 ) 1

GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với

n n

i i n

1

) ( 1 ) 1

1 (

i n

a a

a n a n

P

1

1 1

1 1

1 1 1

Ví dụ 4.Với a i,b i(i 1 ,n)là những số thực dương,chứng minh rằng

n n n

i i n

n

i i n

1 1

) ( ) ( 1 ) 1

GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với

n n

i i n

1

) ( 1 ) 1

1

1

) (





1 ) 1

( ) 1

( ) 1

1 (

1 1

i n

n

i n

i

b b

a

a b

a P

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được

a n

b a n

P

1

1 1

b

n 1 1 1

1 1 1

m

i

i m

i

a

1 1

1

) (

) (

m

i i m

i

i m

i

a

1 1

1

1

) (

) (

i i A

i i B

1

) (

1

m

i i i i

i C B A

1

m

i i i i

i C B A

B

1 ) (

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được

A m

C B A

C B A

Bất đẳng thức (I.2.5.1) là trường hợp riêng của bất đẳng thức (I.2.5.2)

II Trung bình căn.

Ta có tính chất: tổng trung bình căn lớn hơn hoặc bằng trung bình căn của tổng

Ví dụ 6 Với a i,b i(i  1 ,n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng

2

1 2

1 1

2 2

) ( )

i i n

1 b

a a22 b22  (a1a2)2  (b1b2)2Bình phương hai vế ta nhận được

2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 2

1 b a b 2 (a b )(a b ) (a a ) (b b )

 (a12b12)(a22b22) a1a2 b1b2

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2



0 ) ( 1 2  2 1 2 

Giả sử bất đẳng thức đúng với nk

2

1 2

1 1

2 2

) ( )

i i k

1

2

1 2

1

) ( )

i

a  a k21b k21

 2

1

1 2 1

1

) ( ) ( 

1 1

i i n

2 3 2

1 3

1 b a b (a a ) (b b )

Lập phương hai vế bất đẳng thức ta thu được

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 3 2 3 1 3 1

2 3 2 2 3 1 3

(a b a b a1a1a2 b1b1b2 a12a2 b12b2

2 3 2 3 1 3

1 1

1

) ( ) (

k

i k

i

1 3

1 

  k

k b a

1

1 1 3

1

1

) ( ) ( 

i

a

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

III Trung bình điều hòa

Ta xét các bất đẳng thức cơ bản sau

Ví dụ 8 Cho a i,b i  0 (i 1 ,n),chứng minh rằng

i i

n

i i n

i i n

i i i

i i

b a

b a b

a

b a

1 1

1 1

1

) )(

(

(I.2.8)

GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với

i i b b a

b a

i i

n

i i n

i i

b a

b a

1 1

1 1

) )(

i i

n

i i

b a

b

1 1

2

1

) (

Ta có

2

1 2

1

) (

i

b a

b

1

2

) (

c b a c

c b

b a

a P

6 3

3 2

) (

6 3 3

3 2 2

2 1

c b

b a

a

c b a c

b a

9 2

4 1

1

Ta có

2 2

) 3 3

3 2

2

2 1

1

1 ( 6

c

b b

) 6

(

c b a

IV Các bất đẳng thức liên hệ giữa các dạng trung bình

Ví dụ 10.Với a, b là các số thực dương, chứng minh rằng

2 2

ab b a

ab 



2

0 ) (

4

) ( 2

2

2 2

2 2 2

a b a b

a b a

Đúng

Suy ra

2 2

ab b

3 3

2 2

b a b

a   

(I.2.11)Giải :

Lũy thừa 12 cả hai vế bất đẳng thức trên ta nhận được

3 4 4 4

3 3

) (

2 ) (a b  a b

Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.1)

3 4 4 4

4 4 4 4

3 3

) (

2 ) )(

1 1 ( ) 1 1 ( ) (a b  a a a b b b   a b  a b .(đpcm).

Bài 2 Với a,b,c 0, chứng minh rằng

6 6 6 5

5 5 5

3 3

c b a c

5 6 6 6 6

5 5 5

) (

3 ) (a b c  a b c

Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.2) ta có

6 6

5 5 5

) 1 1 1 ( ) (a b c  a a a a a b b b b b c c c c c

) )(

1 1 1 ( 6  6  6 a6 b6 c6

Bài 3 Với a,b,c 0, chứng minh rằng

) 1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3)  ( 1 ab2) ( 1 bc2) ( 1 ca2) (1  a 3 )

Hướng dẫn

Ta có

) 1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3)  ( 1 ab2)3)

1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3)  ( 1 bc2)3)

1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3)  ( 1 ca2)3Nhân các vế của 3 bất đẳng thứctrên ta thu được đpcm

Bài 4 Với a,b,c 0, chứng minh rằng

) 1

( a3b3 ( 1 b3 c3) 3 3 3

) 2 1 ( ) 1

( c a   abc

Hướng dẫn

Sử dụng

) 1

( a1b1 ( 1 b1c1) 3 3

3 2 1 3

3 2 1 1

1 ( c a   a a a  b b b

 2 1 2

1 b

1 2

1 c

b c12 a12  (a1a2 a3)2  (b1b2 b3)2Chọn a1 a2 a3  1 ;b1 a,b2 b,b3 c ta thu đpcm

Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.10) ta có

2

AB B

AB B



 2

AB B

A

B(  )  2



AB B

B Đúng.( B 0,AB)

Ta chứng minh

A B A





2

2A B

Ví dụ 2 Với AB 0,chứng minh rằng

A B

A B

A

B          

1 1

) 2 ( ) 2

B 

A B

Đặt A  a B  b

1 1

,B b a

) 2 ( ) 2 (a b a b

( 2

b a b

b a

) (

b a

b





) 2

1 (

1 (

2 ) 1



Xét f (t) t   ( 1 t) , ( 0 t 1 )

1 1

'

) 1 )(

1 ( )

(t  t    t 

f

1 1

) 1

1 ( 2

2

1 ( 2 ) 2

1 ( )

2 ) (

2 ) (

3 )

a2  2  2

bc c

b2  2  2

ca a

c2  2  2

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được

ca bc ab c b

a2  2  2   Suy ra

) (a2 b2 c2 2 ab bc ca 2ca

a   3 abc

) ( a b  c  ( 1  1  1 )(abc)  3 (abc)

Suy ra

c b

a 

2

) 3

( )

2 ) (

)(

1

(  AB  ( 0   1 ) mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của  Chúng taxây dựng một số BĐT nhờ việc đưa tham số vào bất đẳng thức và các trườnghợp đặc biệt của nó

Ví dụ 1 Với 0 ,,  1, chứng minh rằng

) (

2ab a b b

a     (II.2.1.1)

) ( 2 ) ( 2 ) (

ca bc ab c b

Giải

a) 2 2 2

) (

2ab a b b

a    

0 ) 1 ( ) (

0 ) ( ) 2 (

2

2 2

a

b a ab

b a

b) Áp dụng kết quả của câu a ta có :

2 2

2

) (

2ab a b b

a    

2 2

2

) (

2bc b c c

b    

2 2

2

) (

2ca c a a

c    

Công vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được

2 2

2 2

2 2

) ( 2 ) ( 2 ) (

ca bc ab c b

) ( )

b c b

2ab a b b

2

c b a a

) ( ) (

b c b

) ( )

b c b

Ví dụ 3 Với m, nlà các số tự nhiên; a,b,c 0, chứng minh rằng

b a b a

 

) )(

( 2

n n m m

b a b

 (II.2.3)trong đó 0   1

Giải

Ta chứng minh bổ đề sau : Với m, n là các số tự nhiên ; a,b 0 thì

) )(

m m

b a b a b

a

b a

m m

b a b a b

a

b a

Đúng

Áp dụng kết quả của bổ đề ,ta có

(II.2.3)  ( 1  )( m m)( n n)  0

b a b a

Ví dụ 4 Vớia,b 0 ;m,n là các số tự nhiên, chứng minh rằng

) )(

( 4

) 2

( 2

n n m m n

m n

m n m

b a b a b

a b

Áp dụng bất đẳng thức (II.2.3) ta có

n m

2

n m

b a b a

 

) )(

( 2

n n m m

b a b

Suy ra

) )(

( 4

) 2

( 2

n n m m n

m n

m n m

b a b a b

a b

) 2 ( ) )(

( 4

1

)

Ví dụ 5 Với a,b 0 ; 0   1 , chứng minh rằng

) )(

( 3

2 )

3 3

b a b a b

a ab b

Giải

Áp dụng bất đẳng thức (II.2.4) với m 2 ,n 1 ta có

) )(

( 4

) 2

( 2

2 2 3

3 3

b a b a b

a b

3 3

b a b a b

a ab b





 )( ) (

3

c b c b c



) )(

( 3

a c a c

( 3

2 )

3 3

b a b a b

a ab b

( 3

b a b a

( 3

c b c b

( 3

a c a c

) )(

( 3

c b c b c



) )(

( 3

a c a c

Ví dụ 7 Với a,b,c 0 ; 0 ,,  1;m, n là các số tự nhiên , chứng minh rằng

m

c b a c b a c

3

n n m m

b a b a

c a c a



) )(

( 3

n n m m

c b c

GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với

) )(

)(

1

(  a mb m a nb n  ( 1 )(a m c m)(a n c n)  ( 1  )( m  m)( n  n)  0

c b c b

m n m n

m

c b a c

b a

) 3

(

9

n n m m

b a b a

) )(

( 9

n n m m

c a c a



) )(

( 9

n n m m

c b c

m m

c b a c b a

) 3

( 3

n n

c b a c b a

) 3

( 3

c

b



2 2

Áp dung kết quả của bất đẳng thức (II.2.2.1)

2 2

2

) (

2ab a b b

a    

Ta suy ra

2 2

2

2

) ( 2

b b

a b

2

2

) ( 2

c c

b c

b     

2 2

2

2

) ( 2

b a

c a

b b a

Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức trên ta thu được



2 2

b

a



2 2

c

b



2 2

) )(

( 3

2 b c b c c



) )(

( 3

2 c a c a

  (II.2.10) Giải

Áp dụng bất đẳng thức (II.2.5) ta có

) )(

( 3

2 )

3 3

b a b a b

a ab b

Suy ra



b b

) )(

( 3

2 b c b c c



) )(

( 3

a b a



8 4 1 1

1

) 1 1 ( 2

b a

Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta thu được

2 2

2 2 2

) (

) 1 1 ( )

1 1 ( 2 ) (

2 4 )

a ab b

a ab b

4 4 ) )(

1 1

ab b

a b

a      

ab b

a b

a      

ab b

a b

a       

Thu được

ab b

a b a



8 4 1 1

Ta chứng minh

) ( 2

2

2 2

b a b

Nếu (ab)  0 bất đẳng thức đúng

Nếu (ab)  0 bất đẳng thức

2 2

2

) ( 2

1 )



ab b

a b

a2  2  2



0 2

2

2   

0 ) (  2 

 a b (Đúng)

Vậy

) ( 2

2

2 2

b a b

) ( 2

2

2 2

c b c

) ( 2

2

2 2

a c a

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được



 2 2

a

c     

Giải

Ta chứng minh

) ( 2

3

2 2

b a ab

2

) ( 4

3 )



) 2 (

3 ) (

4 a2 b2 ab  a2 b2  ab



ab b

a2  2  2



0 2

2

2   

0 ) (  2 

 a b (Đúng)

Vậy

) ( 2

3

2 2

b a ab

b

) ( 2

3

2 2

c b bc

c

) ( 2

3

2 2

a c ca

3

2 2

c b a ca

5 3

2 2

b a ab

b

2 2

2

) ( 4

5 ) 3



) 2 (

5 ) 3 (

4 a2 b2  ab  a2 b2  ab



ab b

a2  2  2



0 2

2

2   

0 ) (  2 

 a b (Đúng)

Vậy

) ( 2

5 3

2 2

b a ab

b

) ( 2

5 3

2 2

c b bc

c

) ( 2

5 3

2 2

a c ca

2

2 2

c b a ca

2

2 2

b a ab

b

a     Nếu (ab)  0 bất đẳng thức đúng

Nếu (ab)  0 bất đẳng thức

2 2

2

) ( 4

2 )

) 2 )(

2 ( ) (

4 a2 b2  ab   a2 b2  ab

ab b

a ) ( 2 ) 2 )(

2 (  2  2  



0 ) 2 )(

2 (  2  2  

0 ) )(

2 (   2 

Vậy

) ( 2

2

2 2

b a ab

b

a     

) ( 2

2

2 2

c b bc

c

b     

) ( 2

2

2 2

a c ca

a

c     Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được

2

2 2

c b a ca

2 2

2

) (

3

a b a b

Suy ra

ab b

3

a b

( 4

3 4

3 4

5 4

5 2

5 ( 2

1

b

a

Vậy

ab b

a2  2 

2

3 2

5 ( 2

b2  2 

2

3 2

5 ( 2

c2  2 

2

3 2

5 ( 2

1

a

c

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được

Em xin chân thành cảm ơn