Giới hạn của hàm số tại vô cực... Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số... Tìm giới hạn
Trang 1Giới hạn
A Kiến thức sách giáo khoa
I Giới hạn của dãy số
1 Dãy số có giới hạn 0
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy sốun có giới hạn 0, kí hiệulim u n (hay0 lim un ), nếu với mọi số dơng nhỏ bao0 nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó
c Định lí: Cho hai dãy số
n
| u | v
2 Dãy số có giới hạn hữu hạn
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim un , nếu L lim u n L 0
lim u L lim u L 0
b Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, n : lim un c
3 n
lim | u | | L |
n
•
n
lim u L lim v lim w L L
• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn (3)
c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
•
n
1 q
1 q
•
n
u
1 q
3 Dãy số có giới hạn vô cực
a Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dơng tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể
từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó
Kết quả: lim n;lim n ;lim n3
b Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể
từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
• Quy tắc chia
n
lim u có dấuL 0 lim vn 0, vn có dấu0 n
n
u lim v
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn hữu hạn
a Giới hạn hữu hạn
Cho x0a; b và f là hàm số xác định trên tập a; b \ x 0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
0
xlim f xx L
, khi x dần đến x (hoặc tại điểm 0 x ), nếu với mọi dãy số 0 xn trong tập a; b \ x 0 mà lim xn x0, ta
đều có lim f x n L
b Giới hạn vô cực
0
xlim f xx
nếu mọi dãy xn trong tập a; b \ x 0 mà lim xn x0 thì lim f x n
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Trang 2Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
+∞, kí hiệu xlim f x L
, nếu với mọi dãy số xn trong khoảng a; mà lim x , ta đều có n lim f x nL
3 Các định lí
a Định lí 1: Giả sử
0
xlim f xx L
0
xlim g xx M L, M
0
xlim f xx g x L M
0
xlim f x g xx L.M
0
xlim k.f xx k.L k
0
x x
b Định lí 2: Giả sử
0
xlim f xx L
0
xlim | f x | | L |x
0
3
3
xlim f xx L
• Nếu f x với mọi 0 x J \ x 0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì 0 L 0 và
0
xlim f xx L
c Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x 0 Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
4 Giới hạn một bên
a Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng x ; b , x Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến0 0
x0, kí hiệu:
0
xlim f xx L
, nếu với mọi dãy số xn trong khoảng x ; b mà 0 lim xn x0, ta đều có lim f x n L
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng a; x , x Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến0 0
x0, kí hiệu:
0
xlim f xx L
, nếu với mọi dãy số xn trong khoảng a; x mà 0 lim xn x0, ta đều có lim f x n L
xlim f xx ; lim f xx x ; lim f xx x ; lim f xx x
b Định lí:
0
xlim f xx xlim f xx L lim f x L
1
f x
5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
0
xlim f xx
0
xlim g xx L 0
có dấu
0
xlim f x g xx
0
xlim f xx L 0
có dấu
0
xlim g xx 0
g(x) có dấu
0
x x
f x lim
g x
6 Các dạng vô định
Khi tìm
f x
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
g x khi x x ; x0 x ; x0 x ; x0 ; x
vô địn, kí hiệu 0
, ,0 , 0
, lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm: 3 2
2
lim
n
Giải:
2
3
2
n n
Ví dụ 2: Tìm:
2 2
lim
Giải:
Trang 32 2
2
2
2
n
Ví dụ 3: Tìm: lim n 1 n21
Giải:
2
2
Dạng 2: Chứng minh lim un 0
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số
n
| u | v
n
lim u L lim v lim w L L
Ví dụ: Chứng minh: 1 cos nn
n
Giải:
Ta có: 1 cos nn 1
và lim 1 0
n nên
1 cos nn
n
Dạng 3: Chứng minh lim u tồn tạin
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn
Ví dụ: Chứng minh dãy số un cho bởi
n
1 u
n n 1
có giới hạn.
Giải:
Ta có
n 1
n
n n 1
Ngoài ra,
* n
1
n n 1
nêu dãy un bị chặn dới Vậy dãy un có giới hạn
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phơng pháp giải: Sử dụng công thức: u1
1 q
Ví dụ: Tính tổng
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1
2
và u1 Vậy: 1
1
1
2
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3 2
lim
Giải:
Cách 1:
Ta có:
2
3
2
n
3
nn nên suy ra:
2
3
2
Cách 2:
Trang 4Ta có:
3
2
2
2 2
1 1
n n
Lại có
3
2
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1 lim x.sin
x
Giải:
Xét dãy xn mà xn và 0, n lim xn Ta có: 0 n n n
n
1
x
Vì lim | x | 0n lim f x n 0 Do đó
x 0
1
x
xlim x x 1 x
Giải:
2
1 1
2
Giải:
2
2
x
(Chú ý: khi x là ta xét x < 0, nên x x2 )
0
xlim f xx 0
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x 0 Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
Ví dụ: Chứng minh:
2 4 x
x sin x
1 x
Giải:
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phơng pháp giải : Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
f x
với
xlim f x1
Giải:
Ta có:
3
xlim f x1 xlim x1 1
Từ (1) và (2) suy ra xlim f x1 1
Trang 5Ví dụ 2: Cho hàm số
1
x 1
x 1
f x
x 1
khi khi
a.Tìm lim f xx 2
b.Tìm
x 1
lim f x
Giải:
lim f x lim
x 1 3
x 1
lim f x
(Chú ý:
0
xlim f xx
xlim f xx xlim f xx L
0
xlim f xx L
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính 2
xlim 4x 1
Giải:
Vì xlim | x |
2
1
x
Dạng 10: Khử dạng vô định
Phơng pháp giải
0
x x
P x lim
Q x
xlim P xx xlim Q xx 0
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho x x 0
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
lim
x 2
Giải:
2
x 2 x 7
Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2 lim
4x
Giải:
Ví dụ 3: Tìm: 3
x 1
x 7 2 lim
x 1
Giải:
2
3 3
lim
12
Ví dụ 4: Tìm:
x 2
2x 5 3 lim
x 2 2
Giải:
3
Trang 6Ví dụ 5: Tìm:
x 1
lim
x 1
Giải:
3
3x 2 1
Ví dụ 6: Tìm:
4 3
x 1
x 2 1 lim
x 2 1
Giải:
Đặt t12x 2 x 2 t 12 x t12 2, khi đó x 1 thì t1 Do đó:
2
4
3
4
x 2 1
Ví dụ 7: Tìm: 3
x 1
lim
x 1
Giải:
3
3 2
2
lim
lim
x 3 2
x
P x lim
Q x
• Đặt xm (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả:
x
1
x
( với 0)
Ví dụ 1: Tìm:
2 2 x
lim
Giải:
2
2
3
Ví dụ 2: Tìm:
2 x
lim
2 3x
Giải:
2
x
Ví dụ 3: Tìm:
2 x
lim
Giải:
3
2
2
C Bài tập tự luận
1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
Trang 71. limx 3 x2 5x 6
x 2
lim
4. limx 12x44 5x33 3x22 1
7. 35
x 1
lim
x 0
lim
x
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim
x
2 Tìm các giới hạn hàm số sau:
1. xlim2 x 2
x 1
2x 7 3 lim
x 3 2
x 0
lim
x
x 2
x 7 3
lim
x 2
4x 2 lim
x 2
x 0
lim x
7.
2
x 1
lim
x 1
x 1
x 2
lim
x 2
x 0
lim
x
x 1
lim
x 1
lim
x 1
x 3
lim
x 0
lim
x
x 1
lim
3 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1. 3 2
x 1
lim
x 0
lim
x
x 0
lim
x
x 2
lim
x 1
lim
x 1
x 1
lim
x 1
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
x 0
lim
x
4 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1. 4 3 3 2 2
x
lim
x
lim
x
lim
50 x
lim
2x 1
2 x
lim
6.
x
5x 3 1 x lim
1 x
5 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
2.
3.xlim x x x
xlim x x 1 x
xlim x 4x 9 2x
x
D Bài tập trắc nghiệm Dãy số có giới hạn 0
1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
1
2n 1 n
d cos n n
2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a
n
5
3
n
1 3
n
5 3
d
n
4 3
3 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a 0,909n b 1,012n c 1,013n d 1,901n
4 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
5 Gọi 1n
L lim
n 4
Khi đó L bằng
a 1
5
4
6 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
Trang 8a 1
1
4 3
d 1n
n
Dãy số có giới giạn hữu hạn
7 Cho n 1 4n
u
5n
Khi đó un bằng
a 3
3 5
4 5
8 Cho
u
5
Khi đó limun bằng
7 5
9 Gọi L lim 9 cos 2n
n
thì L bằng số nào sau đây?
10 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n
1
1, 1 1, , , ,
1 3
3
11 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n
1
a 1
1
3
12 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n 1
1
a 8
3
2
3 8
13 Tổng của cấp số nhân vô hạn: n 1
n 1
1
a 2
3
3
Dãy số có giới hạn vô cực
14 Kết quả L lim 5n 3n 3 là
15 Biết L lim 3n 25n 3 thì L bằng
16 lim 3n 32n25 bằng
lim
4
lim
5n 2n 1 bằng
a 2
1
19
3
4
lim
2 7
20
4
4
lim
3 11
21
Trang 9a 3
4
3 4
22
3 2
2n 3n
lim
a 3
5
23 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ?
a un 3n2 n3 b un n2 4n3 c un 4n23n d un 3n3 n4
24 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
a un n43n3 b un 3n3 2n4 c un 3n2 n d un n24n3
lim
2n 1
b»ng
26 KÕt qu¶ lim n 10 n lµ
27 KÕt qu¶
2 2
3 2n 4n
lim
4 3
28 NÕu lim un th× L lim un9 b»ng
29 NÕu lim un th× L 3
n
1 lim
u 8 b»ng bao nhiªu?
1
1
1
L 8
lim
2n 5
b»ng
a 5
5
31
4
4
10 n
lim
10 2n b»ng bao nhiªu?
32
2
1 2 3 n
lim
2n
b»ng bao nhiªu?
1
33
3n3 n
lim
6n 2
b»ng
a 1
1
32
34 lim n n2 1 n23 b»ng bao nhiªu?
35 n sin 2n
lim
n 5
b»ng sè nµo sau ®©y?
a 2
1
36 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a
2
u
5n 3n
1 2n 5n 3n
2 2
1 2n 5n 3n
2
u 5n 3n
37 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
a
2
u
5n 5n
1 2n 5n 5n
2 n
1 n u
5n 5
2
u 5n 5n
38 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?
Trang 10a n
2
u
n n
2007 2008n u
n 1
2 n
u 2008n 2007n d un n21
39 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
a
2 3
lim
2 2
lim
2
lim
3 2
lim
40 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
a
2 3
lim
3 2
2n 3n lim
lim
3 2
3 2n lim
41 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ ?
a
2
3
lim
2 2
2n 3n lim
lim
3 2
3 2n lim
42 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 1
5?
a
2
u
5n 5n
1 2n u
5n 5
2 n
1 2n u
5n 5
1 2n u
5n 5n
43 NÕu L lim n n22 n2 4
44 Gäi L lim n n2 2 n2 4
45 lim 4n2 1 n 2
2n 3
b»ng
46 cos 2n
3n b»ng
47 lim n22n n2 2n cã kÕt qu¶ lµ
50 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n 1
3
?
a
u
2
2n n u
u
2
u
Giíi h¹n cña hµm sè
xlim x1 x 7
xlim 3x2 3x 8
53
2
x 1
lim
x 1
54
x 1
lim
x 2
b»ng
5 3
55
x 1
lim
a 1
3
2 5
3
56
4
x 1
lim
b»ng
a 4
4
2
2 7
Trang 1157
2
x 2
lim
b»ng
a 4
9
4
58
x 1
lim
a 1
12
7
7
59
3
2
x 2
x x
lim
b»ng
a 10
7
3
xlim 4x1 2x 3
61
3
3 2
x 1
x 1
lim
b»ng
3
1
4 2
2 3
62
4 x
lim
x 2x
63
4
4
x
lim
3
64
4
x
lim
a 2
5
65
x
lim
2 5
66
x
lim
b»ng
5
2 3
2
x 2
lim
b»ng
a 1
1
35
68
2
x 1
lim
b»ng
a 1
3
3
Giíi h¹n mét bªn
69
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
b»ng
a 1
1
2
x 1
1 x
lim
b»ng
Trang 12a 1 b 0 c 1
71
x 1
x 2
lim
x 1
bằng
a 1
2
72
2
x 1
lim
x 1
là
73
3
2
x 2
lim
9 8
74
x 0
lim
là
75
2
x 1
lim
là
76 Cho hàm số:
2
f x
với
xlim f x2
77 Cho hàm số
3 3
f x
với với
Khi đó
x 1lim f x
y f x
8
khi
Khi đó
x 1
lim f x
a 1
1 8
79 Cho hàm số:
2
x 1
với với
Khi đó
x 1lim f x
80 Cho hàm số
2
2x
x 1
1 x
f x
với với
Khi đó
x 1lim f x
Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
81 Cho
2 2
x 1
L lim
1 x
a L 1
2
4
4
2
82 Cho
2 2
x 2
Khi đó
a L 4
5
5
L 2
L 2
83
2
x 2
lim
2x 4
1
1 2
Trang 1384
x 2
lim
x 5
2 5
85
2
x 5
lim
5x 25
2
2 5
86
2
2
x
lim
b»ng
a 2
2 3
1 2
87 xlim x 1 x 3
xlim x x 5 x
5
xlim x x 2 x
90
4
t 1
lim
t 1
b»ng
91
t a
lim
t a
b»ng
92
4
3
y 1
lim
b»ng
4 3
93
4
x
lim
x
lim
2x 7
b»ng
x 0
lim
x
2
96
3
2
x 1
x 1
lim
b»ng
2 3
97
2
x 5
lim
2x 10
98
2
x 5
lim
2x 10
99
2
x 5
lim
2x 10
Trang 14a 5
2
2
100
4
x
lim
bằng
a 2
5
101
3
2
x 1
lim
bằng
102 xlim x 5 3x
bằng
103
2
3
x 1
lim
a 2
3
3
3
104
3
2
x
lim
bằng
105 xlim x 5 x 7
106
2
x 3
lim
2x 3
bằng
a 3
107
2
x 1
lim
1 x
bằng
a 1
1
1
1 8
108 Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đợc một khẳng định đúng.
1
2
x 3
lim 2x 10
7 2
2
2
x 5
lim 2x 10
3
2
x 5
lim 3x 15
3 2
4
2
x 5
lim 2x 10
8 3 e) 7 2