bài tap giới hạn

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơngChú ý:Các dãy số có giới hạn +∞ và -∞ đợc gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.. cMột vài giới hạn đặc bi

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng

Đỗ Thế Nhất THPT- Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải D ơng

Giới hạn của dãy số 1.Dãy số có giới hạn o

a)Đn:Dãy số (un) có giới hạn 0,kí hiệu nlimu n 0

→+∞ = (Hay lim(un)=0),nếu với mọi số dơng nhỏ tuỳ ý

cho trớc ,mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

n n

→+∞

Vd3:Tìm lim cos 4

4n n

1

n n

n n

→+∞

− +

2.Dãy số có giới hạn hữu hạn

a)Đn:Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu Lim(un-L)=0

Khi đó ta viết lim(un)=L hoặc Limun=L hoặc un →L

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

1 lim

lim

2 lim

lim 0,

n n

n x

n n

n n n

n n n

n n n

n

n

n n n

n n

10

2 3 ) lim

3 2 2 ) lim

n n n

n

n

n

n n

a

n b

n c

n d

n e

3 2

1 4 ) lim

n

n n

n n n

n n

a

n n b

c

n d

2

5

3 3 3

2 2

3 2 ) lim

2

2 1 cos ) lim

n

n

n n n

n n d

n e

n n f

− +

Đn:Ta nói dãy số Un có giới hạn là +∞nếu với mỗi số dơng tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số

kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều lớn hơn số dơng đó

Khi đó ta viết Lim(un)=+ ∞ hoặc Limun=+ ∞ hoặc un→ +∞

VD:a)Limn=+∞ b)Lim n = +∞ c)Lim3 n= +∞

CM: + Cho hs chọn số dơng a tuỳ ý

+ Cm un>a với mọi n>n0

b)Dãy số có giới hạn -∞

Đn:Ta nói dãy số Un có giới hạn là -∞nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số kể

từ một số hạng nào đó trở đi ,đều nhỏ hơn số âm đó

Khi đó ta viết Lim(un)=- ∞ hoặc Limun=- ∞ hoặc un→ −∞

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơngChú ý:Các dãy số có giới hạn +∞ và -∞ đợc gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần

đến vô cực

c)Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

Chú ý:Vì +∞ và -∞ không phải là các số thực nên không áp dụng đợc các định lí về giới hạn hữu

hạn cho các dãy số có giới hạ vô cực

d)Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1:Nếu Limun=±∞ và Limvn=±∞ thì Lim(unvn) đợc xác định trong bảng sau

Quy tắc 2: Nếu Limun=±∞ và Limvn=L≠ 0 thì Lim(unvn) đợc xác định trong bảng sau

u v

e)Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

Nếu Limun=a và Limvn=±∞ thì Lim n 0

Gi¸o viªn:§ç ThÕ NhÊt-KÎ SÆt-B×nh Giang-H¶I d¦¥NG

Bµi tËp vÒ nhµ sè 5-6 NGµy 27-01-08 TÝnh c¸c giíi h¹n sau

a17=Lim 2 34

n n n

− − +

2

1 1 3

n n

n n

Giới hạn của hàm số

I.Giới hạn của hàm số tại một điểm.

1.Đn:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa x0 hoặc K\{x0}.Số thực L đợc gọi là giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi x→x x x0 ( ≠ 0 )kí hiệu

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ngVD:TÝnh c¸c giíi h¹n sau:

lim 3 2 1

2 lim

0 0

0 0

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ngBµi tËp vÒ nhµ

x

x L

21 3

x

x L

x L

x

x L

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ng

sin 7

x

x L

3 2 lim

2 9 lim

x x A

4 2 lim

2 lim

+

5 1 lim

x

n n

→∞

+ +

→∞

+ +

Bài 2 Tính giới hạn dạng đặc biệt bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp

1

n n x

n

n u

n n

+ + + +

=

Hoạt động 2: Chứng minh dãy số có giới hạn

Phơng pháp : (Nội dung lý thuyết SGK)

 Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên có giới hạn

 Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới có giới hạn

 Nguyên lý kẹp trong giới hạn dãy số

 Điều kiện day hội tụ

Bài 1 Chứng minh sự hội tụ của dãy số

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ng

a u

a u

a u

Kh¸i niÖm giíi h¹n t¹i mét ®iÓm

Giíi h¹n tr¸i vµ giíi h¹n ph¶i

Bµi 1 XÐt sù tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè t¹i ®iÓm cho tríc

2 2

1

3 2

1 1

x x

x x

2 2

x x

Bài 2 Cho hàm số xác định bởi ( ) ( )

f x x

x x

Định a để tồn tại giới hạn tại x=1

Hoạt động 2: Thực hành, tính giới hạn của các hàm số dạng vô định 0

0 2

1

x

x x

2 3 1 4 lim

x x

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ng

f x x

( )

( ) ( )

f x x

→

2 0

3

sin

2 3 3

Hoạt động 5: Giới hạn hàm số mũ và hàm luỹ thừa dạng 1∞

Phơng pháp: Sử dụng các kết quả sau

x x

e x

1 tan

1 sin

x x

x x

1

x x

x F

1

ln 1

x x

3 lim

2

x x

x x

→∞

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng

Bài 3 tính liên tục của hàm số, ứng dụng Hoạt động 1: Ôn tập nội dung lý thuyết

Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục trái ,liên tục phải

Tính liên tục của hàm số trên một khoảng một đoạn

Tính chất của hàm liên tục

Hoạt động 2: Thực hành xét tính liên tục của hàm số

Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số tại x=x0 của hàm số

0

0 sin

x

x x x

0 6

x x

voi x

voi x x

0

0 sin 2

x a

x x

x x

2) ( ) ( )

4

0 2

2 2

f x

x

x x

Hoạt động 3: Khai thác tính chất của hàm số liên tục

Bài 1 CMR phơng trình sau luôn có nghiệm

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ngBµi 4 Cho 2a+ 6b+ 19c= 0 CMR ax2 +bx c+ = 0 cã nghiÖm 0 0;1

Bµi 7 CMR nÕu 2a+ 3b+ 6c= 0 th× ph¬ng tr×nh a tan x b 2 + tanx c+ = 0 *( ) cã Ýt nhÊt mét

nghiÖm trong kho¶ng ;

2 1

Gi¸o viªn :§ç ThÕ NhÊt THPT KÎ SÆt -B×nh Giang-H¶i D ¬ng

0 6

x x

0

0 sin

x

x x x

0

0 sin 2

x a

x x

x x

2 2

f x

x

x x