Ph ơng pháp tính giới hạn của hàm số không áp dụng trực tiếp đ ợc các định lí , quy tắc về giới hạn các dạng vô định 2.. Ôn tập kiến thức cơ bản về tính liên tục của hàm số.. Các dạn
Trang 1Nhiệt Liệt chào mừng các thầy cô giáo và các em
Nhiệt Liệt chào mừng các thầy cô giáo và các em
Biên soạn : Trần Thanh Thái
Đơn Vị : TrườngưTHPTưDânưLậpưDiêmưĐiềnưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưtrườngưTHPTưdânưlậpưdiêmưđiềnưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưTrườngưthptưdânưlậpưdiêmưđiền
Thứ năm , ngày 28 tháng 02 năm 2008
Trang 2- Giới hạn hữu hạn.
- Các định lí về
giới hạn hữu hạn
- Tổng của CSN
lùi vô hạn.
- Giới hạn vô cực
Giớiưhạnư
củaưdãyưsố
Giớiưhạnư
củaưhàmưsố
Hàmưsốư
liênưtục
- Giới hạn hữu hạn tại một điểm.
- Giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Giới hạn vô cực.
- Hàm số liên tục tại một điểm.
- Hàm số liên tục trên một khoảng.
- Một số định lí cơ bản.
Trang 31 Ph ơng pháp tính giới hạn của hàm số không áp dụng trực tiếp đ ợc các
định lí , quy tắc về giới hạn ( các dạng vô định )
2 Ôn tập kiến thức cơ bản về tính liên tục của hàm số Các dạng toán về
tính liên tục của hàm số.
Tiết 1
1 Ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn của dãy số Ph ơng pháp tính giới hạn của dãy số.
2 Ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số Tính giới hạn bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí , quy tắc về giới hạn của hàm số.
Tiết 2
Trang 40 ) ( )
(
) (
lim 0
x v x
u
x v x x
0
0 x x x
x lim lim
khi
Ph ơng pháp:
B ớc 1: Ta biến đổi nh sau:
) (
) ( lim )
( ) (
) ( ) (
lim )
(
) ( lim
0 0
0
x B
x
A x
B x x
x A x
x x
v
x u
x x x
x x
B ớc 2: Tính
) (
) ( lim
0 B x
x A
x x
(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến d ới dấu căn
thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên
hợp tr ớc khi thực hiện b ớc 1.)
9
3 4 lim
x x
a
2 3 5 lim
)
x b
x
1
3 2
lim
)
x c
3 3
5 lim )
3
x x
d
x
Bài giải:
3
1 3
1 lim
) 3 )(
3 (
) 3 )(
1 ( lim 9
3 4 lim
)
3
3 2
2 3
x x
x x
x
x x
x x
a
x
x x
12
5 ) 4 3 5 2 )
3 5
( (
5 lim
) 4 3 5 2 )
3 5 ( )(
1 (
) 1 ( 5 lim
1
2 3 5 lim )
3
1
3
1
3 1
x x
x x
x
x x
x b
x x
x
4
1 3
2
1 lim
) 3 2
)(
1 (
1 lim
1
3 2
lim )
1
1 1
x
x x
x x
x c
x
x x
6
1 4
1 12 5
1
3 2
lim 1
2 3 5 lim
1
3 3
5 lim )
1
3 1
3 1
x
x x
x x
x x
d
x x
x
Trang 5Dạng 2:
)
(
)
(
x
v
x
u
x x
x
Ph ơng pháp:
- Chia tử và mẫu cho x n với n là số
mũ bậc cao nhất của x.
( Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x
trong dấu căn thì đ a x n ra ngoài dấu
căn tr ớc khi chia)
Bài 2 : Tính các giới hạn sau
7 2 5
1 3
2 lim
2 3
x x
a
5 3 lim
)
2
x b
x
Bài giải:
(Tiết 2)
I Ph ơng pháp tính các giới hạn dạng vô định.
5
2 ) 7 2 5 (
) 1 3 2
( lim
) 7 2 5 (
) 1 3 2
( lim 7
2 5
1 3
2 lim )
3 2 3
3 2 3
3 3
3
2 3
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
a
x
x x
5 1
1 1
) 5
3 ( lim
*
5 1 1 1
) 5
3 ( lim
*
1 1 1
) 5
3 ( lim
1
5 3 lim )
2 2
2 2
x x
x I
x x
x I
x x x
x
x x
x
x I
b
x x
x x
01:00
Trang 64
1 ) 2
1 4 (
1 lim
) 2
1 4 (
lim )
2
1 4 ( lim
) 2 4
(
lim )
2 4
( lim
)
2 2
x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x b
x
x x
x x
)]
( )
( [ lim
)
3
) ( 0 u x v x
x x
) ( )
khi
x x x
x x
x
) ( ).
( lim
)
4
)
x x
x
) ( )
khi
x x x
x x x
Ph ơng pháp:
-Nhân và chia với biểu thức liên hợp (nếu có
biểu thức chứa biến d ới dấu căn)
Hoặc quy đồng mẫu để đ a về một phân thức
(nếu chứa nhiều phân thức)
1
Bài giải:
1 1
1 lim
) 1 (
1 lim )
1 1
1 (
1 lim )
0
0 0
x
x
x x
x x a
x
x x
Trang 7II Ôn tập về hàm số liên tục
1 Kiến thức cơ bản.
* Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên khoảng,trên đoạn
( Định nghĩa 1;2 SGK trang 136)
* Các định lí về hàm số liên tục.
(Định lí 1;2;3 SGK trang 137-138)
(Tiết 2)
I Ph ơng pháp tính các giới hạn dạng vô định.
Trang 82 C¸c d¹ng to¸n.
D¹ng 1: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i 1 ®iÓm
Hµm sè f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x 0
) ( )
( lim )
3
) ( lim )
2
) ( )
1
0
0 0
0
0
x f x
f
x f
TX x
x f
x x
x x
§
*NÕu hµm sè cho bëi mét c«ng thøc : y= f(x)
hoÆc :
B íc 1: TÝnh f(x 0 )
B íc 2: TÝnh lim ( )
0
x
f
x x
B íc 3: So s¸nh lim ( )
0
x
f
x x vµ f(x 0 )
B íc 4: KÕt luËn vÒ tÝnh liªn tôc.
0
0
) (
x x khi
x x khi x
f y
a) f (x)= x 2 -3x+5 t¹i x0= 1
2
6 5
) ( )
2
x
x x
x f
b t¹i x0 =2
2 1
2 2
6
5 )
( )
2
x khi
x
khi x
x
x x
f
0 =2
1 7
1 )
1 (
3
2 )
(
2
x khi
x
khi x
x
x x
f
0 =-1
a) f(x)= x2-3x+5 t¹i x0= 1
Bµi gi¶i:
Ta cã : (1) lim ( ) lim( 2 3 5) 3
1
f
x x
Hµm sè liªn tôc t¹i x0=1
Bµi gi¶i:
Ta cã :
2
6 5
) ( )
2
x
x x
x f
b t¹i x0 =2
) 2 ( 2
Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0=2
Bµi gi¶i:
Ta cã :
2 1
2 2
6
5 )
(
)
x khi
x
khi x
x
x x
f c
) 2 ( )
( lim
*
1 )
3 (
lim 2
6 5
lim )
( lim
*
1 )
2 (
*
2
2
2 2 2
f x f
x x
x x
x f f
x
x x
x
Hµm sè liªn tôc t¹i x0=2
t¹i x0 =2
Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0=-1
3 lim
) 1 (
3 2
lim )
( lim
*
7 ) 1 (
*
1 2
2 1
x x
x x
x f
f
x x
x
t¹i x0 =-1
1 7
1 )
1 (
3
2 )
(
x khi
x
khi x
x
x x
f d
Bµi gi¶i:
Trang 9Bài 2: Cho hàm số
3
3 2
1
3 )
(
x khi m
x
khi x
x x
f
Hàm số đã cho liên tục tại x=3 khi m bằng :
A 4 B -1 C 1 D -4
(Hãy chọn đáp án đúng)
H ớng dẫn.
4 3
) 2 1 )(
3 ( lim
2 1
3 lim )
( lim
*
) 3 (
*
3
3 3
x
x x
x
x x
f
m f
x
x x
2 Các dạng toán.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0
) ( )
( lim )
3
) ( lim )
2
) ( )
1
0
0 0
0
0
x f x
f
x f
TX x
x f
x x
x x
Đ
*Nếu hàm số cho bởi một công thức : y= f(x)
hoặc :
B ớc 1: Tính f(x 0 )
) (
lim 0
x
f
x x
B ớc 3: So sánh lim ( )
0
x
f
x x và f(x 0 )
B ớc 4: Kết luận về tính liên tục.
0
0
) (
x x khi
x x khi x
f y
II Ôn tập về hàm số liên tục
I Ph ơng pháp tính các giới hạn dạng vô định.
B ớc 2: Tính
01:00
Trang 10Hµm sè f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x 0
) ( )
( lim )
3
) ( lim )
2
) ( )
1
0
0 0
0
0
x f x
f
x f
TX x
x f
x x
x x
§
* NÕu hµm sè cho bëi c«ng thøc :
0
0
) (
x x khi
x x khi x
f y
B íc 1: TÝnh f(x 0 )
B íc 2: TÝnh lim ( ) ; lim ( )
0 0
x f x
f
x x x
B íc 3: So s¸nh vµ f(x
0 )
) ( lim
; ) (
lim
0 0
x f x
f
x x x
B íc 4: KÕt luËn vÒ tÝnh liªn tôc.
1 1
2
1 1
2 )
x khi x
x
khi x
x f y
2 C¸c d¹ng to¸n.
D¹ng 1: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i 1 ®iÓm
Bµi gi¶i.
Ta cã :
* f(1)=-2
2 )]
1 2
( [ lim
1
) 1 2
)(
1 ( lim 1
2
1 lim
) ( lim
*
1
1 1
1
x
x
x x
x
x x
f x
x x
x
2 )
2 ( lim )
(
lim
1
x x
f
x x
2 )
1 ( )
( lim )
( lim
*
1
f x f x
f
x x
* Hµm sè liªn tôc t¹i x0=1
Trang 11Dạng 2: Gán cho f(x) một giá trị nào đó tại x0
để f(x) liên tục tại x0
* B ớc 1: Tính lim ( )
0
x
f
x x
* B ớc 2: Gán f(x 0 )=a
Giả sử f x a
x
lim
0 (a hữu hạn)
Bài 4: Các hàm số sau gián đoạn tại x0, phải gán cho f(x0) giá trị bằng bao nhiêu để chúng liên tục tại x0
1 1
3 2
) ( )
2
x
x x
x f a
5 5
3 2
) (
x
x x
f b
2 Các dạng toán.
II Ôn tập về hàm số liên tục
(Tiết 2)
I Ph ơng pháp tính các giới hạn dạng vô định.
Bài giải.
4 )
3 (
lim 1
) 3 )(
1 (
lim
1
3 2
lim )
( lim
* )
1 1
2
1 1
x x
x x
x
x x
x f a
x x
x x
* Với f(-1) =- 4 thì hàm số liên tục tại x0=-1
3 2
lim )
( lim
*
)
5
x x
f
b
x x
* Hàm số luôn gián đoạn tại x0=5
01:00
Trang 12Dạng3 : Xét tính liên tục của hàm số trên tập
xác định
* Dựa vào định lí 1,2 trang 137 SGK nên xét
tính liên tục của hàm số trên TXĐ thực chất là
xét tính liên tục tại một số điểm (dạng 1).
2 1
2 2
6
5 )
(
)
x khi
x
khi x
x
x x
f a
3 3
3 2
5 2
2 2
6 5
) ( )
2
x khi x
x khi
x
x
khi x
x x
x f b
Bài giải.
*Tập xác định của f(x):D=R
2
6 5
) ( 2
*
2
x
x x
x f x
Khi ta có
là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục
* Tại x=2 ta có:
1 )
3 (
lim
2
6 5
lim )
( lim
1 )
2 (
2
2 2 2
x
x
x x
x f f
x
x x
* Do đó f(x) liên tục trên R
* Tại x=2 ta có:
1 )
5 2
( lim )
( lim
1 )
3 (
lim
2
6 5
lim )
( lim
1 )
2 (
2 2
2
2 2 2
x x
f
x
x
x x
x f f
x x
x
x x
Do đó f(x) liên tục tại x=2
* Tại x=3 ta có:
0 ) 3 ( lim )
( lim
1 ) 5 2
( lim )
( lim
1 ) 3 (
3 3
3 3
x x
f
x x
f f
x x
x x
Do đó f(x) gián đoạn tại x=3 Vậy f(x) liên tục trên R \ 3
B ớc 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x).
B ớc 2: áp dụng định lí 1 , 2 chỉ ra các
khoảng liên tục của hàm số.
B ớc 3: Xét tính liên tục của hàm số tại
một (một số) điểm đặc biệt.
B ớc 4: Kết luận.
3 3
3 2
5 2
2 2
6 5
) (
)
2
x khi x
x khi
x
x
khi x
x x
x
f
b
Bài giải.
*Tập xác định của f(x):D=R
2
6 5 )
( 2
*
2
x
x x
x f c ta x
là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục
5 2 ) ( 3
2
*Khi x ta có f x x
là hàm đa thức nên liên tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau
trên TXĐ của chúng
Trang 13Dạng 4: ứng dụng tính liên tục của hàm số
để CM sự tồn tại nghiệm của ph ơng trình
(AD: Định lí 3 trang 137 SGK)
* Để CM ph ơng trình f(x)=0 có nghiệm ta
phải tìm đ ợc 2 số a và b thỏa mãn đồng
thời.
- Hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
- Tích f(a).f(b) <0
Bài 6:
a) CMR ph ơng trình sau luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)
x3+x-1=0
b) CMR ph ơng trình sau có ít nhất 2 nghiệm
2x5-10x-7=0
c) CMR ph ơng trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
(1-m2)x5-3x-1=0
2 Các dạng toán.
II Ôn tập về hàm số liên tục
(Tiết 2)
I Ph ơng pháp tính các giới hạn dạng vô định.
a) CMR ph ơng trình sau luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)
x3+x-1=0
Bài giải.
Ta có: f(x)=x3+x-1 liên tục trên R f(0)=-1 và f(2)=9 nên f(0).f(2)=-9<0
Suy ra ĐPCM
b) CMR ph ơng trình sau có ít nhất 2 nghiệm
2x5-10x-7=0
Bài giải.
Ta có: f(x)=2x5-10x-7 liên tục trên R
f(0)=-7;f(-1)=1 và f(2)=37
Suy ra ĐPCM f(-1).f(0)<0 ; f(0).f(2)<0
c) CMR ph ơng trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
(1-m2)x5-3x-1=0
Bài giải.
Ta có f(x) =(1-m2)x5-3x-1 liên tục trên R
f(0)=-1<0 và f(-1)=1+m2>0 nên f(0).f(-1)<0 với mọi m Suy ra ĐPCM
01:00
Trang 14Dạng 4: ứng dụng tính liên tục của hàm số
để CM sự tồn tại nghiệm của ph ơng trình
(AD: Định lí 3 trang 137 SGK)
* Để CM ph ơng trình f(x)=0 có nghiệm ta
phải tìm đ ợc 2 số a và b thỏa mãn đồng
thời.
- Hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
- Tích f(a).f(b) <0
2 Các dạng toán.
A PT(1) không có nghiệm trong (-1;1)
B PT(1) không có nghiệm trong (-2;0)
C PT(1) chỉ có 1 có nghiệm trong (-2;1)
D PT(1) có ít nhất 2 nghiệm trong (0;2)
H ớng dẫn.
Ta có f(x)=2x4-5x2+x+1 liên tục trên R
*f(-1)=-3 ; f(1)=-1
*f(-2)=11 ; f(0)=1
*f(-2)=11 ; f(1)=-1
*f(0)=1 ; f(1)=-1 ; f(2)=15
Trang 151 Ph ơng pháp tính giới hạn của hàm số không áp dụng trực tiếp đ ợc các
định lí , quy tắc về giới hạn ( 4 dạng vô định )
2 Ôn tập kiến thức cơ bản về tính liên tục của hàm số Các dạng toán về tính
liên tục của hàm số ( 4 dạng toán cơ bản)
Các em cần l u ý!
Trang 16- Hiểu đ ợc mạch kiến thức cơ bản của ch ơng
- Vận dụng đ ợc các ĐN, ĐL , quy tắc có trong ch ơng vào bài tập
2 Về bài tập :
- L u ý đến các dạng toán cơ bản áp dụng trực tiếp các kiến thức của ch ơng và các dạng toán khác có liên quan.
3 Yêu cầu:
- Học kĩ lí thuyết, thuộc các ĐN , ĐL , quy tắc.
- Đọc và hoàn thành những bài tập đã ra và đã chữa.
Trang 1717
