Luận văn sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian banach phản xạ

Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ " đã được hoàn thành bởi nhận thức củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUỲNH TRANG

TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

PHẢN XẠ

*

Chuyên ngành : T O Á N G I Ả I T Í C H Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

LỜI CẢM ƠNTôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác

giả

Nguyễn Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN

iv

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ " đã được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Quỳnh Trang

BẢNG KÝ HIỆU

E

+ không gian đối ngẫu đại số của E

ơ(E, E *) tôpô yếu trong E

ơ(E*, E ) tôpô yếu* trong E*

T : X —> 2 y ánh xạ đa trị từ X vào Y

B r (x ) hình cầu tâm X bán kính r

ll-ll chuẩn trong không gian Banach

(x, /) giá trị của / tại X

wclE M bao đóng yếu của E M

F(S) tập hợp điểm bất động của s

F(S) tập hợp điểm bất động tiệm cận của s

tích vô hướng inffcận dưới đúng của ánh xạ / supf cận trên đúng của ánh xạ /

LỜI CAM ĐOAN

vi

Mục lục

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 3

1.1.1 Không gian Banach 3

1.1.2 Không gian Hilbert 4

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 5

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu* 7

1.3.1 Không gian đối ngẫu 7

1.3.2 Tôpô yếu và tôpô yếu* 10

1.4 Ánh xạ đa trị 10

1.5 Toán tử đơn điệu 11

1.5.1 Các định nghĩa về toán tử đơn điệu 11

1.5.2 Toán tử đơn điệu cực đại 15

2 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ 16 2.1 Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach 16 2.1.1 Không điểm của toán tử trong không gian Banach 16 2.1.2 Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach 21 2.1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không

gian Hilbert 33 2.2 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không

gian Banach 34 2.2.1 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu cực

đại trong không gian Banach 34 2.2.2 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu kiểu

trễ trong không gian Banach 36 2.2.3 Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu Lyapunov

45

trong đó E là một không gian Banach, u € E và T : E —»■ 2B * là toán tử đơn điệu Đây là một hình thức rất tổng quát của các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác Nhiều tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của (0.1); xem [5] và các tài liệu dẫn trong đó.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ

và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử và ứng ứng dụng, tôi chọn đề tài: “Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không giãn Banach phản xạ” để nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

Đạt được một sự hiểu biết tốt về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ Đặc biệt, những kiến thức và kĩ thuật chứng minh sự tồn tại đó.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu những toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ và

sự tồn tại không điểm của chúng.

4 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach phản xạ.

- Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu cực đại.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan mật thiết đến toán tử đơn điệu và sự tồn tại không điểm của chúng.

- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích.

6 Những đóng góp mới

Một tổng quan về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu

[2], [3].

1.1.1 Không gian Banach

Chúng ta bắt đầu từ khái niệm không gian định chuẩn thực.

Định nghĩa 1.1 Cho E là một không gian tuyến tính trên trường số thực R Ta gọi mỗi ánh xạ ||.|| : E —¥ M là một chuẩn trên E nếu

1 ||x|| > 0, Va: G E, ||x|| = 0 ^ X = 0,

2 \/x e E, VA € M, 11Arc11 = ỊA| Ị|a:|Ị;

3 V x , y e E , \\x + y\\ < ||a;|| + \ \y\\.

Định nghĩa 1.2 Ta gọi mỗi không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn

||.|| xác định trên nó là một không gian định chuẩn.

Không gian định chuẩn E với chuẩn xác đinh ||.|| thường được kí hiệu là (E,

||.||) hoặc đơn giản là E Dễ thấy rằng, nếu ll-ll là một chuẩn trên E thì công thức p(x,y ) = ||z — y II cho ta một metric trên E Do vậy, E cùng với p(x,y ) = ||x

— y II là một không gian metric Trong luận văn này ta luôn hiểu không gian

định chuẩn là một không gian với metric như thế.

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn E gọi là hội tụ tới điểm X e E nếu l i m | | a ; n — x | | = 0 , kí hiệu l i m x n = X hay

Nhận xét 1.1 Từ những định nghĩa trên, ta có thể thấy rằng: không

với metric

p ( x , y ) = ỊỊíc — y\\ là một không gian đủ.

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.6 Cho không gian tuyến tính E trên trường số thực R Ta gọi mỗi ánh xạ ị.,.) : E X E —»• M ỉà một tích vô hướng trên E nếu

1 \ / x , y G E , ( y , x ) = ( x , y ) ,

2 Va;, y , z e E , ( x + y , z) = ( x , z) + ( y , z ) ,

3 \ỉx,y € E, VÀ € M, ( \ x , y ) = À( x , y ) ,

ị \/x G í?, {x,x} > 0 nếíí a: 7 ^ 0.

Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính thực H được gọi là không gian Hilbert nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 H được trang bị một tích vô hướng (•,•),

2 H là không gian Banach với chuẩn||:r|| = ^J(x,~x), \fx e H.

Không gian Hilbert H với tích vô hướng xác định thường được kí hiệu là (H , (.,.)) hoặc đơn giản là H.

Cho hai không gian tuyến tính Ei,E 2 trên trường số thực M Nhắc lại rằng,

ánh xạ T : Eị —»■ E 2 được gọi là toán tử tuyến tính nếu Va: G Eị, Vy e E 2 ,

VA, /lẽM thì T( Xx + fiy) = A T(x) + ịiT(y).

Định lý 1.1 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn Eị, E 2 trên trường số thực M và T : Eị E 2 là một toán tử tuyến tính Các mệnh đề sau đây là tương đương:

1 T là toán tử tuyến tính liên tục,

2 T ỉiên tục tại mọi điểm x 0 £ Eị,

3 T liên tục tại 0,

fIIfII r

2\\x\\ = 2 <

x\

□

Chứng minh 1 2: Hiển nhiên luôn đúng.

2 =>- 3: Lấy x n —>• 0, suy ra x n + x 0 —> x ữ Do T là toán tử liên tục tại x ữ

nên ta có:

T(x n + Xq) = Tx n + Tx 0 —> Tx 0,

Suy ra Tx n —> 0 =>- T(0) = 0 Vậy T liên tục tại 0.

3 =>■ 4: Do T liên tục tại 0 nên tồn tại r > 0 sao cho T[B E l (ũ,r)] с Be 2 (0,1),

trong đó B E l ( 0, r) là hình cầu mở trong Eị tâm 0 bán kính r Nói cách khác,

Từ đây suy ra T liên tục và ta có (1).

Định nghĩa 1.8 Toán tử tuyến tính T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số с sao cho: \\Tx\\ < с||ж||, Vx e Eị.

Như vậy, từ định lý vừa nêu ta có: T bị chặn khi và chỉ khi nó liên

ГЖ -||Тж|| < 1 Vậy

r =>■ ||Т;г|| < 1 Suy ra \\Tz\\ =

Bổ đề 1.1 Giả sử E I : E 2 : E 3 là ba không gian định chuẩn và Tị : Eị —¥ E 2 \

T 2 : E 2 —>■ E 3 các toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó T 2 Tị : Eị -ỳ- E 3 là toán

tử tuyến tính bị chặn và IIT 2 T 1 II < IIĨ 1 IIIIT 2 II.

Chứng minh Vì Ti, T 2 là các toán tử tuyến tính liên tục nên T 2 Tị : Ei —>■

E 3 là toán tử tuyến tính liên tục

Mặt khác lấy X € Eị ta có

|piĩi0r)|| = ||r 2 (r 1 ( ; r))|| < llĩill.llTnll < II^II.IITill.Ilxll suy ra ||T 2 Ti|| < I|

1.3.1 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.10 Cho E là không gian tuyến tính trên trường số thực M Mỗi ánh xạ tuyến tính f : E -ỳ- M được gọi là phiếm hàm tuyến tính xác định trên E.

Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E, nghĩa là f e E*, và X G E

{ x , f ) = f { x )

Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên E với phép cộng ánh xạ và phép

nhân ánh xạ với số thông thường lập thành một không gian

tuyến tính trên trường số thực R Ta gọi không gian tuyến tính này là không

gian đối ngẫu đại số của E và kí hiệu là E +

Cho không gian định chuẩn E trên trường số thực M Kí hiệu E* là không gian tuyến tính con của E + gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác

định trên E.

Định nghĩa 1.11 Không gian E* tất cả các phiếm, hàm tuyến tính liên tục xác định trên E được gọi là không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp của không gian E.

Ta ỉuôn hiểu trên E* có chuẩn xác định bởi 11/11 = sup{|/(a;)| : ||a;|| ^ 1} với mọi f e E*.

Định lý 1.2 Cho E là không gian định chuẩn khỉ đó không gian đối ngẫu E* của E là không gian Banach.

Chứng minh Xét ánh xạ T : E —»• R Giả sử {T n } là một dãy cơ bản trong

E* Điều đó có nghĩa là: với mọi Ve > 0, tồn tại n 0, Vn > n ữ , Vra > n ữ ta có:

lỊX^ — T m \\ < £ Từ đây suy ra

||T n:r — T m x II < e||x|| \/x e E (1.3)

Vậy với mọi \/x € E, {T n x} là dãy cơ bản trong R Vì R là không gian Banach

nên {T n x } có giới hạn lim T n x trong M Ta xác định ánh xạ T : E —> M bởi

công thức:

T x = lim T n x ị x E E )

Lấy x,y e E và các số A ,fiỄ R, khi đó :

Vậy T là toán tử tuyến tính

Trong (1.3) cho m —>• 00 ta có: \\T n x — Tx\\ < e||a:||(Vx GE,Mn > n0 ).

Như vậy, với n > n 0 toán tử tuyến tính T n — T bị chặn và

l | T„ - T | | < e ( V n > n „ ) (1.4)

Suy ra T = T n — (T n — T ) bị chặn Vậy T là giới hạn của dãy {T n } trong E*.

Ta đã chỉ ra mọi dãy cơ bản trong E* đều có giới hạn Do đó E là không gian

mọi X thuộc E dẫy số { f n ( x )} h ộ i t ụ đ ế n f { x )

Định nghĩa 1.13 Cho E là một không gian định chuẩn, E* ỉà không gian đối ngẫu của không gian E Không gian đối ngẫu của E* được gọi là không gian đối ngẫu thứ hai của không gian E và kí hiệu là E**.

Định nghĩa 1.14 Không gian định chuẩn E được gọi ỉà không gian phản xạ nếu E = E**.

Vậy ta có nhận xét: không gian phản xạ là không gian Banach Từ đây trở

đi, nếu không có giả thiết khác đi, chỉ xét các không gian Banach phản xạ.

1.3.2 Tôpô yếu và tôpô yếu*

Định nghĩa 1.15 Tôpô T w trong E được gọi là tôpô yếu và kí hiệu là

ơ ( E , E * ) nếu hệ thống các lăn cận của 0 trong E là các tập có dạng {x e E

\ ịx, fi) < s, i = 1, , A;} trong đó fi G E*, với i = 1, , к và £ > 0.

Định nghĩa 1.16 Tôpô T* trong E* gọi ỉà tôpô yếu* và kí hiệu là ơ ( E * , E ) nếu hệ thống các lăn cận của 0 của E* là các tập mở có dạng: {/ G E* : { x ị , /) < £ , i — 1 , 2 , , k } trong đó X ị G E, ỉ — 1, 2, , k.

Định nghĩa 1.17 Tập А с E là đóng (compact, bị chặn) theo tôpô yếu trong

E gọi là tập đóng (tương ứng, compact, bị chặn) yếu Tập A đóng theo tôpô yếu* trong không gian liên hợp E* của E thì gọi là tập đóng yếu*.

1 1

Trong đó n € N là các số nguyêndương, flj € R, (i =l , n ) là cáchệ số thực Qui tắc cho tươngứng với mỗi véc tơ a =(ữi, a 2 , ■ , a n ) gK" với tập nghiệm kí hiệu l à T ( a ) của (1.5) cho ta một ánh xạ đa trị T : M n —> 2 C

từ không gian Euclid vào tập số phức c.

Định nghĩa 1.19 Đồ thị GphT, miền hữu hiệu DomT và miền ảnh RgeT của ánh xạ đa trị T đi từ tập X vào tập Y tương ứng được xác định bởi công thức:

GphT = {(x,y) G X X Y : y £ т ( х ) } DomT = {ĩGl: T( X ) Ỷ 0}- RgeT = {y G Y, э

X G X : y £ т(ж)}.

Với T là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.1 ta có

GphT = {(a, x ) G K n X С : x n + C L i X n ~ l + a 2 x n ~ 2 + + a n = 0} DomT = W 1 RgeT = c.

1.5.1 Các định nghĩa về toán tử đơn điệu

Nhắc lại rằng, với / ẽ E * và X £ E , giá trị của / tại X được kí hiệu là { X ,

( и — v , T ( u ) — T ( v ) ) — ( и — V , и — г>) = (и — г>)2 > о, Vw, г) € м.

Định nghĩa 1.21 Toán tử đa trị т : E —> 2 E * được gọi là toán tử đơn điệu nếu: (х — y,u — г>) > 0, Vx,y €E DomT, Vu ẽ т(ж), Vi! ẽ ^(y); trong đó DomT xác định bởi DomT = {z £ E : T ( z ) Ỷ 0 } -

Ví dụ 1.3 Xét toán tử đa trị T trong R:

Hiển nhiên ta có: (х — у, и — v) = 0 vói mọi \/x, у E DomT, Mu G T ( x ) , Vi! ẽ T ( y ) Khi đó toán tử T~ l : E —»• 2 E được xác định như sau:

ịx — y,u — v') > A||æ — y|| 2

Bổ đề 1.2 Toán íứ tuyến tính T : E —»■ E* là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi (.г,т(.г)) > 0 Wz G E.

Chứng minh Hiển nhiên miền hữu hiệu của toán tử T là DomT = E Theo định nghĩa về toán tử đơn điệu thì \/x, y € E luôn có

(x - y , T ( x ) - T { y ) ) > 0 { x - y , T ( x - y ) ) > 0.

Đặt X — Y = Z suy ra (Z , T Z ) > 0, V Z € E Điều phải chứng minh.

Bổ đề 1.3 Cấc tính chất sau luôn đúng:

0 khi X = 0

{1} khi X >

0

1 3

(ỉ) Toán tử T : E —> 2 e * là đơn điệu khi và chỉ khi toán tử T~ l : E —)■

2 E * ỉà đơn điệu,

(ỉỉ) Nếu Tị : E —>■ 2 e \ T 2 : E —)■ 2 B’ /ồ các íoán tử đơn điệu và nếu Ai,

л 2 thỏa mẫn Ai > о, л2 > 0 thì AiTi + Л2 Т 2 сгш<7 /à các íoán tử đơn

điệu,

(ỉỉi) Nếu А : E —»■ E 1 /à các toán tử tuyến tính, b & E và nếu T : E ^ E* là toán tử đơn điệu thì S(x) = A*T(Ax + b) cũng là toán tử đơn điệu Chứng minh, (i) Theo định nghĩa toán tử T là toán tử đơn điệu khi và chỉ

khi

(х — у, и — v) >0, Vx, y G DomT, Mu G T { x ) , ' i v ẽ T { y )

hay

(и — г>, X — у) >0, Vií, V G DomT -1 , Vx G T _1 (w), Vy G т _1 (г>) Khi

đó T -1 là toán tử đơn điệu.

(ii) Hiển nhiên ta có:

Do T b T 2 là các toán tử đơn điệu nên:

(iii) Lấy X, y G DomT, и G S(x) = A*T(Ax + b), V G S(y) = A*T(Ay + b) Chọn Ml G T(Ax + &),г>1 G T(Ay + b) sao cho: и = А*щ,V =

1 5

0, khi X < 0

{1}, khi X > 0

1.5.2 Toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.24 Toán tử đa trị T : E 2 E * là toán tử đơn điệu cực đại nếu T

là toán tử đơn điệu và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào khác.

Ví dụ 1.4 Xét toán tử: Tị : M —»• 2 R ,T 2 : R —> 2 R lần lượt cho bởi công

cơ bản chuẩn bị cho chương sau.

Chương 2

Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ

Trong chương này, tác giả đã trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến không điểm của toán tử đơn điệu và sự tồn tại của nó trên không gian Banach phản xạ Đồng thời nghiên cứu thêm về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu kiểu trễ và toán tử đơn điệu Lyapunov Kiến thức của chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu [4], [5], [6],

[7].

Banach

2.1.1 Không điểm của toán tử trong không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, phản xạ E* là không gian tôpô liên hợp cùng với tôpô yếu* và (u,v) là một cặp cho bởi lí Ễ £ và

V e E*.

Định nghĩa 2.1 ([5],pp.55) Cho T là toán tử đi từ E vào E* Toán tử T được gọi là liên tục trên không gian con hữu hạn chiều nếu nó liên tục trên mỗi không gian con hữu hạn chiều Ư của E.

1 7

Cho không gian M là không gian con nào đó của E, P M biểu thị phép

chiếu từ M vào E và P^Ị là đối ngẫu của P M ■ Kí hiệu B r (x ) là hình cầu tâm

X bán kính r trong E.

Cho G là tập con của E, khi đó G là bao đóng của G.

Định lý 2.1 ([5], theorem 1, pp.55) Giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn: i) T liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,

ii) Mỗi dãy {a^ n } hội tụ yếu đến X , lim inf (y, T x n ) < ( y , T x ) v ớ i

Khi đó tồn tại X G E sao cho Tx = 0.

Chứng minh Cho A là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E chứa x ữ được sắp thứ tự bởi bao hàm Mỗi tập Me A ta có:

Tm là ánh xạ một- một và là ánh xạ mở Nhưng ánh xạ Tm là ánh xạ đóng với điều kiện thứ (v) Do đó T M là ánh xạ lên M* và có duy nhất XM ẽ M sao cho T M XM — 0.

Cho E M = {xy : M c V ẽ A} Kí hiệu wclE M là bao đóng, yếu của Em- Khi đó

họ tất cả các bao đóng, yếu {wclE M : M € A} có giao hữu hạn.

Thật vậy, cho u , v € A ta có M € A sao cho u u V c M Khi đó

0 Ỷ W C Ỉ E M c wcỉEụ n W C Ỉ E V

Với mỗi M € A, từ T M X M = 0 ta có:

0 = \ { x 0 , T M x M } \ = \ { x 0 , T x M ) \

-Vì vậy điều kiện (iv ) khi đó tồn tại r > 0 không phụ thuộc vào Mg A sao cho

II^mII < r VM e A Do đó W C Ỉ E M c -B r (0) với mọi VM e A, vì E là

không gian Banach phản xạ B r ( 0) là tập compact yếu, do đó

1 9

Hệ quả 2.1 ([5], corollary 2, pp.56) Giả sử rằng các điều kiện sau đây thỏa mãn:

i) T là toán tử liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,

ii) Mỗi dãy {x n } hội tụ yếu đến X , lim inf (y : T x n ) < ( y , T x ) , v Ó i m ọ i

n-¥ 00

Vy € E ,

\ { x 0 , T x ) \ iv) - Tồn tai X Q £ E, a

> 0 sao cho lim inf —rr—r -> 0.

IMI->00 ||a;|| Q

Khi đó T ỉà ánh xạ ỉên E*.

Hệ quả 2.2 ([5], corollary 3, pp.56) Giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn:

i) Mỗi dãy {a; n } hội tụ yếu đến X sao cho

lim inf ( y , T x n ) < ( y , T x ) y € E ,

n - > 00

ũ ) H à m X I—( x , T x } là hàm nửa liên tục dưới trong E,

I l l I) {x - y , T x - T y ) Ỷ 0 ^ X Ỷ V ,

\ ( x 0 : T x ) \ iv) Ton tại x ữ g E và a > 0 sao cho liminf —rr—r -> 0.

||a:||—>00 |p||“

Khi đó T là ánh xạ lên E.

Định lý 2.2 ([5], theorem ị, pp.56) Giả sứ các điều kiện sau thỏa mãn: ỉ) T

là toán tử liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,

ii) Mỗi dãy { x n } h ộ i t ụ y ế u đ ế n x , lim inf ( y , T x n ) < ( y , T x ) \ f y G

E ,

n — >00

( x — x 0 , T x — T x 0 ) Ui) Tồn tại x 0 G E sao cho lim -77 - = oo ;

I |z| |—>oo I ịx —Xg 11

Khi đó T là ánh xạ lên E*.

Chứng minh Cho A là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E chứa x ữ được sắp thứ tự bởi bao hàm

Mỗi tập M e A,T M = P^TPm : M —>■ M* là toán tử liên tục Vì dimM <

00 , không mất tính tổng quát, ta giả sử nếu M là không gian Euclid và coi

2 1

-II _ II - li -_ -ũ ~ - ° •

Theo điều kiện (Ỉ Ỉ I) tồn tại R > 0 không phụ thuộc vào Me A sao cho | | Z M | |

Khi đó, T là ánh xạ lên E*.

2.1.2 Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực với chuẩn IỊ.ỊI, E* là không gian đối ngẫu của E Kí hiệu giá trị của hàm / ẽ E* tại X ẽ E là (x,/).

Ánh xạ đối ngẫu J: E —>• 2 E * xác định bởi J(x ) = {x* € E* : (X, X*) =

||x|| 2 = ||^*|| 2 } với X e E Cho u = { x e E : ||x|| = 1} là hình cầu đơn vị của E

Định nghĩa 2.2 ([4], pp.1355) Cho tập u = {x € E ||a;|| = 1}

là hình cầu đơn vị của E Khi đó E được gọi là trơn nếu giới hạn

2 3

Ví dụ 2.1 Cho không gian vectơ E — R 2 vối chuẩn Euclid Ị|:r*Ị| = \JX 2 + y 2

Kí hiệu U(E) là mặt cầu tâm 0 bán kính r = 1 trong E, U ( E ) = {æ* g E : lia;*II < 1}.

K h i đ ó ( E , Ị|:z*Ị|) l à k h ô n g g i a n B a n a c h lồi ngặt.

T h ậ t v ậ y , ' i x ^ y G U ( E ) ||:c|| = \ \ y \ \ = 1 t h ì — l à t r u n g điểm của đoạn

[ x , y ] d o đ ó —-— n ă m trong đường tròn U ( E ) s u y ra II—-—II < 1.

V ậ y

E là không gian lồi ngặt.

Định nghĩa 2.4 ([4], pp 1355) Cho c là một tập con khác rỗng, lồi đóng của không gian Banach E phản xạ, trơn, lồi ngặt Xét hàm V trong E X E* xác định như sau:

V{x,x*) = |ỊzỊ| 2 — 2(x,x *) + |Ị:z*Ị|2, với mọi G E X E*.

Khi đó với X* e E* tồn tại duy nhất x 0 € c sao cho:

Định nghĩa 2.5 ([ị], pp.1356) Cho T : c —¥ 2 E * là một toán tử Kí hiệu

T -1 (0) = {u e c : Tu = 0} Toán tử T được gọi là đơn điệu nếu Vií, V G c

C H Ứ N G M I N H 1 = > 2 : Giả sử điều trên không đúng khi đó tồn tại X 0 €

B R [0] thỏa mãn J _1(J — T ) X Ữ Ệ B R [0] sao cho

=

A 0 Jx 0

(niâu thuẫ

n với giả thiết) iỹ

Vậy điều giả sử là sai Ta

có điều phải chứng minh.

—

t

t

— t t

— t t

— t

>

t

- t

t

— t t

Giả sử điều trên là không đúng khi đó tồn tại (Ao,£o) £ (1, oo) X

- (y, Jx 0 ))

= ( \ 0

-l ) ( { x 0 , x * 0 ) -

= ( A o - l ) ( r 2 - | M |

r )

= (Ao — l)r(r —

Điều này mâu thuẫn với

giả thiết Vậy điều giả sử

ánh xạ Kí hiệu F(S ) ỉà tập hợp các điểm bất động của s Một điểm p thuộc С được gọi là điểm bất động tiệm cận của s nếu с chứa một dãy {ж п } hội tụ yếu đến

p đủ mạnh sao cho lim(x n — Sx n ) = 0 Tập hợp các điểm bất động lăn cận của s kí hiệu là

F ( S )

Định nghĩa 2.8 ([4], pp 1357) Ánh xạ s với F(S)

7 ^ 0 được gọi là không giãn tương đối nếu F(S)

= F(S) và V ( p , J S x ) <

V ( p , J x ), Va; G

c, p e F(S).

BỔ đề 2.2 ([4], lemma 3.1, pp.1357) Cho c là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không

i n f V ( y , J S x 0 )

= V ( x 0 , J S x o )

y t c

Xét ánh xạ 11(7 '■ E* -ì

c xác định bởi n c (x*) =

x 0 Khi đó:

J S x o) =

v ( u ,

J x 0 ) >

V ( u , J S x

o)