nhúng hyperbolic và không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình

Kwack đã đưa ra đặc trưng cho tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y đó là: tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực

Tác giả

Nông Thế Hƣng

Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Đa tạp phức 3

1.2 Không gian phức 4

1.3 Định lý Ascoli 5

1.4 Giả khoảng cách Kobayashi 6

1.5 Không gian phức hyperbolic 7

1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic 8

1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 12

CHƯƠNG 2 NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 15

2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trưng của các điểm hyperbolic 15

2.2 Đặc trưng của tính nhúng hyperbolic 26

2.3 Ứng dụng của tính nhúng hyperbolic 30

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được S Kobayashi đưa ra đầu thập

kỷ 70 của thế kỷ trước và đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi S Kobayashi, M Kwack, J Noguchi, J Joseph …Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ

Năm 1994, James E Joseph và Myung H Kwack đã đưa ra đặc trưng cho tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y đó là: tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối trong cấu trúc compact - mở của các không gian thác triển liên tục các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* đến X và từ M - A đến X trong đó M

là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc James E Joseph và Myung H Kwack đã áp dụng các đặc trưng đó khái quát và mở rộng các định lý của Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi và Vitali mà không cần đến giả thiết về tính compact tương đối của X trong Y Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày chi tiết các kết quả nói trên

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm một số kiến thức cơ bản

về giải tích phức liên quan đến nội dung chính của luận văn như: đa tạp phức, không gian phức, không gian phức hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, không gian phức nhúng hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi

Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn Phần đầu chương, chúng tôi trình bày về các đặc trưng của điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh chi tiết tính nhúng hyperbolic của không gian phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối của không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình Cuối chương là ứng dụng của các định lý đã nêu vào việc mở rộng, khái quát các định lý như Định lý Picard, Định lý Noguchi, Định lý Vitali …

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân đây, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học

Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Trường THPT Võ Nhai, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff

Cặp U , được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và : n

U  là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) ( )U là tập mở trong n

ii) :U ( )U là một đồng phôi

Họ Ui, i i I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ

giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

Xét họ các atlas trên X Hai atlas 1, 2 được gọi là tương đương nếu hợp

1 2 là một atlas Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas Mỗi lớp

tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên đó được gọi là một đa tạp phức n chiều

1.1.2 Ví dụ

1 Giả sử D là miền trong n

 Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ

 Xét các đồng phôi i:U i n

Hay tương đương, với mọi x M y, N tồn tại hai bản đồ địa phương

( , )U và ( , )V tại x và y tương ứng sao cho

1

  là ánh xạ chỉnh hình

Giả sử f M: N là song ánh giữa các đa tạp phức Nếu f và f 1 là các ánh

xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N

1.2 Không gian phức

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử Z là đa tạp phức Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của

Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích Tức

là, với x0 X tồn tại lân cận mở V của x0 trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình

1, , m trên V sao cho X V { x V | i( ) x 0, i 1, , } m

Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z Hàm f X: 

được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U x( ) Z và một hàm chỉnh hình f trên U sao cho  |f U X f |U X

Giả sử f X: Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y, hàm hợp

g f là hàm chỉnh hình trên f 1( )V

1.2.2 Định lý

Giả sử fn: X Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

X, Y Nếu fn hội tụ đều tới f trong H(X, Y) thì f là ánh xạ chỉnh hình (trong đó H(X, Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X và Y được trang bị tô pô compact mở)

1.2.3 Divisor với giao chuẩn tắc [D]

Giả sử Y là một không gian phức Một divisor Catier A trên Y là một không

gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xác định bởi một phương trình giải tích Tức là, với mỗi điểm x A tồn tại một lân cận V của x trong

Y sao cho A V được xác định bởi phương trình 0, với là một hàm chỉnh

hình nào đó trên V

Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor Ta nói A có giao

chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1, , zm trong M sao cho về

1.3.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)

Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y) Khi đó là compact tương đối trong C(X,Y) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :

i) là họ đồng liên tục trên ;

ii) Với mỗi x X , tập hợp x ={ ( ) |f x f } là compact tương đối trong Y

1.3.3 Định nghĩa

Giả sử là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô

pô Y Họ được gọi là liên tục đồng đều từ x X tới y Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của điểm x và lân cận W của điểm y sao cho

Nếu f x W thì f V( ) U , với mọi f Nếu là liên tục đồng đều với mọi x X và mọi y Y thì được gọi là

liên tục đồng đều từ X đến Y

1.3.4 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều)

Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y) từ không gian chính quy compact địa phương X vào không gian Haudorff Y và C(X, Y) có tô pô compact

mở Khi đó là compact tương đối trong C(X, Y) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn :

i) là họ liên tục đồng đều ;

ii) Với mỗi x X , tập hợp Fx f x ( ) | f F là compact tương đối trong Y

1.4 Giả khoảng cách Kobayashi [D]

Tập hợp p0, ,p a k, , ,1 a k, , ,f1 f k thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một

dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X

Trong đó x y, là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X

Khi đó dX : X X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

a được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình Nếu X không liên thông, ta định nghĩa d X( , )x y với x, y thuộc hai thành

phần liên thông khác nhau

1.4.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

1.5.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

1.5.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y là hyperbolic

thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic

1.5.3 Ví dụ

+ Đĩa Dr và đa đĩa D r m là hyperbolic

+ Một miền bị chặn trong m là hyperbolic vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa + m không là hyperbolic vì dm 0

1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic [D]

HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y

HI2 X là hyperbolic và nếu { },{ } xn yn là các dãy trong X thỏa mãn

Khi đó, nếu dX( , x yn n) 0 khi n thì x = y

HI4 Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho với mọi f Hol(D,X) ta có

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f thuộc H(D,X) ta có

d x y n Vậy HI2 được chứng minh

HI2 HI3 Giả sử HI2 được thỏa mãn Nếu ,x y X , do tính liên tục của giả

khoảng cách Kobayashi d ta có X d X( , )x y 0 Mà X là hyperbolic nên suy ra x = y

Nếu x X y, X Vì y X nên tồn tại d X - cầu B(x, s) mà y B( , )x s Do

Điều này mâu thuẫn với giả thiết d X( ,x y n n) 0 Vậy trường hợp này không xảy ra

Do đó HI3 được chứng minh

HI3 HI4 Giả sử K là tập con compact của Y Trước hết ta chứng minh tồn tại hằng

sô C > 0 sao cho với mỗi (D, )H X ta có

* ( ) D

f CH H tại mỗi điểm của f 1( )K

Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy { }f n H(D,X), tồn tại 1

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại r < 1 sao cho (D ) f r r U với mọi

Ta có thể lấy z sao cho k x nằm trong một tập con compact chứa U Từ đó, bằng k

cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết x k x x, y Khi đó:

D

( , ) (0, ) 0

d x y d z khi k

Điều này mâu thuẫn với HI3

Bây giờ, giả sử K1 K2 là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn

1

i i

f H H với mọi hàm độ dài H trên Y

HI4 HI5 Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H

HI5 HI1 Giả sử ,x y X và x y Lấy

B ( , ),H B ( , )H

U x s V y s ,

là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bới hàm độ dài H

Do H là hàm độ dài và x y , nên ta có thể lấy s > 0 đủ nhỏ sao cho

B ( , 2 )H x s B ( , 2 )H y s Lấy 'x U X và y' V Y ta có

( ', ') ( ', ') 0

d x y d x y s

Thật vậy, từ HI5 suy ra d H có tính chất giảm khoảng cách với mọi

(D, )

f H X , theo tính chất lớn nhất của giảm khoảng cách Kobayashi ta có

d d Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn

1.6.3 Một số đặc trƣng cho tính nhúng hyperbolic của các không gian phức 1.6.3.1 Mệnh đề

Giả sử X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức Y Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu với mỗi hàm độ dài H trên Y, có hằng số C > 0 sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình f D: X ta có

*

D

Chứng minh

Vì trong một không gian con phức compact tương đối thì mọi hàm độ dài đều

tương đương, do đó, theo định lý 1.6.2, HI5 ta có ngay điều phải chứng minh

1.6.3.2 Định lý (Kiernan [Ki1])

Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức Y

Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H(D,X) là compact tương đối

trong H(D,Y)

Chứng minh

Giả sử H(D, X) là compact tương đối trong H(D, Y) nhưng không là nhúng

hyperbolic trong Y Theo định lý 1.6.2, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y và với

mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

: D

n

f X và z n D, Sao cho

Do tính thuần nhất của D đối với nhóm Aut(D) nên ta có thể giả sử z n 0 Vì

X compact tương đối trong Y nên tồn tại y X thỏa mãn f n(0) y Theo giả thiết

H(D,X) là compact tương đối trong H(D,Y), sau khi lấy dãy con ta có thể giả thiết

rằng { }f n hội tụ đều tới f trên một lân cận của 0 Do đó f n'(0) f '(0), điều này mâu

thuẫn với (*) Vậy X là nhúng hyperbolic trong Y

Ngược lại, giả sử X là nhúng hyperbolic trong Y Theo định lý Ascoli, vì X là compact tương đối trong Y nên ta chỉ cần chứng minh H(D, X) là đồng liên tục đối

với một hàm khoảng cách d H sinh bởi một hàm độ dài H trên Y Nhưng điều này

được suy trực tiếp từ định lý 1.6.2, HI5 Vậy định lý được chứng minh

X X Khi đó X’ là nhúng hyperbolic trong Y’

1.6.3.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn địa phương cho tính nhúng hyperbolic)

Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X Giả sử H là hàm độ dài trên X Khi đó các điều kiện sau là tương đương :

i) M là nhúng hyperbolic trong X ;

ii) + M là nhúng hyperbolic địa phương trong X, tức là với mỗi p M tồn tại một lân cận compact tương đối U của p trong X sao cho U M là nhúng hyperbolic trong X, và

+ Với mỗi dãy { } fn Hol (D, M ) thỏa mãn lim n(0)

Giả sử X là không gian phức và : X  X là phủ chỉnh hình của X Giả sử

M là không gian con phức của X và  1

( )

M M Khi đó, M là nhúng hyperbolic trong X nếu và chỉ nếu M là nhúng hyperbolic trong X

1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi [D]

Cụ thể, xét dãy các điểm p0 p p , 1, , pk q của X , dãy các điểma1, , ak của D

và dãy các ánh xạ f1, , fk trong FX Y, thỏa mãn

1

(0) , ( ) , 1, ,

Tập hợp p0, , p ak, , ,1 a fk, , ,1 fk thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là

một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X

trong đó p q, là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X

Khi đó d X Y, :X X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách tương đối Kobayashi

Nếu p hoặc q nằm trên biên của X, dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai điểm

có thể không tồn tại Trong trường hợp này ta định nghĩa

, ( , )

X Y

1.7.2 Một số tính chất của giả khoảng cách tương đối Kobayashi

1.7.2.1 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X Y, là mở rộng của giả khoảng cách Kobayashi dX theo nghĩa d X d X X,

CHƯƠNG 2 NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC

CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trưng của các điểm hyperbolic

Khi đó : F X :TX R được gọi là hàm Royden [R] đối với giả khoảng cách d X

b Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, p là một điểm trên X, e là

một véctơ đơn vị trên T D0( ), v là véctơ trên T X p( ) Ta đặt :

c Giả sử X là một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài H

Một điểm p X được gọi là điểm hyperbolic đối với X nếu tồn tại một lân cận U của p trong Y và một hằng số C 0 sao cho FX CH trên U X

2.1.5 Bổ đề Cho X một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài

H và cho p X Khi đó p R X khi và chỉ khi lim( ) d X(p q n, n) 0với mọi dãy

{ }p n và { } q n trong X thỏa mãn p n p và không có dãy con của { } q n hội tụ tới p

Chứng minh Giả sử p R X( ) ; Gọi V, W, U lần lượt là các lân cận compact của p

và c > 0 sao cho F X cH trên U X , và V W W U , và cuối cùng

Từ bổ đề 2.1.5 dễ dàng thấy: Một không gian phức con X của không gian phức

Y được gọi là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi X R X ( )

2.1.6 Bổ đề Cho X là không gian con phức của không gian phức Y và p R X ( )

Cho z n và f n lần lượt là các dãy trong D*

và H(D*, X) sao cho z n 0, ( )

f z p Nếu n z D z: z n thì f n( n) p

Chứng minh Dễ thấy rằng dãy độ dài hyperbolic ( ) n thỏa mãn ( n) 0

(xem [L], tr.41) Từ đó, với x n n, ta có d X(f x n( n), f z n( ))n ( n), theo bổ đề 1 ta

có f n( n) p

2.1.7 Định lý Cho X là một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ

dài H Với mỗi điểm p X , các mệnh đề sau là tương đương :

(1) p R(X)

(2) Nếu {f n } là một dãy trong H(D * , X) và z n là một dãy trong D * sao

cho z n 0 và f z n( n) p , thì với mỗi tập mở U chứa p, tồn tại 0 < r < 1 sao cho

a Mỗi f đều thác triển được thành  n f n H(D, )Y

b Tồn tại r, 0 < r < 1 và một dãy con

(4) Nếu f n là một dãy trong X,Y sao cho f n(0) p , thì với mỗi tập mở

U chứa p, tồn tại r, 0 < r < 1 sao cho (D ) f n r U

(5) Tồn tại lân cận U của p sao cho

,sup{|df(0) |: f FX Y, (0)f U} .

(6) Tồn tại lân cận U của p và c > 0 sao cho F X,Y cH trên U X

(7) Nếu { } p n và { } q n là hai dãy trong X sao cho p n p và nếu không có dãy con của { } q n hội tụ tới p, thì limd X Y, (p q n, n) 0.

(8) Tồn tại lân cận U của p sao cho nếu { } p n và { } q n là hai dãy trong

U X và d X Y, (p q n, n) 0, thì d H(p q n, n) 0.

Chứng minh. (1) (2) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử (1) đúng nhưng

(2) không đúng Khi đó tồn tại các lân cận tọa độ địa phương compact tương đối W,

U của p và các dãy z n , z,n , z,,n trong D*, tồn tại f n trong H(D*, X) sao cho

W U U, X R X , ( ) f z n( n) p , f z n( )n, Y U với mỗi n, z n 0, z,n 0, ,,

n z D z z n Cho V là một lân cận compact tương đối của q sao cho

V U và p V Khi đó tồn tại các dãy số thực dương a n , b n thỏa mãn

,,

0 a n z n b , n a n 0,b n 0, và sao cho hình vành khăn z D a: n z b n được ánh xạ vào V bởi f n là lớn nhất Tồn tại các dãy mà ta vẫn ký hiệu là ,

a b thỏa mãn điều kiện của a n và b n ở trên, và các dãy x n , y n sao cho nếu n z D z: a n và n z D z: b , ta có n x n nvà y n n với mỗi

n, f x n( n) p' V f, n(y n) p'' V Do đó, theo bổ đề 2.1.6, ( ) ', ( ) "

f p f p vì p p', " R X Chọn tọa độ địa phương( ) w1, ,w m cho

m

U C sao cho w q1( ) 0,w p1( ') 0,w p1( '') 0 Và f n (f n1, , f nm) là biểu diễn

địa phương của f trên 1

( )

f V Khi đó : f n1( n) w p1( '), f n1( n) w p1( ") Do đó tồn tại số nguyên dương K sao cho với mọi n K, ta có :

Như vậy, với n >K thì f n1( n) và f n1( n) chứa trong một miền đơn liên trong 

nhưng không chứa ,,

1( )

f z