Các định lý hội tụ thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức zalcman yếu

10 2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 12 2.1 Không gian phức Zalcman.. 12 2.2 Tính taut của một miền không bị chặn trong một khôn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN HUỆ MINH

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn này là công trình nghiên cứucủa riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Trần Huệ Minh Tôi không saochép từ bất kì một công trình nào khác Tôi kế thừa và phát huy các thànhquả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Trần Thị Huệ

của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

TS Trần Huệ Minh

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Trần Huệ Minh, người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi

có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốtquá trình học tập

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Trần Thị Huệ

Mục lục

1.1 Ánh xạ chỉnh hình 3

1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm 4

1.2.1 Tô pô compact mở 4

1.2.2 Compact hóa một điểm 4

1.3 Đa tạp phức 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức 6

1.4 Không gian phức 7

1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình 7

1.6 Phủ chỉnh hình 8

1.7 Giả khoảng cách Kobayashi 8

1.8 Không gian phức hyperbolic 9

1.8.1 Không gian phức hyperbolic 9

1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy 9

1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic 10

1.9 Miền taut 10

1.10 Hàm đa điều hòa dưới 10

2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 12 2.1 Không gian phức Zalcman 12

2.2 Tính taut của một miền không bị chặn trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact 22

2.3 Tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 28

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về không gian phức Zalcman vàcác định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gianphức Zalcman yếu, em đã chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ -thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcmanyếu" Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo còn gồmhai chương nội dung.

Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về ánh xạ chỉnhhình, tôpô compact mở và compact hóa một điểm, đa tạp phức, không gianphức, họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phủ chỉnh hình, giả khoảng cáchKobayashi, không gian phức hyperbolic, miền taut, hàm đa điều hòa dưới.Chương hai trình bày các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh

hình vào không gian phức Zalcman yếu Phần đầu của chương trình bàymột vài lớp không gian Zalcman quan trọng và chỉ ra những tính chất cơbản của không gian Zalcman Phần thứ hai trình bày điều kiện đủ về tínhtaut của một miền trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu khôngcompact theo cách tiếp cận từ không gian phức Zalcman có điểm biên đọngquỹ đạo Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu mối quan hệ giữatính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗− thác triển, tính Zalcman yếu và tínhlồi đĩa yếu của không gian phức.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyêndưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Huệ Minh Tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, trườngĐại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi đểtác giả hoàn thành được khóa học của mình

Một ánh xạ f : X → Cm có thể viết dưới dạng f = (f1, , fm), trong đó

fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, , m là các hàm tọa độ Khi đó f được gọi làchỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1, , m

Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ Cn được gọi là song chỉnh hình nếu f là songánh, chỉnh hình và f−1 cũng là ánh xạ chỉnh hình

1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm

1.2.1 Tô pô compact mở

Giả sử X, Y là các không gian tô pô Gọi F là họ các ánh xạ X vào Y.+ Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của khônggian Y, ta định nghĩa

W (K, U ) = {f |f (K) ⊂ U }

Họ tất cả các tập W (K, U ), trong đó K là một tập con compact bất kỳcủa X và U là một tập mở trong Y, là một tiền cơ sở của tô pô compact

mở C trên F

Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng W (K, U ), trong đó

K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tô pô compact mở trên

F Một phần tử tùy ý của cơ sở có dạng T{W (Ki, Ui) |i = 1, , n} trong

đó mỗi Ki là tập con copmact của X và mỗi Ui là một tập con mở của Y.+ Giả sử {fn} là một dãy trong F Ta nói dãy {fn} hội tụ tới f ∈ F

đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tô pô compact mở)nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y thỏa mãn

f (K) ⊂ U, tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có fn(K) ⊂ U

1.2.2 Compact hóa một điểm

Giả sử X là không gian tô pô không compact Cặp (Y, ϕ), trong đó Y làmột không gian compact, ϕ : X → Y là một phép nhúng đồng phôi X vào

Y sao cho ϕ (X) trù mật trong Y, gọi là một compact hóa của X

Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian không compact Giả

sử Y là một không gian tô pô không compact và ∞ là một điểm không

thuộc Y Đặt Y+ = Y ∪ {∞} Ta trang bị cho Y+ một tô pô τ như sau:

- Nếu G là một tập hợp trong Y+ không chứa ∞, tức là G ⊂ Y, thì G ∈ τ

khi và chỉ khi G mở trong Y

- Nếu G là một tập hợp trong Y+ chứa ∞, thì G ∈ τ khi và chỉ khi Y+\G

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff

+ Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập

mở trong X và ϕ : U → Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏamãn:

(i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn,

(ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi

+ Họ A = {(Ui, ϕi)}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tậpbản đồ giải tích (atlats)của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) {Ui}i∈I là một phủ mở của X

(ii) Với mọi Ui, Uj mà Ui ∩ Uj 6= ∅, ánh xạ

ϕj ◦ ϕ−1i : ϕi(Ui ∩ Uj) → ϕj (Ui ∩ Uj)

là ánh xạ chỉnh hình.

Xét họ các atlats trên X Hai atlats A1, A2 được gọi là tương đương nếuhợp A1 ∪ A2 là một atlats Đây là một mối quan hệ tương đương trên tậpcác atlats Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X,

và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n

chiều

Ví dụ 1.3.1 Giả sử D là miền trong Cn Khi đó, D là một đa tạp phức n

chiều với bản đồ địa phương {(D, IdD)}

1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức

Giả sử M, N là các đa tạp phức, ánh xạ liên tục f : M → N được gọi

là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọibản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )

là ánh xạ chỉnh hình

Hay tương đương, với mọi x ∈ M, y ∈ N, tồn tại hai bản đồ địa phương

(U, ϕ) và (V, ψ) tại x và y tương ứng sao cho

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )

là ánh xạ chỉnh hình

Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức Nếu f và f−1 làcác ánh xạ chỉnh hình thì f gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N

1.4 Không gian phức

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử M là đa tạp phức Một không gian phức đóng

X là một tập con đóng của M mà về mặt địa phương được xác định bởihữu hạn các phương trình giải tích Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở

V của x trong M và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1, , ϕm trên V sao cho

X ∩ V = {x ∈ V |ϕi(x) = 0, i = 1, , m}

Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức M

một lân cận U (x) ⊂ M và một hàm chỉnh hình fˆtrên U sao cho

với tôpô compact mở

- Một dãy fj ∈ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact

fj (K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0

- Một họ F được gọi là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy connào phân kỳ compact.

Ánh xạ chỉnh hình π : X0 → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi

x ∈ X, có lân cận mởU chứax mà π−1(U ) là hợp rời rạc những tập mở Uσ

của X0 (tức là π−1(U ) = ∪

α∈IUα, Uα là các tập mở trong X0 và Uα∩ Uβ = ∅

nếu α, β ∈ I, α 6= β ) thỏa mãn

π|Uα : Uα → U là song chỉnh hình

Khi đó X0 được gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi

x ∈ X, π−1(x) gọi là thớ trên x của phủ π

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X

Hol (D, Y ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào Y, được trang bị

tô pô compact mở Xét dãy các điểm p0 = x, p1, , pk = y của X, dãy cácđiểm a1, a2, , ak của D và các dãy ánh xạ f1, , fk trong Hol (D, Y ) thỏamãn

trong đó Ωx,y là tập tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giảkhoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.

Tổng

k

P

i=1

ρD(0, ai) gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình α

1.8.1 Không gian phức hyperbolic

Không gian phứcX được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi)nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là

dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X

Nhận xét 1.8.1 Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh

xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biếnsong chỉnh hình

1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy

- Giả sử X là không gian phức với khoảng cách d Dãy {xn} ⊂ X đượcgọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) đối với khoảng cách d nếu với mỗi ε > 0,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có

d (xn, xm) < ε

- Không gian phứcX được gọi là hyperbolic đầy nếuX là hyperbolic và đầyđối với khoảng cách Kobayashi dX, tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảngcách dX đều hội tụ

1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, X được gọi lànhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y luôn tồn tại các lâncận mở U của x và V của y trong Y sao cho

dX(X ∩ U, X ∩ V ) > 0

Cho M là một miền trong không gian phức X

- Dãy {fj}∞j=1 ⊂ Hol(∆, M ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tậpcompact K ⊂ ∆, với mỗi tập compact L ⊂ M, tồn tại số j0 = j(K, L) saocho fj(K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0

- M được gọi là taut nếu mọi dãy {fj}∞j=1 ⊂ Hol(∆, M ) hoặc chứa mộtdãy con hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới ánh xạ chỉnh hình f ∈

+ Giả sử D là miền trong C Một C2 - hàm h xác định trên D được gọi

là điều hòa nếu

∆h := 4 ∂

2h

∂z∂ ¯z = 0 trên D.

+ Hàm u : D → [ − ∞, ∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u

thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D; u (z) < s} là tập mởvới mỗi số thực s;

ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G → R

là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤ h

trên G

Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần

và đủ là với mỗi điểm z ∈ D, tồn tại r0(z) > 0 sao cho

u(z + reit)dt với mọi r < r0(z)

+ Giả sử G là một tập con mở trong Cn Một hàm

ϕ : G → [ − ∞, ∞)

được gọi là đa điều hòa dưới nếu

(i)ϕ là nửa liên tục trên vàϕkhông đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phầnliên thông của G;

(ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ Cn mà a 6= 0, và với mỗi ánh xạ

τ : C →Cn, τ (z) = z0+ az, hàm ϕ ◦ τ trên mỗi thành phần liên thông của

τ−1(G) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới

Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa:

Giả sử X là một không gian phức Một hàm đa điều hòa dưới trên X làmột hàm ϕ : X → [ − ∞, ∞) thỏa mãn tính chất sau:

Với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạsong chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của mộtmiền G ⊂ Cm nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [−∞,∞) saocho ϕ|U = ϕ ◦ h

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương

Chương 2

Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không

gian phức Zalcman yếu

Phần đầu của chương này, chúng tôi trình bày về không gian phứcZalcman và một số tính chất cơ bản của không gian Zalcman Phần tiếptheo, trình bày về tính taut của một miền không bị chặn trong một khônggian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact Cuối cùng, chúng tôi trìnhbày về tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnhhình vào không gian phức Zalcman yếu

Định nghĩa 2.1.1 [11] Giả sử X là một không gian phức, ∆ là đĩa đơn vị

mở trên C Không gian phức X được gọi là một không gian Zalcman nếu

X thỏa mãn điều kiện sau:

Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol (∆, X) sao cho F là không phân

kỳ compact, thì tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F,

{ρj} ⊂ R với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho

gj(ξ) = fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C,

hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình kháchằng g : C → X

Nhận xét 2.1.1 Một không gian taut là không gian Zalcman

Ví dụ 2.1.1 1 Từ định lý 2.8 [8] suy ra mỗi không gian phức compact làmột không gian Zalcman

2 Cho X là một không gian phức compact Cho H là một siêu diện phứccủa X Khi đó X\H là không gian Zalcman, đặc biệt C = CP1\ 

1điểm

là không gian Zalcman

3 Nếu X1 là không gian taut và X2 là không gian Zalcman, thì X1 × X2

cũng là không gian Zalcman

Thật vậy, giả sử fj = fj1; fj2
⊂ Hol(∆, X1 × X2) sao cho {fj} làkhông chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆ Khi đó dễ thấy



fjk cũng không phân kỳ compact trên ∆, (k = 1, 2)

Do X1 là taut nên fj1 là chuẩn tắc trên ∆

Vậy fj2 là không chuẩn tắc trên ∆

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng fj1 → f1 trong

Hol(∆, X1) Vì X2 là Zalcman nên không mất tổng quát ta có thể giả sửrằng tồn tại một dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R

với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho

gj2(ξ) = fj2(pj + ρjξ), ξ ∈ C,

hội tụ đều trên tập con compact của C đến một hàm nguyên khác hằng

g2 : C → X2 Khi đó

gj1(ξ) = fj1(pj + ρjξ), ξ ∈ C,

cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g1 = f1(p0)

Khẳng định được chứng minh

4 Nếu X1 là không gian phức compact và X2 là không gian Zalcman, thì

X1 × X2 cũng là không gian Zalcman

Thật vậy, giả sử fj = fj1; fj2
⊂ Hol(∆, X1 × X2) sao cho {fj} làkhông chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆ Khi đó dễ dàngthấy rằng fj2 cũng không phân kỳ compact trên ∆ Ta xét hai trườnghợp

Trường hợp 1: fj2 là chuẩn tắc trên ∆

Khi đó fj1 là không chuẩn tắc trên ∆ Không mất tính tổng quát ta

có thể giả sử rằng fj2 → f2 trên Hol(∆, X2) Do X1 là compact nênkhông mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy {pj} ⊂ ∆ với

{pj} → p0 ∈ ∆, {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho

gj1(ξ) = fj1(pj + ρjξ), ξ ∈ C,

hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng

g1 : C → X1 Khi đó

gj2(ξ) = fj2(pj + ρjξ), ξ ∈ C,

cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g2 = f2(p0)

Trường hợp 2: fj2 là không chuẩn tắc trên ∆

Do X2 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thểgiả sử rằng tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {ρj} ⊂ R với

Bây giờ ta chứng minh kết quả đầu tiên của phần này.

Định lý 2.1.1 [11] Giả sử M1, M2 là hai không gian phức Giả sử

π : M1 → M2 là một phủ chỉnh hình Khi đó không gian phứcM1 là Zalcmankhi và chỉ khi M2 cũng là không gian Zalcman

Chứng minh (⇐) Giả sử rằng M2 là không gian Zalcman Giả sử

phân kỳ compact trên ∆.

(i) Ta sẽ chứng minh rằng họ π ◦ F là không chuẩn tắc trên ∆ Thật vậy,giả sử ngược lại rằng họ π ◦ F là chuẩn tắc trên ∆ Lấy {fn} ⊂ F, khôngmất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng {π ◦ fn} → g ∈ Hol(∆, M2) Vớimỗi y ∈ M2, chọn một lân cận taut Uy của y trong M2

Khi đó π−1(Uy) là taut

Đặt Vy = g−1(Uy), với mỗi y ∈ M2 Lấy một phủ đếm được {Vi}∞i=1 của

∆ sao cho Vi b Vy, với mỗi y ∈ M2

Xét dãy {fn |V1} Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

fn(V1) ⊂ π−1(Uy1) với mọi n ≥ 1 Do {π ◦ fn |V1} → g |V1 nên tồn tạidãy con

Do đó fn(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ n0 Điều đó kéo theo rằng dãy {fn}

cũng là phân kỳ compact Điều này là không thể xảy ra

(iii) Vì M2 là không gian Zalcman nên tồn tại dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} →