Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr tự đẳng cấu vi phân

Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơnnhững tính chất hình học của miền Hartogs.Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic chophép chú

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là trungthực, mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước.Các kết quả này chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một tạp chí nàokhác Các kết quả viết chung với GS TSKH Đỗ Đức Thái, GS Pascal J.Thomas, PGS TS Nguyễn Văn Trào, TS Ninh Văn Thu và ThS Chử VănTiệp đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án

Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình của

GS TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lờicảm ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Bộ môn Hình học, Ban Chủ nhiệm KhoaToán - Tin, Phòng Sau Đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận án củamình

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bộ môn Đại số - Hình học, BanChủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc

đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trongKhoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý -Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; các thành viên seminar Hình học phứcthuộc Khoa Toán - Tin và seminar Đại số Giao hoán - Hình học phức -Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; các đồng nghiệp, anh

em, bạn bè đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu, học tập và công tác

Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức

MỤC LỤC

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Danh mục các kí hiệu 4

Mở đầu 6

Tổng quan 12

Chương 1 Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs 18 1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải tích 18

1.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm của miền ΩH(X) 23

1.3 Tính taut modulo S × Cm của miền ΩH(X) 28

Chương 2 Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2 37 2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức 37 2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong Cn 47

2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C∗)2 50

Chương 3 Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 58 3.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58 3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64 Kết luận và Kiến nghị 77

Danh mục công trình công bố của tác giả 79

Tài liệu tham khảo 80

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu

tỷ, tập số thực, tập số phức

• Ω: Một miền trong Cn

• Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω

• Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức Xvào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở

• Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C, ta kí hiệu D1 bởiD

• ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b||1−ab|−|a−b|, với mọi a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare trênD

• ds2

F S: Metric Fubini-Study trên Pn(C)

• a b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham

• Ωϕ(X): Miền Hartogs.

tại p ∈ Cn

chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M

• (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản ShoshichiKobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bấtbiến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình Giả khoảng cách đó ngày nay đượcgọi là giả khoảng cách Kobayashi Khi giả khoảng cách Kobayashi trên mộtkhông gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi

là không gian phức hyperbolic Tính hyperbolic của không gian phức chophép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức

Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soáttính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳcủa không gian đó Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thểthu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta khôngthể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashitại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S Kobayashi đã đề xuất khái niệmkhông gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích Ông và một vàitác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp

đẽ Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều ví dụ cụ thể về không gian phứchyperbolic modulo một tập con giải tích Ngoài ra, những kết quả của M.Zaidenberg, J Noguchi về giả thuyết Mordell trong tình huống compact vàkhông compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứutính hyperbolic modulo một tập con giải tích

Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolicmodulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểuHartogs Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu

Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiềubiến Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơnnhững tính chất hình học của miền Hartogs.

Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic chophép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đatạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đatạp) Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước

về chủ đề này như: L Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hìnhthái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếpcận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến Trong việcnghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là

khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở

Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đườngcong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2 Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếpcận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giảthuyết về tính Zalcman đã nói ở trên

Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học củacác nhóm biến đổi Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tảcác tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó Trong phần cuối của luận án,dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ

ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải

Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tínhhyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi

phân " Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽgóp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các khônggian phức.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính tautmodulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman củakhông gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵnkiểu vô hạn M trong C2

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng cácphương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình họcphức,

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án đạt được một số kết quả sau:

Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích vànhững thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs.

Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải

đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × Cm

ii Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địaphương và S là tập con giải tích (thực sự) thì log H là đa điều hòa dướitrên X × Cm

S × Cm

với metric Hermit tùy ý.

Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gianphức compact với metric Hermit E Giả sử S là một siêu mặt phức trong

X và đặt M = X \ S Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M ) Khi đó họ F là không chuẩn

{fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và ρj → 0+ khi j → ∞ sao cho

gj(ξ) := fj(pj + ρjξ), ξ ∈ Cthỏa mãn một trong hai khẳng định sau:

(i) Dãy {gj} phân kỳ compact trên C;

cong E-Brody không hằng g : C → M

Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực củamột lớp các siêu mặt thực trong C2

Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo củamiền kiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện

bày chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo

Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2",chúng tôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính

trình bày một chứng minh khác của Định lý 2.5 trong [28] và chứng minhđịnh lý này còn đúng trong trường hợp họ các ánh xạ chỉnh hình nhiềubiến phức vào một không gian phức compact với metric Hermit tùy ý.Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ

mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một

gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt

Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu,Danh mục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trìnhcông bố của tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục

TỔNG QUAN

Trong phần tổng quan này chúng tôi sẽ trình bày những phân tích, đánhgiá về các công trình nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nướcliên quan mật thiết đến đề tài luận án Đồng thời chúng tôi sẽ nêu ra nhữngvấn đề còn tồn tại và chỉ ra những vấn đề mà đề tài luận án cần tập trungnghiên cứu giải quyết

1 Vấn đề 1: Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo củamiền kiểu Hartogs

Giả sử X là một không gian phức, H là một hàm đa điều hòa dưới thuần

kiểu Hartogs là tập ΩH(X) := {(x, w) ∈ X × Cm : H(x, w) < 1}

liên tục trên trên X thì miền Hartogs

Ωϕ(X) := {(x, w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(x)}

Đặc biệt, trong hơn mười năm trở lại đây, đã có nhiều nghiên cứu về tínhhyperbolic cũng như tính taut của miền Hartogs từ quan điểm của giải tíchphức hyperbolic

Năm 2000, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức đã khảo sát miền Hartogs

khi X là hyperbolic đầy và ϕ liên tục trên X, trong điều kiện là với mỗi

chỉnh hình trên U và một dãy cj các số thực thuộc khoảng (0; 1) sao chodãy {cjlog |hj|} hội tụ đều trên các tập con compact của U tới hàm ϕ [25,Định lý A] Cũng trong bài báo [25] các tác giả đã chứng minh rằng miền

Định lý B]

Tiếp đến năm 2003, Nguyễn Quang Diệu và Đỗ Đức Thái đã nghiên

ϕ : X → [−∞, ∞) là hàm nửa liên tục trên trên X Các tác giả đã chứng

gian phức X là hyperbolic và ϕ bị chặn địa phương trên X [9, Mệnh đề 3.1]

hyperbolic đầy [9, Định lý 3.2] là không gian phức X là hyperbolic đầy và ϕnhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X; điều kiện đủ để Ωϕ(X)

là hyperbolic đầy [9, Định lý 3.3] là không gian phức X là hyperbolic, ϕnhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X thỏa mãn: Với mọiđiểm biên (x0; z0) ∈ ∂Ωϕ(X) mà x0 ∈ X, tồn tại một lân cận V của điểm

|f (x; z)| < 1, ∀(x; z) ∈ Ωϕ(V ), lim

(x;z)→(x0;z0)|f (x; z)| = 1

Sau đó vài năm, năm 2007, S H Park đã chứng minh được kết quả vềtính hyperbolic và tính taut của miền Ωu,h(X), ở đây tác giả xét miền kiểu

trên trên X Cụ thể, tác giả đã chứng minh được Ωu,h(X) là hyperbolic khi

và chỉ khi X là hyperbolic, Dh = {w ∈ Cm : h(w) < 1} b Cm và u bị chặnđịa phương trên X [20, Mệnh đề 3.2]; Ωu,h(X) là taut khi và chỉ khi X, Dh

là taut và u liên tục, đa điều hòa dưới trên X [20, Mệnh đề 5.2].

Theo hướng mở rộng miền Hartogs, năm 2009, Nguyễn Văn Trào và

là taut, thớ ΩH(x) là taut với mọi x ∈ X và log H là hàm đa điều hòa dướiliên tục [29, Định lý 1.1; 1.2]

Trong tất cả các kết quả đã liệt kê ở trên, các tác giả đã khảo sát miền

kết quả này đã đề cập đến tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tính taut của

ΩH(X) Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi khảo sát tính hyperbolic

Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương

đã giới thiệu khái niệm không gian phức Zalcman [28], đồng thời các tácgiả đưa ra một số ví dụ về không gian phức Zalcman, như: Mọi không gianphức compact là Zalcman [28, Hệ quả 2.8] hay phần bù của một siêu mặthyperbolic bất kỳ trong một không gian phức compact là Zalcman [28, Hệquả 2.13]

Theo hướng nghiên cứu các đặc trưng và đồng thời chỉ ra thêm những

ví dụ về không gian phức Zalcman, năm 2007, Nguyễn Văn Trào và PhạmNguyễn Thu Trang đã chỉ ra được một số lớp không gian phức Zalcman,

như: X1 × X2 là Zalcman nếu X1 là taut và X2 là Zalcman [30, Ví dụ 2.1

là Zalcman [30, Ví dụ 2.1 (4)] Cũng trong [30], các tác giả đã chứng minhđược đặc trưng của không gian phức Zalcman cho phủ chỉnh hình [30, Định

lý 2.1]

Trở lại tính Zalcman của không gian phức, các tác giả Đỗ Đức Thái,Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã đặt ra giả thuyết sau[28, Chú ý 2.14]

với mỗi n > 1

Theo như chúng tôi biết, cho đến nay giả thuyết trên vẫn là một câu hỏi

mở Vì vậy, trong phần này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho giả thuyết

ta cũng biết rằng, tiêu chuẩn của Marty (xem [1, Định lý 17]) đã khẳngđịnh rằng tính chuẩn tắc của họ F các hàm phân hình trên miền phẳng

gồm tất cả các đạo hàm cầu f# = |f0|/(1 + |f |2)

Tuy nhiên, tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc trong [28, Định lý 2.5] đòi

hỏi metric Hermit đầy Vì thế, mục đích tiếp theo của chúng tôi là chứngminh khẳng định của Định lý 2.5 trong [28] còn đúng với trường hợp metricHermit không đầy Bên cạnh đó chúng tôi còn đưa ra một chứng minh kháccủa Định lý 2.5 trong [28].

3 Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tíchthực của các siêu mặt kiểu vô hạn

Như đã trình bày ở trên, dưới quan điểm KLEIN và dưới góc độ củaHình học phức hyperbolic, chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tựđẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn

quyết vấn đề trên là chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phângiải tích thực của siêu mặt thực về việc mô tả không gian vectơ thực cácmầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó Ý tưởng này có thể

mô tả cụ thể hơn như sau

mầm trường vectơ nhẵn (X, p) trên M được gọi là một mầm tự đẳng cấu

CR vi phân giải tích thực tại p của M nếu tồn tại một mầm trường vectơ

thực gồm tất cả các mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p vàtiếp xúc với M Như vậy, thông qua nhóm con một tham số các vi phôi địaphương sinh bởi một trường vectơ, ta chuyển việc mô tả nhóm các CR-tựđẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặt thực M về việc mô tả không

siêu mặt đó

Nhìn chung, việc mô tả một cách tường minh các tự đẳng cấu CR vi

nữa trong rất nhiều trường hợp là không mô tả được Gần đây, việc nghiên

[3], [6], [17], [22], [23] Tuy nhiên các kết quả này mới chỉ giải quyết đượctrong trường hợp các siêu mặt không suy biến Levi, hay tổng quát hơn làtrường hợp các siêu mặt suy biến Levi kiểu hữu hạn Đối với các siêu mặt

hol0(M, p) đã được đưa ra trong [5], [14], [31] Theo hướng nghiên cứu này,chúng tôi nghiên cứu không gian vectơ hol0(M, p) đối với một lớp các siêu

Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs

Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính

bố trong bài báo [27]

giải tích

Trong mục này chúng tôi nhắc lại và trình bày một số vấn đề về khônggian phức hyperbolic modulo, taut modulo một tập con giải tích Đồngthời, chúng tôi trình bày Ví dụ 1.1.5 về không gian hyperbolic modulo,taut modulo Kết quả này đã được chúng tôi công bố trong bài báo [27].Định nghĩa 1.1.1 (Xem [16, trang 60]) Một không gian phức X được gọi

là hyperbolic nếu dX là khoảng cách Nghĩa là dX(p, q) > 0 với mọi cặp điểm

phức X

Định nghĩa 1.1.2 (Xem [16, trang 68]) Giả sử X là một không gian phức

18

và S là một tập con giải tích của X Ta nói rằng X là hyperbolic modulo

S nếu với mọi cặp điểm phân biệt p, q của X ta có dX(p, q) > 0 trừ khi cảhai điểm p, q được chứa trong S

Từ Định nghĩa 1.1.1 và Định nghĩa 1.1.2 ta dễ dàng suy ra được:

Định nghĩa 1.1.3 (Xem [16, trang 239]) Giả sử X là một không gian

trong hai điều sau đây là đúng:

f ∈ Hol(D, X);

ii Dãy {fn} là phân kì compact trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tập pact K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X, tồn tại một số nguyên

Định nghĩa 1.1.4 (xem [16, trang 240]) Giả sử X là một không gianphức và S một tập con giải tích trong X Ta nói rằng X là taut modulo

đúng:

f ∈ Hol(D, X);

ii Dãy {fn} là phân kì compact modulo S trong Hol(D, X), tức là, với mỗitập compact K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X \ S, tồn tại một số

Từ Định nghĩa 1.1.3 và Định nghĩa 1.1.4, ta có một số nhận xét sau.Nếu X là taut modulo S và S = ∅ thì X là taut

biệt, nếu X là taut thì X là taut modulo S với bất kì tập con giải tích

tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈ Hol(D, X) và do đó X làtaut modulo S0

Tuy nhiên, khi X \ S là taut cũng chưa chắc X là taut modulo S Ví dụnhư C \ {0; 1} là taut (vì C \ {0; 1} có phủ phổ dụng là D) nhưng C không

không phân kỳ compact nhưng cũng không có dãy con hội tụ)

Tương tự, có những ví dụ về miền X là taut modulo S mà X \ S không

là taut Ví dụ ta lấy X là một miền taut và S là tập con giải tích của X

có đối chiều lớn hơn hoặc bằng 2 Khi đó X \ S không giả lồi, do đó không

là taut

Sau đây ta xét thêm một ví dụ minh họa về khái niệm hyperbolic modulo

và taut modulo một tập con giải tích

Ví dụ 1.1.5 Đặt X = {(z, w) ∈ C2 : |z| < 1, |zw| < 1} và S := {0} × C

Khi đó

(i) X không là hyperbolic, nhưng X là hyperbolic modulo S

(ii) X không là taut, nhưng X là taut modulo S

(iii) X \ S là taut (và như vậy X \ S là hyperbolic)

Thật vậy, do đường thẳng phức S được chứa trong X nên X không làhyperbolic và như vậy X cũng không là taut Mặt khác, X \ S là song chỉnhhình với (D \ {0}) × D bởi ánh xạ (z, w) 7→ (z, zw) và do đó X \ S là taut.Bây giờ ta sẽ chứng minh X là hyperbolic modulo S Thật vậy, giả sử(z0, w0) 6= (z1, w1) ∈ X và (z0, w0) 6∈ S Ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1: z0 6= z1 Khi đó ta có

dX ((z0, w0), (z1, w1)) ≥ dD×C((z0, w0), (z1, w1))

= max (dD(z0, z1), dC(w0, w1)) ≥ dD(z0, z1) > 0.Trường hợp 2: z0 = z1 Do (z0, w0) 6∈ S nên z0 6= 0 Lấy một xích chỉnhhình bất kỳ

Trường hợp 2.2: Tồn tại một xích chỉnh hình α như trên sao cho với mọi

là dãy không phân kì compact modulo S Ta viết fn = (gn, hn) với gn, hn ∈Hol(D, C) thỏa mãn |gn(z)| < 1, |gn(z)hn(z)| < 1 với mọi z ∈ D và với

n = 1, 2,

không phân kỳ compact Từ đó suy ra g ∈ Hol(D, D), khác hằng trên D.Lại do |gn(z)hn(z)| < 1 và Định lý Montel, không mất tính tổng quát ta

có thể giả thiết {gnhn} hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới một

compact của D tới một hàm phân hình h := γ/g trên D Mặt khác, theoĐịnh lí Hurwitz, suy ra h là hàm chỉnh hình trên D và như vậy {fn} hội tụđều trên mọi tập con compact của D tới một ánh xạ f := (g, h) ∈ Hol(D, X)

Ta còn phải chứng minh f ∈ Hol(D, X) Do g ∈ Hol(D, D) nên ta chỉ còn

phải chứng minh |g(z)h(z)| < 1 với mọi z ∈ D Thật vậy, ta giả sử điều nàykhông đúng Khi đó tồn tại z0 ∈ D sao cho |g(z0)h(z0)| = 1 Theo nguyên

lý cực đại, gh là một hàm hằng Do đó |g(z)h(z)| = 1 với mọi z ∈ D Điều

f ∈ Hol(D, X) và do đó X là taut modulo S

Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích của X

và miền kiểu Hartogs

ΩH(X) := {(x, w) ∈ X × Cm : H(x, w) < 1}

`Ω(a, b) = inf{dD(0, λ) : ∃ϕ ∈ Hol(D, Ω), ϕ(0) = a, ϕ(λ) = b}

Từ định nghĩa của hàm Lempert và giả khoảng cách Kobayashi ta có

`Ω(a, b) ≤ dΩ(a, b) với mọi a, b ∈ Ω

cố định, điều đó có nghĩa là giá trị của hàm Lempert trên ΩH(X) trong

Với mỗi x ∈ X cố định, để chứng minh khẳng định trong Bổ đề 1.2.1, taxét hai trường hợp sau:

Vậy `ΩH(X)((x, 0), (x, w)) ≤ dD(0, H(x, w))

Bổ đề 1.2.2 Giả sử X, Y là các không gian phức, dX, dY là các giả khoảngcách Kobayashi trên X, Y tương ứng, π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình, Y

là hyperbolic Giả sử với mỗi x ∈ X, đặt y = π(x) ∈ Y và

B(y, s) = {y0 ∈ Y | dY(y, y0) < s}, V = π−1(B(y, 2s))

luôn có dX(x, x0) ≥ min{s, C.dV(x, x0)}

Chứng minh Lấy x0 ∈ V tùy ý, x0 6= x, gọi γ là một dây chuyền chỉnhhình tùy ý nối x với x0 trong X : x = x0, x1, , xm = x0; q1, q2, , qm ∈D; f1, f2, , fm ∈ Hol(D, X) : f1(0) = x0 = x; fi(qi) = fi+1(0), (i = 1, 2, , m−1), fm(qm) = xm = x0.

Lấy r là hằng số (phụ thuộc vào s) thỏa mãn 0 < r < 1 và dD(0, z) < s

Do đó π(fi(Dr)) ⊂ B(y, 2s) hay fi(Dr) ⊂ V với ∀z ∈ Dr, ∀i = 1, m Từ

Mệnh đề 1.2.3 Giả sử X, Y là hai không gian phức, π : X → Y là ánh

xạ chỉnh hình, SY là tập con giải tích trong Y , đặt SX := π−1(SY) Giả

cho π−1(U ) là hyperbolic Khi đó nếu Y là hyperbolic modulo SY thì X làhyperbolic modulo SX

Vì x 6∈ SX nên y 6∈ SY do đó y ∈ Y \SY Theo giả thiết tồn tại một lân cận

mở U của y trong Y \ SY sao cho π−1(U ) là hyperbolic Lấy hằng số s > 0

đủ nhỏ sao cho B(y, 2s) ⊂ U , đặt V = π−1(B(y, 2s)) ⊂ π−1(U ) Do π−1(U )

là hyperbolic nên V là hyperbolic và do đó dV(x, x0) > 0 Áp dụng Bổ đề1.2.2, tồn tại hằng số C > 0 sao cho dX(x, x0) ≥ min{s, C.dV(x, x0)} > 0.

Định lý 1.2.4 Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích

hyperbolic modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau:

Nếu {xk}k≥1 ⊂ X \ S với lim

k→∞xk = x0 ∈ X \ S và {wk}k≥1 ⊂ Cmvới lim

k→∞wk = w0 6= 0, thì lim sup

k→∞

H(xk, wk) 6= 0 (1.1)

có X là hyperbolic modulo S Bây giờ, ta sẽ chứng minh H thỏa mãn tínhchất (1.1) Giả sử ngược lại, tồn tại {xk}k≥1 ⊂ X \ S với lim

0 ≤ dΩH(X)((xk, 0), (xk, wk)) ≤ dD(0, H(xk, wk)), ∀k ≥ 1

Cho k tiến ra +∞, ta được dΩH(X)((x0, 0), (x0, w0)) = 0 Điều này trái

xác định bởi π(x, w) = x Giả sử U là một lân cận compact của x trong

X \ S Bây giờ ta cần chứng minh ∪

x∈UΩH(x) là tập bị chặn trong Cm, ở đây

ΩH(x) := {w ∈ Cm : H(x, w) < 1}

Thật vậy, giả sử điều này không đúng Khi đó ∃{xk}k≥1 ⊂ U, {wk}k≥1 ⊂

Cm sao cho lim

hyperbolic nên π−1(U ) cũng là hyperbolic Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có ΩH(X)

là hyperbolic modulo S và ϕ là bị chặn địa phương (dưới) trên X \ S

Định lý 1.3.1 Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giảitích trong X Khi đó

đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × Cm

ii Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địaphương và S là tập con giải tích (thực sự) thì log H là đa điều hòa dướitrên X × Cm

iii Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × Cm

S × Cm

Chứng minh (i) Do X là song chỉnh hình với một không gian con đóng

liên tục trên (X \ S) × Cm Giả sử ngược lại, tồn tại r > 0, {(xk, wk)}k≥1 ⊂

Tiếp theo ta chứng minh log H là đa điều hòa dưới

Theo kết quả của Fornaess và Narasimhan [11, Định lý 5.3.1], ta chỉ cầnchứng minh u(z) := log H ◦ g(z) = log H(g1(z), g2(z)) là điều hòa dưới vớimọi g = (g1, g2) ∈ Hol(D, (X \ S) × Cm) ∩ C(D, (X \ S) × Cm) Giả sử ngượclại Khi đó ∃z0 ∈ D, r > 0 sao cho D(z0, r) ⊂ D và hàm điều hòa h sao choh(z) ≥ u(z) với bất kỳ z = z0 + reiθ, ∀θ ∈ R, nhưng u(z0) > h(z0) Lấy ˜h

là hàm liên hợp điều hòa với h

Với bất kỳ n ≥ 1, ta đặt ϕn(z) := g1(z), e−h(z)−i˜h(z)−ε0 − 1

ng2(z), ở đó

z ∈ D(z0, r) Khi đó ϕn ∈ Hol(D(z0, r), ΩH(X)) ∩ C(D(z0, r), ΩH(X)),

∪∞n=1ϕn(∂D(z0, r)) b ΩH(X) và ϕn(z0) tiến gần tới điểm biên Điều này

sau

Bổ đề 1.3.2 Với giả thiết của Định lý 1.3.1 (ii), tồn tại một đĩa giảitích f trong X × Cm sao cho f (0) = (x0, w0) và f (D) 6⊂ S × Cm, ở đó(x0, w0) ∈ S × Cm

Lấy (M, π) là giải kì dị của X (xem [4], [38]), có nghĩa là M là đa tạp

Gọi p0 là điểm thuộc M sao cho π(p0) = x0 Do π−1(S) là tập giải tích cóđối chiều nhỏ hơn 2 nên tồn tại đĩa giải tích f1 trong M sao cho f1(0) = p0,

f1(D) 6⊂ π−1(S) Đĩa f0 := π ◦f1 là đĩa cần tìm Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.3.2 Lấy điểm a ∈ f−1(S × Cm) Do f−1(S × Cm) là tập con rời rạccủa D nên tồn tại r0 > 0 sao cho f (z) /∈ S × Cm với mọi z ∈ D(a, r0) \ {a}.

thiết, ta có thể giả sử tồn tại δ > 0 sao cho H(f (z)) < H(x0, w0) − δ vớimọi z ∈ D(0, r0) \ {0} Một lần nữa, bằng cách đổi biến z ta có thể giả sử

r0 = 1 Như vậy, ta có thể giả thiết f−1(S × Cm) = {0}, f (0) = (x0, w0) vàsup0<|z|H(f (z)) = H(x0, w0) − δ với δ > 0

Theo kết quả của Fornaess và Narasimhan [11, Định lý 5.3.1], ta chỉ cầnchứng minh u(z) := log H ◦ g(z) = log H(g1(z), g2(z)) là điều hòa dưới vớimọi g = (g1, g2) ∈ Hol(D, X ×Cm) ∩ C(D, X ×Cm) Giả sử ngược lại Khi đó

∃z0 ∈ D, r > 0 sao cho D(z0, r) ⊂ D và hàm điều hòa h sao cho h(z) ≥ u(z)với bất kỳ z = z0 + reiθ, ∀θ ∈ R, nhưng u(z0) > h(z0) Lấy ˜h là hàm liênhợp điều hòa với h

z ∈ D(z0, r) Khi đó ϕn ∈ Hol(D(z0, r), ΩH(X)) ∩ C(D(z0, r), ΩH(X)),

∪∞

n=1ϕn(∂D(z0, r)) b ΩH(X) và ϕn(z0) tiến gần tới điểm biên Điều này

dưới trên X × Cm

(iii) Giả sử X là taut modulo S và log H là liên tục trên (X \ S) × Cm,

S × Cm

minh, với mỗi x ∈ X \ S, tồn tại lân cận mở U của x trong X \ S sao cho

π−1(U ) là taut Thật vậy, lấy một lân cận siêu lồi U của x trong X \ S.

Lấy ρ là hàm vét cạn đa điều hòa dưới âm trên U Khi đó (x, w) 7→

Do đó ΩH(U ) là siêu lồi Theo kết quả của Sibony [21, Hệ quả 5] hoặc [25,

Bổ đề 3.6], ΩH(U ) là taut Vậy π−1(U ) là taut

S ×Cm Từ đây cho đến hết chứng minh, ta kí hiệu eX := ΩH(X)\(S ×Cm).Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại tập compact K ⊂ D

sao cho zn → z∞ ∈ K ⊂ D và efn(zn) → p ∈ L ⊂ ee X Do đó dãy {fn :=

Vì X là taut modulo S, ta có thể giả thiết {fn} hội tụ đều trên mọi tập concompact của D đến ánh xạ F ∈ Hol(D, X) Hiển nhiên, π( efn(zn)) → π(p)e

và π( efn(zn)) = π ◦ efn(zn) = fn(zn) → F (z∞) khi n → ∞ Do đó, ta có thểđặt p = π(p) = F (ze ∞)

Do p ∈ ee X nên p = π(p) 6∈ S và do đó tồn tại một lân cận mở U của petrong X \ S sao cho π−1(U ) là taut Lấy một lân cận mở V b F−1(U ) của

z∞ trong D \ F−1(S) Vì dãy {fn} hội tụ đều trên mọi tập con compact của

D đến ánh xạ F , ta có thể giả thiết fn(V ) ⊂ U và do đó efn(V ) ⊂ π−1(U )với mọi n ≥ 1

Xét các tập compact K = {zn, n ∈ Z+} ∪ {z∞} ⊂ D và L = { efn(zn)} ∪{p} ⊂ ee X Ta có efn(K) ∩ L 6= ∅ với mọi n và do đó dãy { efn

V} là không

phân kỳ compact modulo S × Cm trong Hol(D, ΩH(X)) Vì π−1(U ) là taut

và efn(V ) ⊂ π−1(U ) suy ra dãy con { efnk

W 1} của { efn

Hol(W1, eX), tồn tại dãy con { efnkl} của { efnk} sao cho dãy { efnkl

W2} hội tụđến ánh xạ Φ2 trong Hol(W2, eX)

S

α∈Λ

Wα và xác định một ánh xạ Φ0 ∈ Hol(W0, eX) cho bởi Φ0 ...

phức

Định nghĩa 2.1.1 (xem [18, pp 8-10]) Giả sử X không gian phức

và E : T X → R hàm giá trị thực xác định phân thớ tiếp xúc

T X Hàm E gọi hàm độ dài không gian phức. .. khơng gian phức

X tới không gian phức Y gọi chuẩn tắc F compact tươngđối Hol(X, Y ) với tôpô compact mở

Định nghĩa 2.1.3 Giả sử X, Y không gian phức F ⊂ Hol(X, Y )

Họ F gọi không. .. Hol(X, Y )

Họ F gọi không phân kỳ compact F không chứa dãy phân

kỳ compact Ngược lại gọi phân kỳ compact

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử X không gian phức Hermit với hàm độdài E Một