Mở rộng định lý forell cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàm xác định trên một miền trong Cn, chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thì chỉnh hình trên cả miền đó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THẮM

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ FORELLI CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO

KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học TS Lê Tài Thu

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 20lị T á c g i ả

Nguyễn Thị Thắm

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Lê Tài Thu, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ M Ở R Ộ N G Đ Ị N H L Ý F O R E L L I C H O Á N H X Ạ

C H Ỉ N H H Ì N H V À O K H Ô N G G I A N P H Ứ C ” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 20lị T á c g i ả

Nguyễn Thị Thắm

Mục lục

Mở đầu

Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hìnhChương 1

1.1.

55

Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

2.3

4Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàm xác định trên một miền trong Cn, chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thì chỉnh hình trên cả miền đó về trực giác hình học, điều này có nghĩa là nếu một hàm chỉnh hình trên giao của miền với từng đường thẳng song song với trục tọa độ thì sẽ chỉnh hình trên cả miền đó Một vấn đề rất tự nhiên được đặt ra là nếu chúng ta thay họ đường thẳng song song với trục tọa độ bởi họ đường thẳng kiểu khác thì định lý Hartogs có còn đúng không? Nói cách khác có hay không những định lý Hartogs đối với những họ đường thẳng không nhất thiết song song với trục tọa độ?

Xuất phát từ những ý tưởng trên vào cuối những năm bảy mươi của thế kỷ hai mươi F Forelli đã chứng minh một định lý đẹp đẽ nói rằng định lý Hartogs vẫn còn đúng đối với họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ Cụ thể ông đã chứng minh định lý sau: G I Ả S Ử F : Bn —»• с L À H À M S A O C H O F C H Ỉ N H

1

rất tự nhiên bởi lẽ đã có nhiều kết quả của các nhà toán học trên thế giới đề cập đến việc mở rộng định lý Hartogs cổ điển cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Năm 2003 Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã chứng tỏ định lý Forelli vẫn còn đúng đối với lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein.

Với những lý do trên và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý Forelli được

sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “ M Ở R Ộ N G Đ Ị N H

Cuối cùng, chúng tôi muốn bình luận đôi điều về sự so sánh giữa hai định lý Hartogs và định lý Forelli Chúng ta thấy, trong định lý Hartogs thì hàm đã cho chỉnh hình trên họ các đường thẳng song song với trục tọa độ Ta cũng có thể xem họ đường thẳng này cùng đi qua điểm vô cùng Điều này cũng tương đồng với giả thiết về tính chỉnh hình của hàm trên họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong định lý Forelli Mặt khác khó khăn cơ bản trong chứng minh định lý

7

Hartogs là ta không có được tính liên tục của hàm đã cho Bù lại họ các đường thẳng song song với trục tọa độ là rất nhiều Trong định lý Forelli thì ngược lại, tính liên tục tại gốc tọa độ của hàm đã được giả thiết nhưng họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ thì không nhiều Trong định lý Forelli nhờ vào tính nhẵn của hàm tại gốc nên cách chứng minh là không khó như trong định lý Hartogs.

Đề tài này gồm hai chương:

Chương 1 dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đã biết về hàm biến số phức và các kết quả có liên quan tới đề tài Phần cuối của chương dành cho việc nhắc lại một số kết quả đã biết về định lý cổ điển của Hartogs

Chương 2 dành cho việc mở rộng định lý Forelli từ lớp hàm chỉnh hình lên lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

2 Mục đích nghiên cứu

Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển;

- Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình;

- Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý Phạm vi nghiên cứu của luận án là lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý

8

5 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linh hoạt các kết quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến

6 Đóng góp mới của luận văn

Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý Luận văn chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ / là chỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu Chúng tôi đưa vào lớp không gian phức

có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli

9

Chương 1 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh

hình

Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụ cho chương sau Nội dung của chương trình bày một số kiến thức về hàm chỉnh hình, tiếp sau trình bày về định lý Hartogs cổ điển, hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực trong mặt phẳng phức

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 Giả sử íì là tập mở trong c n và cho điểm a G

í ỉ Hàm f : r i — > С gọi là M 2 n -khả vi (hay khả vi) tại điểm а € nếu tồn tại vi phân

df = ir-dxị + -f ^-dx 2 n - (1.1) Nếu hàm f là M 2 n -khả vi tại mọi điểm a G f ĩ thì hàm f được gọi

Sau đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm c n -khả vi

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 Giả sử r i là tập mởtrong c n vàcho

Nếu hàm f là c n -khả vi tại mọi điểm a e thì hàm f được gọi là c n khả vi trong í ỉ

-Ta cũng nhớ lại khái niệm hàm chỉnh hình qua định nghĩa dưới đây

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 Hàm c n -khả vi tại mỗi điểm của lăn cận nào đó của điểm z 0 € C n , được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm ZQ Hàm chỉnh hình tại mỗi điểm của tập mở í ỉ nào đó được gọi là chỉnh hình trên í ĩ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình nhiều biến

Kí hiệu:

Hàm / liên tục trong miền D cC" theo tập hợp các biến và tại mỗi

điểm Z ° E D hàm / chỉnh hình theo từng tọa độ

Chú ý rằng, sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính chất liên tục của hàm / được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến

M ệ n h đ ề 1 1 Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện ( Q trong u = {z

G c n : \zv — av\ < r „ } , thì tại mỗi điểm z G u hàm f được

biểu diễn dưới dạng tích phãn bội Cauchy

C H Ứ N G M I N H Với bất kì Z e u gọi ' Z và ' U tương ứng là hình chiếu trong không gian c n_1 của Z và [/, ta có ' Z € ' U

Hàm F ( Z ) — F Ự Z , Z N ) chỉnh hình theo biến Z N trong hình tròn {|Z N —

A N \ < R } Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta thu được

lý luận như trên cho tới biến Z \ ta thu được

công thức (1.3)

M ệ n h đ ề 1 2 Nếu hàm f ỉiên tục trong đa tròn đóng u c C " theo tập các biến và tại mỗi z 0 G £ / , chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tại mỗi điểm z £ u hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa

(27 TĨ) n J (C — a ) k+1

dạng đơn giản hơn

T-Z C-A{

(z - a) k

'C - a'

trong đó K + 1 = (&!

1) Mặt khác, với bất kì

Z € U chuỗi

(1.6) hội tụ tuyệt đối

và đều trên r theo Nhân chuỗi (1.6) với hàm

M ệ n h đ ề 1 3 Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a , được khai triển thành

chuỗi lũy thừa dạng ( 1 4 ) , thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo công thức Taylor

1

Q k i + +

1 \ k J d z

ì {

1

d z n

n

k

\ d z

k

t r o n

g đ

ó k

\

=

k i

\ k

n

\

trong khai triển

Taylor của f tại

hàm / biểu diễn được

trong u bởi khai triển

Taylor tâm A Các hệ

số của chuỗi này tính

được qua các đạo hàm

của / tại điểm A , tức là

Nếu f chỉnh hình trên tập mở liên thông í ỉ c C n , và f triệt tiêu cùng với mọi đạo hàm riêng tại điểm z° nào đó của miền f ỉ , thì f(z) = 0 với mọi điểm z € í ỉ

C H Ứ N G M I N H Giả

sử Z Ữ e íỉ là điểm tùy

ý Khi đó, mọi hệ số khai triển Taylor của / tại Z ° bằng 0 Do đó, /

= 0 trong lân cận nào

đó của điểm Z ° này Đặt E = Ị Z G : F ( Z )

= 0} và E là phần trong của E Tập E là tập

mở và khác rỗng vì nó chứa Z Ữ Ta cũng thấy rằng E là tập đóng trong D và do đó E =

Đ ị n h l ý 1 3 ( L i o u v i l l e ) Nếu / chỉnh hình trong c n

và Ị / l là hàm bị chặn thì f là hàm hằng trên C n

C H Ứ N G M I N H Ta chứng minh bằng quy nạp theo N Với N = 1, định lý đã được chứng minh cho hàm một biến Giả sử định lý đúng cho hàm ( N —

1) biến Ta chọn các điểm tùy ý A , B G Cn,

do theo giả thiết quy nạp nên hàm F Ự Z , An)

là hàm hằng Do đó,

F ( A) = F ( ' B , A N )

Mặt khác, hàm

F Ự B , A N ) cũng là hằng số, như vậy

F Ự B , A N ) = F ( B )

Do đó F ( A ) = F ( B),

nghĩa là định lý đúng cho hàm N biến □

Đ ị n h l ý 1 4 ( N g u y ê n l ý

m ô d u n c ự c đ ạ i ) Nếu f chỉnh hình trên tập mở liên thông Q c c n , và

l / Ị đạt cực đại tại điểm a € D nào đó, thì f là hàm hằng trong í ĩ

C H Ứ N G M I N H Xét đường thẳng giải tích tùy ý

•Ể(c) = ữ +

đi qua A Hạn chế của / trên đường thẳng này là hàm

<MC) = /°^(C),

hàm này chỉnh hình trong hình tròn {|£| <

P} nào đó, còn \ I P U \

chỉ đạt cực đại khi £ =

0 Theo nguyên lý môdun cực đại đối với

hàm một biến phụ thuộc vào hằng số U ) ,

< P u j { 0 = c(w).

Mặt khác, <^u(0) =

F(a) không phụ thuộc vào Ù J , nên C ( Ù J )

h ì n h ) Giả sử í ỉ là một tập mở trong

c n ,n > 2 Hàm f : íì —

>• c gọi là tách chỉnh hình nếu f

chỉnh hình theo mỗi biến khi ta cố định các biến còn lại.

1.2 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình

Trong mục này chúng tôi trình bày các kết

B ổ đ ề 1 2 Giả sử hàm f chỉnh hình theo mỗi biến z v

trong đa tròn u = t /

( a , r ) và giới nội trong u thì nó liên tục tại mỗi điểm của u theo tập hợp biến.

C H Ứ N G M I N H Giả

sử Z 0 , Z € u là các điểm tùy ý Ta viết tách

số gia của / như tổng của các số gia theo các tọa độ riêng biệt

n

Ỉ{Z) - F{Z 0 )

R} với hình tròn U n

= {z n € с : \z n \ < R} Nếu hàm f(’z,

z n ) liên tục theo 'z trong 'U đối với z n

£ U n tùy ý và liên tục theo z n trong U n

đối với 'z G 'U tùy

ý thì tồn tại đa tròn

w = 'W X U n trong

u, trong đó f giới nội.

C H Ứ N G M I N H Với

' Z ẽ ' U cố định, ta kí hiệu

' Z S S G E M , F J I =

1,2, và ' Z S S ' Z thì

F ( ' Z X , Z N ) < M với

Z £ U tùy ý, điều

này có được do tính liên tục của / theo ' Z ,

nào đó Thật vậy, giả

sử trái lại, mọi E M là không đâu trù mật, nhưng khi đó trong ' U

tồn tại hình cầu B ' С

cn_1 không chứa các điểm của E L , trong В1

tồn tại hình cầu B 2

không chứa các điểm của E2, , cứ tiếp tục lập luận như trên ta xây dựng được dãy các

hình cầu В К с cn_1 và chúng có điểm chung

là ' Z Ữ ẽ ' U và điểm này không thuộc vào bất kì một E M nào.Như vậy, tồn tại miền 'G trong đó I

FỰZ, Z N ) I < M đối với Z N e U N tùy ý Bây giờ ta chọn trong 'G đa tròn 'W = {'Z : \Z V —

ZLI < r}, và khi đó trong W — W X Ư N ta

có l/l < M. □Bây giờ ta sử dụng các kí hiệu 'V = R),'W

=t/('a,r),r

< -R,

= {\z n \ <R},V =

’Vx u n , W = ’Wx ư n

Bổ đề 1.4 Giả sử hàm fựz, 2 n ) chỉnh hình theo 'z trong 'V với

hình theo biến ' Z nên /

biểu diễn được bởi

chuỗi lũy thừa hội tụ

C t [ Z

n >

k\ (

№ zf

tức là

limsupT

^

J ln

|cfc(z

„)

|

<lnỉ.(1.12)

| f c

|

—

> 0

Hơn nữa, do / chỉnh hình trong w ta có / bị chặn trong W , giả sử l/l < M và có bất đẳng thức

\ C

K { Z

N ) \

<

ln

(1.13)

\

к \ г

Do đó, với Ơ < P tùy

ý có thể tìm được số

K 0 sao cho với mọi \ K \

Ơ , nhưng các số hạng của chuỗi này liên tục theo 2 nên cả tổng / của

nó cũng liên tục, và do

đó / bị chặn trong И ( Ũ , Ơ ' ) Đa tròn này

có thể gần V tùy ý nên / bị chặn, tức là / chỉnh hình trong V. □

Đ ị n h l ý 1 5 ( H a r t o g s ) Giả sử hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền D С С n theo mỗi biến z v thì nó chỉnh hình trong D.

C H Ứ N G M I N H Ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của / tại điểm Z ° € D tùy ý, đồng thời không mất tính tổng quát ta có thể giả sử Z ° = 0 Như vậy, giả sử / chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U ( 0 , R ) đòi hỏi chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn nào

đó tâm 0

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số.Trường hợp một biến là hiển nhiên

Giả thiết định lý đúng với các hàm ( N — 1) biến, và kí hiệu

' U = R

U Ự O , —) Từ giả thiết suy ra rằng, hàm F Ự Z , Zn) liên tục theo ' Z

trong 3

' U đối với Z N e U N = {\ Z N \ < -R} tùy ý và theo Z N trong U N đối với

' Z e ' U tùy ý Theo Bổ

đề 13, / bị chặn, tức là / chỉnh hình trong đa

tròn nào đó w = 'W X

u n trong đó 'W ựa, r) c 'U.

trong ' V đối với Z N £

U N tùy ý, mà theo điều vừa chứng minh, nó chỉ chỉnh hình theo Z trong

W Từ đó / chỉnh hình theo Z trong đa tròn V

chứa điểm Z = 0 Như vậy, khẳng định đã được chứng minh với

Đ ị n h l ý 1 6 ( H a r t o g s , p ,

Đ ị n h l ý 2 1 0 1 p

7 5 ] ) Giả sử Q là một lăn cận mở của

đa giấc đóng K

trong C n với n > 2 Nếu f e HolịỹL \ K ) thì tồn tại một hàm chỉnh hình f trên r i sao cho f\n\K = / •

C H Ứ N G M I N H Ta

kí hiệu Z = ( Z I, , Z N )

€ cn khi Z ' = ( Z I, ,

Z N - 1 ) Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

P ( 0 ' , R ) thì hàm Z N I

— > F ( Z ' , Zn) chỉnh hình trong một lân cận của hình vành khăn

D ( 0 N , R) \ -D(0,1) Do

đó, các hệ số Cj của chuỗi Laurent

= Ả _

1

5 )

i K

’ 2 7

TỈ

J Ợ + 1

đề Abel (theo một biến

Zn) chuỗi này hội tụ tuyệt đối Hơn nữa, chuỗi này hội tụ đều địa phương trong p(0,r) Thật vậy, theo ước lượng Cauchy, nếu

z £ P (0, r) và J > 0 khi đó

Mz'K

i <

trong đó M = ||/||p(0 'r)xỡD(0 r ) - Do đó chuỗi hội tụ đều địa phương

Do đó, theo Định lý Weierstrass hàm / là chỉnh hình Vì / trùng với hàm / trên một tập con mở không rỗng của p(0,r) \ p(0,1), theo nguyên lý đồng nhất ta