Luận án: Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR - tự đẳng cấu vi

Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều các lớp cụ thể các không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thiết Mordell trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích. Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những tính chất hình học của miền Hartogs. Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào.... Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả 2 thuyết về tính Zalcman của Cn khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở. Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2. Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên. Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2. Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian phức. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs. Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn. Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,.... 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án đạt được một số kết quả sau: 3 Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs.

N:

–

là giả khoảng cách Kobayashi Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một khônggian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gianphức hyperbolic Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếpcận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức.

Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tínhkhông suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của khônggian đó Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được nhữngtính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát đượctính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ

ý tưởng trên, S Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolicmodulo một tập con giải tích Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn

đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiềucác lớp cụ thể các không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích.Ngoài ra, những kết quả của M Zaidenberg, J Noguchi về giả thiết Mordelltrong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quantrọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích

Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolicmodulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểuHartogs Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểuHartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến.Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn nhữngtính chất hình học của miền Hartogs

Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phépchúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khidãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp) Đã có nhiềukết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L.Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hình thái của dãy đĩa chỉnh hìnhtrong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệđộng lực học phức nhiều biến Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứutính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng Đặc biệt, giả

thuyết về tính Zalcman của Cn khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở.

Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đườngcong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2 Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cậncủa chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết vềtính Zalcman đã nói ở trên

Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của cácnhóm biến đổi Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tựđẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó Trong phần cuối của luận án, dưới góc độcủa hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án

đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớpcác siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2

Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tínhhyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu viphân " Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ gópphần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gianphức

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu togs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2

Har-Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulomột tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức;trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong

C2

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phươngpháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án đạt được một số kết quả sau:

Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và nhữngthuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs

Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của

X Khi đó ΩH(X) là hyperbolic modulo S × Cm nếu và chỉ nếu X là hyperbolicmodulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {zk}k≥1 ⊂ X \ S với lim

i Nếu ΩH(X) là taut modulo S × Cm thì X là taut modulo S và log H là đađiều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × Cm

ii Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương

và S là tập con giải tích (riêng) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × Cm.iii Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × Cm và log H

là đa điều hòa dưới trên X × Cm thì ΩH(X) là taut modulo S × Cm

Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2

Định lý 2.2.3: Cn (n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độdài E trên Cn

Định lý 2.3.1: (C∗)2 không là kiểu ds2F S-giới hạn, ở đây ds2F S là metricFubini-Study trên P2(C)

Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ cácánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact với metricHermit tùy ý

Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian phứccompact với metric Hermit E Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt

M = X \ S Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M ) Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉnếu tồn tại dãy {pj} ⊂ Ω với pj → p0 ∈ Ω khi j → ∞, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với

ρj > 0 và ρj → 0+ khi j → ∞ sao cho

gj(ξ) := fj(pj + ρjξ), ξ ∈ Cthỏa mãn một trong hai khẳng định sau:

(i) Dãy {gj} phân kỳ compact trên C;

(ii) Dãy {gj} hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường congE-Brody không hằng g : C → M

Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của mộtlớp các siêu mặt thực trong C2.

Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C1 tại 0 đượcxác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z1, z2) = Rez1+ P (z2) + Imz1Q(z2, Imz1) = 0thỏa mãn các điều kiện sau:

Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng

và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước Cụ thể:

Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miềnkiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện cần và đủcho tính hyperbolic modulo, tính taut modulo S × Cm của miền kiểu Hartogs

ΩH(X) Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn trình bày chứng minhđịnh lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo

Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2", chúngtôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính Zalcman củakhông gian phức Cn Thêm nữa, trong chương này chúng tôi đưa ra tiêu chuẩncho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào mộtkhông gian phức Hermit không đầy

Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ mô

tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp cácsiêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2 thông qua việc mô tả không gian vectơ thựccác mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó Cụ thể chúng tôichứng minh rằng hol0(M, p) của siêu mặt kiểu vô hạn D’Angelo trong C2 có sốchiều thực không vượt quá 1

Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu, Danhmục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình công bốcủa tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục

TỔNG QUAN

Trong phần tổng quan này chúng tôi sẽ trình bày những phân tích, đánh giá

về các công trình nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nước liên quanmật thiết đến đề tài luận án Đồng thời chúng tôi sẽ nêu ra những vấn đề còntồn tại và chỉ ra những vấn đề mà đề tài luận án cần tập trung nghiên cứu giảiquyết

1 Vấn đề 1: Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miềnkiểu Hartogs

Giả sử X là một không gian phức, H là một hàm đa điều hòa dưới thuầnnhất không âm trên X × Cm, S là một tập con giải tích của X Ta gọi miền kiểuHartogs là tập ΩH(X) := {(z, w) ∈ X × Cm : H(z, w) < 1}

Khi m = 1 và H(z, w) = |w|eϕ(z) với ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liêntục trên trên X thì miền Hartogs

Ωϕ(X) := {(x, z) ∈ X × C : |z| < e−ϕ(x)}

là trường hợp đặc biệt của của miền kiểu Hartogs ΩH(X) Miền Hartogs Ωϕ(X)

là một đối tượng nghiên cứu cổ điển của giải tích phức nhiều biến Đặc biệt,trong hơn mười năm trở lại đây, đã có nhiều nghiên cứu về tính hyperbolic cũngnhư tính taut của miền Hartogs từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic.Năm 2000, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức đã khảo sát miền Hartogs Ωϕ(X)với ϕ : X → [−∞, ∞) là hàm đa điều hòa dưới trên X Các tác giả đã khẳngđịnh rằng miền Hartogs Ωϕ(X) là hyperbolic đầy khi và chỉ khi X là hyperbolicđầy và ϕ liên tục trên X, trong điều kiện là với mỗi x ∈ X, tồn tại một lâncận mở U của x trong X và một dãy hj các hàm chỉnh hình trên U và một dãy

cj các số thực thuộc khoảng (0; 1) sao cho dãy {cjlog |hj|} hội tụ đều trên cáctập con compact của U tới hàm ϕ Đồng thời các tác giả cũng chỉ ra rằng miềnHartogs Ωϕ(X) là taut khi và chỉ khi X là taut và ϕ liên tục trên X

Tiếp đến năm 2003, Nguyễn Quang Diệu và Đỗ Đức Thái đã nghiên cứutính hyperbolic và tính hyperbolic đầy của miền Hartogs Ωϕ(X) với ϕ : X →[−∞, ∞) là hàm nửa liên tục trên trên X Các tác giả đã chỉ ra điều kiện cần

và đủ để miền Hartogs Ωϕ(X) là hyperbolic là không gian phức X là hyperbolic

và ϕ bị chặn địa phương trên X Bên cạnh đó các tác giả đã chỉ ra được điềukiện cần để Ωϕ(X) là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic đầy và

ϕ nhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X; điều kiện đủ để Ωϕ(X)

là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic, ϕ nhận giá trị thực, liên

tục, đa điều hòa dưới trên X thỏa mãn: Với mọi điểm biên (x0; z0) ∈ ∂Ωϕ(X)

mà x0 ∈ X, tồn tại một lân cận V của điểm x0 trong X, một hàm chỉnh hình ftrên Ωϕ(V ) sao cho

Dh = {w ∈ Cm : h(w) < 1} b Cm và u bị chặn địa phương trên X; Ωu,h(X) làtaut khi và chỉ khi X, Dh là taut và u liên tục, đa điều hòa dưới trên X

Theo hướng mở rộng miền Hartogs, năm 2009, Nguyễn Văn Trào và Trần HuệMinh đã khảo sát miền kiểu Hartogs ΩH(X) về tính hyperbolic và tính taut Cáctác giả đã khẳng định được ΩH(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic

và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: nếu {zk}k≥1 ⊂ X với lim

k→∞zk = z0 ∈ X và{wk}k≥1 ⊂ Cm với lim

k→∞wk = w0 6= 0 thì lim sup

k→∞

H(zk, wk) 6= 0 Đồng thời cáctác giả cũng như đưa ra được điều kiện cần và đủ để miền kiểu Hartogs ΩH(X)

là taut là không gian phức X là taut, thớ ΩH(z) là taut với mọi z ∈ X và log H

là hàm đa điều hòa dưới liên tục

Trong tất cả các kết quả đã liệt kê ở trên, các tác giả đã khảo sát miền kiểuHartogs ΩH(X) trong các trường hợp đặc biệt cũng như tổng quát Các kết quảnày đã đề cập đến tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tính taut của ΩH(X) Tiếptục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi khảo sát tính hyperbolic modulo và tínhtaut modulo S × Cm của miền kiểu Hartogs ΩH(X)

2 Vấn đề 2: Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2

Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đãgiới thiệu khái niệm không gian phức Zalcman, đồng thời các tác giả chỉ ra một

số ví dụ về không gian phức Zalcman, như: Mọi không gian phức compact làZalcman hay phần bù của một siêu mặt hyperbolic bất kỳ trong một không gianphức compact là Zalcman

Theo hướng nghiên cứu các đặc trưng của không gian phức Zalcman, năm

2007, Nguyễn Văn Trào và Phạm Nguyễn Thu Trang đã chỉ ra một số lớp khônggian phức Zalcman, như: X1× X2 là Zalcman nếu X1 là taut và X2 là Zalcmanhay X1× X2 là Zalcman nếu X1 là không gian phức compact và X2 là Zalcman

Theo như chúng tôi biết, cho đến nay giả thuyết trên vẫn là một câu hỏi mở.

Vì vậy, trong phần này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho giả thuyết đã nêu.Nhắc lại rằng, khái niệm họ chuẩn tắc được giới thiệu lần đầu tiên năm 1907bởi P Montel và được tổng quát bởi O Lehto và K I Virtanen Kể từ đó, tínhchuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình đã được nghiên cứu mạnh mẽ và sâusắc Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương

đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiềubiến phức vào một không gian phức Hermit đầy Tiêu chuẩn này là một tổngquát hóa định lý của của Zalcman Chúng ta cũng biết rằng, tiêu chuẩn củaMarty đã khẳng định rằng tính chuẩn tắc của họ F các hàm phân hình trênmiền phẳng D ⊂ C là tương đương với tính bị chặn địa phương của họ F# tươngứng gồm tất cả các đạo hàm cầu f# = |f0|/(1 + |f |2)

Mục đích tiếp theo của chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc củamột họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermitkhông đầy

3 Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thựccủa các siêu mặt kiểu vô hạn

Như đã trình bày ở trên, dưới quan điểm KLEIN và dưới góc độ của Hìnhhọc phức hyperbolic, chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu

vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2 Chođến nay, ý tưởng cơ bản của các nhà toán học nhằm giải quyết vấn đề trên làchuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặtthực về việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếpxúc với siêu mặt đó Ý tưởng này có thể mô tả cụ thể hơn như sau

Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C1 tại p ∈ Cn Một mầmtrường vectơ nhẵn (X, p) trên M được gọi là một mầm tự đẳng cấu CR viphân giải tích thực tại p của M nếu tồn tại một mầm trường vectơ chỉnh hình(H, p) trong Cn sao cho H tiếp xúc với M, có nghĩa là ReH tiếp xúc với M, và

X = ReH |M Ta kí hiệu hol0(M, p) là không gian vectơ thực gồm tất cả các

mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M Như vậy,thông qua nhóm con một tham số các vi phôi địa phương sinh bởi một trườngvectơ, ta chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thựccủa siêu mặt thực M về việc mô tả không gian vectơ thực hol0(M, p) các mầmtrường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó.

Nhìn chung, việc mô tả một cách tường minh các tự đẳng cấu CR vi phân giảitích thực của một siêu mặt thực trong Cn là không dễ dàng Hơn nữa trong rấtnhiều trường hợp là không mô tả được Gần đây, việc nghiên cứu hol0(M, p) củamột số lớp siêu mặt đặc biệt đã được tiến hành Tuy nhiên các kết quả này mớichỉ giải quyết được trong trường hợp các siêu mặt không suy biến Levi, hay tổngquát hơn là trường hợp các siêu mặt suy biến Levi kiểu hữu hạn Đối với cácsiêu mặt thực nhẵn C∞ kiểu D’Angelo vô hạn trong C2, các miêu tả tường minhcủa hol0(M, p) đã được đưa ra Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi nghiêncứu không gian vectơ hol0(M, p) đối với một lớp các siêu mặt thực nhẵn C∞ kiểuD’Angelo vô hạn khác trong C2

Chương 1

Tính hyperbolic modulo và tính taut

modulo của miền kiểu Hartogs

Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolicmodulo S × Cm của ΩH(X) (Định lý 1.2.4) và tính taut modulo S × Cm của

i Dãy {fn} có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈Hol(D, X);

ii Dãy {fn} là phân kì compact trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tập compact

K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X, tồn tại một số nguyên dương N saocho fn(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ N

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là một không gian phức và S một tập con giải tíchtrong X Ta nói rằng X là taut modulo S nếu với mọi dãy {fn} trong Hol(D, X)thì một trong hai điều sau đây là đúng:

i Dãy {fn} có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈Hol(D, X);

9

ii Dãy {fn} là phân kì compact modulo S trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tậpcompact K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X \ S, tồn tại một số nguyêndương N sao cho fn(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ N.

Ví dụ 1.1.5 Đặt X = {(z, w) ∈ C2 : |z| < 1, |zw| < 1} và S := {0} × C Khiđó

(i) X không là hyperbolic, nhưng X là hyperbolic modulo S

(ii) X không là taut, nhưng X là taut modulo S

(iii) X \ S là taut (và như vậy X \ S là hyperbolic)

1.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm của miền ΩH(X)

Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích của X

H : X × Cm → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên thỏa mãn H(z, w) ≥

0, H(z, λw) = |λ|H(z, w), λ ∈ C, z ∈ X, w ∈ Cm và miền kiểu Hartogs ΩH(X) :={(z, w) ∈ X × Cm : H(z, w) < 1}

Hàm Lempert trên miền Ω ⊂ Cm được xác định bởi:

`Ω(a, b) = inf{dD(0, λ) : ∃ϕ ∈ Hol(D, Ω), ϕ(0) = a, ϕ(λ) = b}

Bổ đề 1.2.1 Với bất kỳ (z, w) ∈ ΩH(X) ta có `ΩH(X)((z, 0), (z, w)) ≤ dD(0, H(z, w)).Đẳng thức xảy ra khi H ∈ P SH(X × Cm)

Bổ đề 1.2.2 Giả sử X, Y là các không gian phức, dX, dY là các giả khoảng cáchKobayashi trên X, Y tương ứng, π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình, Y là hyperbolic.Giả sử với mỗi x ∈ X, đặt y = π(x) ∈ Y và B(y, s) = {y0 ∈ Y | dY(y, y0) < s},

V = π−1(B(y, 2s)) Khi đó tồn tại hằng số C > 0 (C phụ thuộc vào s) thỏa mãn

Định lý 1.2.4 Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của

X Khi đó ΩH(X) là hyperbolic modulo S × Cm nếu và chỉ nếu X là hyperbolic

modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau:

Nếu {zk}k≥1 ⊂ X \ S với lim

k→∞zk = z0 ∈ X \ S và {wk}k≥1 ⊂ Cmvới lim

k→∞wk = w0 6= 0, thì lim sup

k→∞

H(zk, wk) 6= 0 (1.1)

Dễ thấy, hàm H(z, w) := |w|eϕ(z) là liên tục nếu và chỉ nếu ϕ là liên tục; log H

là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu ϕ là đa điều hòa dưới Do đó ta có một hệquả của Định lý 1.2.4

Hệ quả 1.2.5 Giả sử X là một không gian phức, S là một tập con giải tíchtrong X và ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên trên X Khi đómiền Hartogs Ωϕ(X) là hyperbolic modulo S × C nếu và chỉ nếu X là hyperbolicmodulo S and ϕ là bị chặn địa phương (dưới) trên X \ S

1.3 Tính taut modulo S × Cm của miền ΩH(X)

Định lý 1.3.1 Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tíchtrong X Khi đó

i Nếu ΩH(X) là taut modulo S × Cm thì X là taut modulo S và log H là đađiều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × Cm

ii Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương

và S là tập con giải tích (riêng) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × Cm.iii Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × Cm và log H

là đa điều hòa dưới trên X × Cm thì ΩH(X) là taut modulo S × Cm

Bổ đề 1.3.2 Với giả thiết của Định lý 1.3.1 (ii), tồn tại một đĩa giải tích ftrong X × Cm sao cho f (0) = (z0, w0), f (D) 6⊂ S × Cm

Ta có một hệ quả trực tiếp của Định lí 1.3.1

Hệ quả 1.3.3 Giả sử X là một đa tạp phức liên thông và S là một tập con giảitích trong X Khi đó ΩH(X) là taut modulo S × Cm nếu và chỉ nếu X là tautmodulo S, H là liên tục trên (X \ S) × Cm và log H là đa điều hòa dưới trên

X × Cm

Ví dụ 1.3.4 Giả sử X := {(z1, z2) ∈ C2 : z1z2 = 0}, S := {(z1, z2) ∈ C2 :

z2 = 0}, ϕ(z1, z2) := log |z2| Khi đó Ωϕ(X) là taut modulo S × C, nhưng ϕ /∈

P SH(X)