Luận văn ánh xạ không gian và vài nét về cấu trúc hình học của không gian banach

Năm 1965 x u ất hiện 3 bài báo có tín h chất mở đường về sự tồn tạ i điểm b ất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều với с lồi đóng bị chặn hay giảm nhẹ đi m ột chút

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới th ầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy đã giao đề tà i và tậ n tìn h hướng dẫn em trong quá trìn h hoàn th àn h luận văn này.

N hân dịp này em xin gửi lời cám ơn của m ình tới to àn bộ các thầy

cô giáo trong K hoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trìn h học tậ p tạ i đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trìn h học tậ p tạ i lớp

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

T á c g iả

N g u y ễ n H ữ u D ư ơ n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trìn h nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Trần Quốc Bình

Trong quá trìn h nghiên cứu, tôi đã kế th ừ a th àn h quả khoa học của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

T á c g iả

N g u y ễ n H ữ u D ư ơ n g

Cấu trú c chuẩn tắc

Không gian liên hợp và tín h phản xạ

Tôpô yếu và tôpô yếu*

Một số tín h chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô yếu*

6

67

8

8 99

9 9

19Định lý cơ bản về điểm b ất động của ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert

2.5 T ính chất của tậ p điểm b ất động và tậ p cực tiểu

C h ư ơ n g 3

2527

M ôđun lồi và đặc trưng lồi

Mối quan hệ giữa m ôđun lồi và cấu trú c chuẩn tắc

Mối quan hệ giữa cấu trú c chuẩn tắc và tín h trơn

3131394346

K ế t l u ậ n

T à i liệ u t h a m k h ả o

5051

M ở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khi hệ số co của ánh xạ co Banach bằng 1, tức là khi:

\\Tx - Ty\\ < \\x - y\\ ,V x , y £ C

th ì T gọi là ánh xạ không giãn Nói chung, ánh xạ không giãn không

n h ất th iết có điểm b ấ t động (chẳng hạn T là phép quay hình trò n đơn

vị quanh tâm đi m ột góc), m à nếu có th ì điểm b ất động cũng không duy

n h ất (chẳng hạn T là ánh xạ đơn vị)

Để ánh xạ không giãn T có điểm b ất động ta phải áp các điều kiện lên miền С và n h ất là không gian X Năm 1965 x u ất hiện 3 bài báo có tín h chất mở đường về sự tồn tạ i điểm b ất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều với с lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ

đi m ột chút là lồi, com pact yếu, có cấu trú c chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X (chú ý rằng không gian Banach lồi đều có cấu trú c chuẩn tắc) T ừ đó đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn và song hành với nó

là nghiên cứu cấu trú c hình học của không gian Banach đã p h át triển

m ạnh mẽ

Trong luận văn này, tôi không chỉ nghiên cứu về điểm b ất động của

ánh xạ không giãn, về cấu trú c tậ p điểm b ất động của ánh xạ không giãn m à còn đề cập sâu đến các vấn đề về cấu trú c hình học của không gian Banach có liên quan

Tài liệu được tôi chọn là m ột số bài báo và tà i liệu chính là cuốn sách

"Các vấn đề về lý thuyết điểm b ất động m êtric" của hai tác giả Goebel

K và K irk w A [4] Trong đó Kirk w A chính là tác giả của một trong 3 bài báo được nhắc tới năm 1965 ở trên và đến nay vẫn là một trong những người có uy tín n h ất trong lĩnh vực điểm b ất động Quyển sách của ông được hầu hết những người làm việc trong lĩnh vực này sử dụng

Q ua các kết quả nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốn tìm hiểu về lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung và bản th â n nói riêng hiểu sâu hơn về vấn đề này Vì vậy, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của

TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Á n h x ạ k h ô n g g iã n v à v à i n é t

về c ấ u t r ú c h ìn h h ọ c c ủ a k h ô n g g ia n B a n a c h ” làm luận văn tố t nghiệp của mình

2 M ục đích ngh iên cứu

Nắm được lý thuyết điểm b ất động của ánh xạ không giãn và cấu trú c hình học của không gian Banach

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm

b ất động, cấu trú c hình học của không gian Banach và các sách, tà i liệu

CÓ liên quan đến các vấn đề đã nêu T ừ đó áp dụng vào việc hệ thống

và trìn h bày luận văn

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, điểm b ấ t động của ánh xạ không giãn và cấu trú c hình học của không gian Banach

Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tà i liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm b ấ t động

6 D ự kiến kết quả ngh iên cứu

Luận văn là tà i liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh

xạ không giãn và cấu trú c hình học của không gian Banach

C hương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

1.1 Các khái niệm về đường kính

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Nếu A là tậ p con của không gian m etric (M , p ) và nếu X € M th ì d ia m A và dist (x, A) được gọi là đường kính của tậ p A

và khoảng cách từ X đến tậ p A Được xác định bởi:

d ia m A = sup {p (X, y ) : X, y e A}

dist (X, A) = inf {p (X, y) : y G A}

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Mọi tậ p con D , H của X; и e X:

r„ (D ) = sup {||ií — VII : u ễ D }

rH (D ) = inf {ru (D) : и e t f }

С я (-D) = {и ẽ Я : r u (Я ) = г H (D )}

Khi đó:

+SỐ ru (D ) được gọi là bán kính của D so với u.

+SỐ r # (D ) được gọi là bán kính chebysher của D so với H

+SỐ C h {D) được gọi là tâm chebysher của D so với H.

Một điểm U G D được gọi là điểm đường kính nếu ru (D ) = d iam D Nếu u không là điểm này th ì được gọi là điểm phi đường kính.

1.2 T ín h lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tậ p số thực

Khi đó tậ p A c X được gọi là lồi, nếu với mọi XI, X2 & A, X € M và

0 < A < 1 ta có:

\ x \ (1 — A) X2 G A.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Cho A c X; convẢ là tậ p con lồi nhỏ n h ất của X

chứa A được gọi là bao lồi của A:

convẢ = n { K c X : K D A}; với K lồi.

Nếu convA là tậ p đóng th ì convA được gọi là bao lồi đóng của A:

convA — Pl { K c X : K D A } ; K là đóng và lồi.

Đ ịn h lý 1.1 ( M a z u r ’s) Nếu A là compact thì convA củng compact.

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi ngặt (lồi

chặt) Nếu với mọi X Ỷ y m à ll^ll < 1; 1M1 < 1 ta có: I l l ' l l < 1-

Điều kiện này tương đương với: Nếu IIX + y II = ||z|| + ||y|| và y Ỷ 0 th ì

X = \ y \ với m ột A > 0 nào đó.

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi đều nếu

với mọi e > 0 đều tồn tạ i (5(e) > 0 sao cho với mọi x , y G X mà:

\\x\\ < 1; IMI < 1; ||a; — y\\ > e ta luôn có: < 1 — <5(e)

Cho X là không gian định chuẩn khi đó ta có các định nghĩa sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Tập hợp con K của X được gọi là có cấu trú c chuẩn tắc nếu mọi tậ p con lồi bị chặn s của K với d ỉa m S > 0 đều có chứa

m ột điểm không là điểm đường kính

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Một tậ p lồi D trong không gian đối ngẫu X* gọi là có cấu trú c chuẩn tắc yếu * nếu mọi tậ p con đóng, bị chặn, lồi s của D với

d ia m S > 0 có m ột điểm không là điểm đường kính.

1.4 K h ôn g gian liên hợp và tín h phản x ạ

Cho hai không gian Banach X và Y £ (X , Y ) là kí hiệu tậ p các to án tử tuyến tín h bị chặn từ X vào Y , với chuẩn ỊỊTỊỊ của to án tử T € £ ( x , Y )

được cho bởi:

||T|| = sup x e X ;x Ỷ o} = su p {||T :r|| : ĩ ẽ X ; ll^ll = 1}.

Đ ịn h n g h ĩa 1.10 Không gian liên hợp X* của X; X* = £(X ,M ) là không gian các phiếm hàm tuyến tín h liên tụ c trên X:

X* (X) = (x, X*) ; i Ễ X , ĩ * ẽ X *

Đ ịn h n g h ĩa 1 11 Không gian X** = c (X*,M) gọi là không gian liên

hợp th ứ hai của X

Á nh xạ I X** gọi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng chính tắc của X trong X**

Đ ịn h n g h ĩa 1 12 Nếu phép nhúng chính tắc X I—^ X** là to àn ánh th ì

X gọi là phản xạ: X = X**

1.5 T ôpô yếu và tô p ô yếu*

Đ ịn h n g h ĩa 1.13 Tôpô yếu trên X là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn

{Px.} với X* € X*, ở đây: Px> (X) = |(x,a;*)| , ĩ ẽ X

Đ ịn h n g h ĩa 1 14 Tôpô yếu* trên X* được sinh bởi các nửa chuẩn {Px} với I Ẽ X , Ở đây: Px (íc*) = |(a;,a;*)| ;x* e X*.

N h ậ n x é t 1.1 X và X* là các không gian lồi địa phương Trên X* có

hai tôpô yếu, là tôpô sinh bởi X** và tôpô yếu* sinh bởi X Nếu X là phản

xạ thì các tôpô này trùng nhau.

1.6 M ột số tín h chất cơ bản của tô p ô yếu và tô p ô

N h ậ n x é t 1.2 Các tính chất trên không còn đúng trong tôpô yếu *.

Cho A là tậ p con của X, th ì các điều kiện sau là tương đương:

(a) Mỗi dãy {£n} trong A có m ột dãy con hội tụ yếu.

(b) Mỗi dãy {;cn} trong Ả có m ột điểm tụ yếu trong X.

(c) Bao đóng A của A là com pact yếu.

(c) Mọi dãy bị chặn trong X đều chứa m ột dãy con hội tụ yếu.

(d) Mọi X* € X* đều tồn tạ i X € B (0,1) sao cho X* (X) = ||a;*||.

(e) Mọi tậ p con lồi đóng bị chặn K của X và mọi X* e X*, tồn tạ i X £ K sao cho: X* (X) € sup {x* (y) : y £ K }

(f) Mọi dãy b ất kỳ {K n} các tậ p con khác rỗng lồi, đóng và bị chặn của

X đều có giao khác rỗng: Pl^0 K n 7^0.

B ổ đ ề 1.1 (Z o rn ) Nếu mỗi xích trong m ột tập được sắp thứ tự bộ phận

M đều có cận trên thì trong M tồn tại phần tử cực đại.

1.7 N g u y ên lí điểm bất động của ánh x ạ co

Đ ịn h lý 1.2 Cho không gian Danach H , nếu ánh xạ f : H —>■ H là ánh

xạ co thì ánh xạ f : H —»• H có duy nhất điểm bất động x 0 e H , nghĩa

là f ( x0) = XQ.

1.8 Tập bất biến

Đ ịn h n g h ĩa 1 15 Một tậ p con D khác rỗng, lồi, đóng của K gọi là tập

b ất biến đối với ánh xạ T : K —> K nếu T (D ) c D.

C hương 2

C ác định lý cơ bản về ánh x ạ không giãn

2.1 Các khái niệm cơ bản

Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Ánh xạ T từ không gian m etric (X, d) vào không gian

m etric ( z , p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi X, y e X ta có

p ( T x , T y ) < d ( x , y )

V í d ụ 2.1 Cho X = l1 và cho {en} = {ốjn} là cơ sở trực chuẩn của ỉ1 Xét: К = conv {en : n > 1,2 } = { x = {Xj} : Xi > 0; i = 1, 2 ; ||ж|| = 1} Khi đó d ia m K = 2 và to án tử s được định nghĩa bởi:

S x = s { х г , х2, ) = (0, х г, х 2, )

là m ột phép đẳng cự từ к vào к không có điểm b ất động.

T h ậ t vậy, nếu S x = x\ X = 0 m âu th u ẫn ||ж|| = x i = 1- Ngoài ra

rỗng, trong khi đó với mọi x , y £ K: lim II y — (S^ll = 2 = d ia m K

n —¥ 00

V í d ụ 2.2 Trong không gian Co (N) phép đẳng cự T được định nghĩa:

là ánh xạ không giãn biến hình cầu đơn vị lên biên của nó Hơn nữa vì

( Tx) (t ) > X (t ) với t > 0 hoặc (T x ) (t ) < X (t ) với t < 0 nên T không có

điểm b ất động

N h ậ n x é t 2.1 Trong cấc ví dụ trên có thể thấy rằng nếu к không

compact và lồi thì ánh xạ không giãn T : к —»■ к là tồn tại nhưng không

có điểm bất động.

Đ ịn h lý 2 1 Giả sử К là tập con khác rỗng, lồi, compact yếu của không

gian Banach Khi đó với mọi ánh xạ T : к —^ к ; tồn tại tập con lồi, đóng của К là T bất biến.

C h ứ n g m in h Xét họ M các tậ p con khác rỗng, lồi, đóng (như vậy là

com pact yếu) của к m à là T -b ất biến; và th iết lập quan hệ th ứ tự trên

tậ p đó là quan hệ bao hàm của tậ p hợp: với K ị , K 2 £ M , Ki < K 2 nếu

K i С K 2 Bởi tín h com pact yếu, mỗi xích (họ sắp thẳng) các tậ p con

của M có giao khác rỗng, do đó là chặn trên đối với quan hệ <■ Theo

bổ đề Zorn,tồn tạ i ít n h ất m ột tậ p D e ж là cực đại đối với quan hệ < ,

B ổ đ ề 2 2 Nếu К là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T :

К —»• К là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng

và lồi.

C h ứ n g m in h Ta có T là đóng vì T liên tục Giả sử X = T x và у = T y cho Л G (0; 1) và tậ p z = (1 — X) + Ằy thì:

Đ ịn h n g h ĩa 2.2 Cho к là tậ p con lồi, đóng của không gian Banach

X Tập К được gọi là hầu như có tín h chất điểm b ất động đối với các ánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T : к —¥ к ta có: inf \\Ty - у\\ = 0

укк

N h ậ n x é t 2.2 B ất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach

đều là tập hầu như có tính chất điểm bất động đối với họ các ánh xạ

không giãn.

2.2 Đ ịn h lý cơ bản về điểm bất động của ánh x ạ

không giãn tro n g không gian B anach

Đ ịn h lý 2.2 (K ir k ) Cho К là m ột tập lồi, compact yếu, có cấu trúc

giãn Khi đó T có điểm bất động trong к

không giãn, ta có T (H ) с в (Tz, r), vì vậy convT (H ) с в (Tz, r) Vì

convT (H) là m ột tậ p hợp lồi, đóng trong к nên cũng com pact yếu và vì

convT (H ) с conv (H ) = H nên T (convT (H )) с T (H ) с convT (H ),

vậy convT (H ) G T Vì convT (H ) с H và H cực tiểu nên convT (H ) =

Tóm lại M С к là tậ p lồi, đóng và b ấ t biến đối với T, vậy M G T '

Vì M С H và H cực tiểu nên M = H Khi đó, với mọi u , v e M = H

ta có ỊỊií — г?II < r, từ đây d = d ia m H = d ia m M < r < d, ta gặp m âu thuẫn Vậy H chỉ gồm m ột điểm, tức là H = {ж*}.

Vì H b ất biến đối với T nên ta có Tx* = X* и

Đ ịn h lý 2.3 (B ro w d e r - G o h b e ) Cho К ỉà tập lồi đóng bị chặn trong

không gian lồi đều X và T : к —»■ к là m ột ánh xạ không giãn Khi đó

tập các điểm bất động của T là lồi đóng và khác rỗng.

C h ứ n g m in h Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó к là com pact yếu và có

cấu trú c chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tậ p hợp các điểm b ất động

của T khác rỗng ngoài ra nó đóng vì T liên tục Ta chỉ còn phải chứng

m inh tín h lồi của tậ p hợp này

Cho и = Tw, V = T v và m = Xu + (1 — Л) V với m ột л € [о, 1] nào

đó Khi đó и — m = (1 — Л) (u — v) và V — m = X (v — ù) Vì T là ánh

xạ không giãn nên ta có:

Đ ặt X = u — T m , y = T m — V ta có II^ỊỊ + \\yII = ||x + y\\.

Vì X lồi đều th ì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại

Mâu th u ẫn với tín h không giãn của T.

Hoàn toàn tương tự, nếu /3 < X th ì ta cũng gặp m âu thuẫn:

IIT u — Tm\\ > ||w — m II Vậy /3 = À nên T m = m Vì mọi điểm trên

đoạn nối hai điểm b ấ t động cũng là điểm b ất động nên tậ p hợp các điểm

N h ậ n x é t 2.3 Browder đã sử dụng định lý trên để chứng minh sự tồn

tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phẫn trong không gian Hilbert

với vế phải là m ột hàm tuần hoàn.

Sau khi x u ất hiện định lý của Kirk m ột câu hỏi được đ ặt ra là liệu có

th ể bỏ được điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc được không, hay nói cách

khác: m ột ánh xạ không giãn trong m ột tậ p hợp lồi, com pact yếu của

m ột không gian Banach b ất kì có n h ất th iết có điểm b ất động không?Alspach đã đưa ra câu tr ả lời phủ định bằng cách đưa ra phản ví dụ dưới đây:

Khi đó К là tậ p lồi, com pact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong к (tức là

\ \ Tf — Tg\\ = II/ — <7II) nhưng không có điểm b ất động.

Vì L 1 [0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên m ột câu hỏi nữa

lại x u ất hiện Một ánh xạ không giãn trong m ột tậ p lồi, đóng, bị chặn của m ột không gian Banach phản xạ có n h ất th iết có điểm b ất động không? Hiện nay câu hỏi này vẫn chưa có lời giải

N h ậ n x é t 2.4 Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không

giãn đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ,

việc tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức ỉà với mọi e > 0 tồn tại x e sao

cho \\Txe — же|| < e, lại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên Cụ thể

là: ánh xạ không giãn trong m ột tập lồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bất

động xấp xỉ Thật vậy ỉấy x 0 tùy ý trong к và với mỗi n đặt:

V í d ụ 2 4 Cho X = L 1 [0; 1], đặt:

K = ị f & L 1[0; 1] : f f ( t ) dt = 1; 0 < / (Ế) < 2

"xấp xỉ" của T.

2.3 Đ ịn h lý cơ bản về điểm bất động của ánh x ạ

không giãn tro n g không gian m etric

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Cho X là không gian m etric và с là họ các tậ p con

của X Cặp (X,C) được gọi là cấu trú c lồi m etric nếu:

a) Cả X và 0 thuộc c.

b) Giao của m ột họ các phần tử trong с là thuộc c.

c) С chứa các hình cầu đóng trong X.

Một tậ p con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao của

m ột họ các hình cầu đóng trong X chứa nó Ký hiệu А (X) là họ các tập

chấp nhận được trong X

Khi đó, cặp (Х ,Д (Х )) là m ột cấu trú c lồi metric Cặp (Х ,Д (Х )) được gọi là cấu trú c lồi chấp nhận được

Đ ịn h n g h ĩa 2 4 c ấ u trú c lồi m etric (X ,ổ ) được gọi là com pact nếu

mỗi họ của c có tín h chất giao hữu hạn th ì họ đó có tín h chất giao toàn

thể

Cấu trú c lồi m etric (X,C) được gọi là chuẩn tắc nếu r (D ) < dia m D với mọi D € c có d ỉa m D > 0.

Cấu trú c lồi m etric (X,C) được gọi là chuẩn tắc đều nếu tồn tại

c e (0; 1) sao cho r (D ) < c.diamD với mọi D e c có d ia m D > 0.

B ổ đ ề 2 3 Cho cấu trúc lồi compact (X, C) và ánh x ạ T : X —¥ X Khi

đó tồn tại D e c sao cho D là tập khác rỗng bé nhất, bất biến qua T và conv (T (D)) = D.

C h ứ n g m in h Đ ặt T = {L Ễ c : L ^ 0 ,T (L) c L} Vì X Ễ J nên

0 Với quan hệ th ứ tự là bao hàm thức, tậ p T được sắp th ứ tự bộ

phận

Gọi c là m ột xích trong T Vì quan hệ th ứ tự bao hàm thức nên c

là họ các tậ p lồng nhau, vì vậy £ có tín h chất giao hữu hạn Do (X,C)

có cấu trú c lồi com pact nên f ì L Ỷ 05 do đó c có phần tử bị chặn dưới.

ìè c

Theo bổ đề Zorn, T có phần từ cực tiểu D Ta có conv (T (Đ )) c T ,

conv (T (D)) c conv (D) = D Y ì D là phần tử cực tiểu trong T nên có

Đ ịn h lý 2.4 Cho X là không gian metric bị chặn và cặp (X, c ) có cấu

trúc lồi metric compact, chuẩn tắc K hi đó ánh xạ không giãn T : X —» X

có điểm bất động.

C h ứ n g m in h Theo bổ đề 2.3 tồn tạ i tậ p bé n h ất khác rỗng D € c sao cho T (D ) c D.

Với mỗi n ta đặt: Cn (D ) = f ì в ( x , r (D ) 4- - ) П D Khi đó Cn (D ) 7^ 0

do định nghĩa của r (.D) và Cn (D) G с do с chứa tấ t cả các hình cầu

T { D ) С B { T x , r { D ) )

Suy ra:

D = conv (T (D )) С В ( T x , r {D)).

Vì vậy T x ẽ С (D ) Vì С (D ) С D và D là tậ p khác rỗng bé n h ất sao cho T (.D) С -D nên c (D) = D Khi đó dia m D = r (D ).

Do С có cấu trú c chuẩn tắc nên nếu d ỉa m D > 0 th ì ta có:

dia m D = r (D ) < d iam D

vô lý

Vì vậy d ỉa m D = 0, do đó ánh xạ T có điểm b ất động ■

B ổ đ ề 2.4 Cho cấu trúc lồi metric (x , c ) trong đó X là không gian

metric bị chặn, T : X —> X là ánh xạ không giãn.

Đặt

F = { D e С : D ^ ®,T {D) С D }

Khi đó với mỗi D E J- tồn tại D с D sao cho:

Lấy X £ D, tã cổ d (T x , Т у ) < d (х, у) < р với mọi у е L W i vậy, т (L ) с

5 (Tæ, р) Với mọi у G К ta, có d (у, Т х ) < р suy га к с в ( Тх, р).

Vậy

L = conv (т (L) и К ) С В ( Тх, р).

Đ ịn h lý 2 5 Cho X là không gian metric đầy đủ, bị chặn và (X, c ) là

cấu trúc lồi metric compact đếm được, chuẩn tắc Khi đó mỗi ánh xạ

không giãn T : X —»• X có điểm bất động.

Đặt: D = n r= i Dn Ỷ 0 do c có cấu trúc compact đếm được Vì Dn+1 c T

nên D £ J7 Theo bổ đề 2.4 tồn tạ i D c J-, D c D sao cho:

dỉa m D < I (d ỉa m D + r (D ))

Ta có

dia m D — - < ổ (D n) < ổ (D ) < I (d ia m D + r (D)).

Cho ĨI —^ oo ta có dia m D < r (D ) Do đó dỉa m D = r (D ), vì c có cấu

trú c chuẩn tắc nên d ia m D = 0 Suy ra ánh xạ T có điểm b ấ t động ■

Ta p h át biểu m à không chứng m inh m ệnh đề sau

M ệ n h đ ề 2 1 Cho X là không gian metric đầy đủ, bị chặn Nếu (X, C)

có cấu trúc lồi metric chuẩn tắc đều thì (X, C) có cấu trúc compact đếm

được.