bài tập tích phân đường

BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG1 Tham số hóa các đường cong trong không gian sau đây.. 2 Tính các tích phân đường loại một sau đây 1.. 4 Tính các tích phân đường loại hai theo cách tham số hóa đ

BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

1 Tham số hóa các đường cong trong không gian sau đây.

1 Giao tuyến của mặt phẳng z = 2y và paraboloid z = x2+ y2

2 Giao tuyến của trụ z = x2 và trụ x2+ y2 = 1

3 Giao tuyến của mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 và mặt phẳng y = x

4 Giao tuyến của mặt cầu z =p4 − x2− y2 và trụ x2+ y2 = 2x

5 Giao tuyến của paraboloid z = 2x2 + y2 và mặt phẳng x + y = 1, lấy trong miền

x ≥ 0, y ≥ 0

2 Tính các tích phân đường loại một sau đây

1 R

C

px2+ y2dl, trong đó C là một phần tư đường tròn x2+ y2 = 2x từ (0, 0) đến (1, −1)

2 R

C

xdl, trong đó C là cung parabol y = 1 − x2 từ (0, 1) đến (−1, 0)

3 I =R

C

x − 2y

√

1 + 4x2dl trong đó C là cung parabol , y = 1 − x2 từ A(1, 0) đến B(−2, −3)

4 I =R

C

x2dl, trong đó C là đường cong y = ln x, 1 ≤ x ≤ e

5 R

C

zdl, trong đó C là giao tuyến của nón z = px2+ y2 và trụ y = √

2x, đi từ điểm từ (0, 0, 0) đến (2, 2, 2√

2)

6 R

C

(zy − 2x)dl trong đó C là giao tuyến của mặt nón z =px2+ y2 và mặt phẳng y = x lấy phần nằm dưới mặt phẳng z = 3

3 Tính độ dài các đường cong sau

1 C là cung parabol y = 2 −x

2

2 , −1 ≤ x ≤ 2.

2 C là cung cycloid x = 2(t − sin t), x = 2(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ π

4 Tính các tích phân đường loại hai theo cách tham số hóa đường cong

1 I =R

C

(x + y)dx + (x − y)dy , trong đó C là cung parabol y = 2x2+ x − 1, đi từ A(1, 2) đến B(−3, 14)

(1,−1)

4 I = R

C

x2dx + xdy, trong đó C là cung ellipse 3x2+ y2 = 9, đi từ điểm (√

3, 0) đến giao điểm đầu tiên với đường y =√

3x, lấy theo chiều KĐH

5 I =R

C

(2x2+ y)dx − xdy, trong đó C là biên của miền D, giới hạn bởi y = x2− 2x, y = x, lấy theo chiều kim đồng hồ

6 I =R

C

x2zdx + 2zdy − (x + y)dz, C là giao tuyến của 2mặt phẳng z = 3, x + y = 1 đi từ A(1, 0, 3) đến B(−1, 2, 3)

7 R

C

arctanz

xdy, trong đó C là giao tuyến của paraboloid z =

x2+ y2

2 và mặt phẳng y = x, lấy phần z ≤ 3, đi ngược chiều KĐH nhìn từ Ox+

8 I =R

C

(x + y)dx + zdz, trong đó C là giao tuyến của trụ x2+ y2 = 2x và mặt phẳng z = x, lấy ngược chiều KĐH nhìn điểm (1, 0, 0)

5 Tính tích phân sử dụng công thức Green hoặc định lý về tích phân không phụ thuộc đường đi

1 H

C

(3x − 2y)dx + (2x2− 9y)dy, với C là biên của miền D : y = x2− 2x, y = x, lấy ngược chiều KĐH

2 H

C

3x2(1 + ln y)dx −

 2xy −x

3

y



dy, trong đó C là đường tròn (x − 1)2+ (y − 1)2 = 1

4, lấy ngược chiều kim đồng hồ

3 H

 2xy + x2y +y

3

3



dx + (x2+ y2) dy, trong đó C là biên định hướng âm của miền D :

x2+ y2 ≤ 2x, y ≥ 0

4 R

C

xdy − y(1 + xy)dy, trong đó C là nửa đường tròn x2+ y2 = 2y, đi từ điểm (2, 0) đến điểm (0, 0) theo chiều kim đồng hồ

5 R

C

 2xy + exy



dx +



1 − x y



exydy, với C là cung parabol y = 4 − x2 đi từ điểm (−1, 3) đến điểm (1, 3)

6 R

C

 2x + exdx +



1 − x y



exdy, với C là cung parabol y = 4 − x2 đi từ điểm (−1, 3) đến điểm (0, 4)

7 R

C

x

x2+ y2dy − y

x2 + y2dx, trong đó C là cung y = cos x, x : −π

2 → π

2.

8 H

C

excos ydx+(−2xy−exsin y)dy, với C là biên của tam giác ABC, O(−2, 0), B(1, −1), C(1, 1), lấy ngược chiếu kim đồng hồ

6 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường đi

1 Tìm các số tự nhiên m, n để tích phân sau không phụ thuộc đường đi:

I =R

C

xmyn+1(3 − 2xy2)dx + xm+1yn(4 − 3xy2)dy

Với m, n vừa tìm được, tính tích phân trên đi từ (−2, 3) đến (2, −1)

2 Tìm hàm sô h = h(x) thỏa h(0) = 1 để tích phân sau không phụ thuộc đường đi:

I =R

C

 2xy + x2y +y

3

3

 h(x)dx + (x2+ y2) h(x)dy

Với m, n vừa tìm được, tính tích phân trên đi từ (0, 0) đến (3, 1)

3 Tìm hàm sô h = h(x2+ y2) để tích phân sau không phụ thuộc đường đi:

I =R

C

(x − y) hdx + (x + y) hdy