Bài tập tích phân đường và mặt có lời giải

Mặt khác, không có vecto nào bắt đầu từ C2 cùng chiều C2, trong khi một số vecto còn có chiều ngược lại nên... Chúng ta thấy rằng hầu hết các vecto bắt đầu ở điểm C trong khoảng cùng hư

Chuyên đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & MẶT

02.03.1.001.A1072 : Tính tích phân đường

02.03.1.003.A1072 : Tính tích phân đường

(4 cos )(4 sin ) ( 4 sin ) (4 cos )

4 cos sin 16(sin cos )

2 2

1 3



02.03.1.009.A1072 : Tính tích phân đường

xe ds

 Với C là đoạn thẳng từ (0,0,0) đến (1,2,3)

Lời giải:

02.03.1.015.A1072 : Tính tích phân đường

a) Nếu C1 là đoạn thẳng từ (-3,-3) đến (-3,3), xác định xem

dương Mặt khác, không có vecto nào bắt đầu từ C2

cùng chiều C2, trong khi một số vecto còn có chiều

ngược lại nên

02.03.1.019.A1073 : Tính tích phân đường .

cos i sin j sin 5 k 0

sin sin sin 5t t cos sin 5 sin cost t t 5cos cos 5 sin si nt t t dt 0,1363

F(x, y) = (x – y) i + xy j

Với C là cung của đường tròn x2 + y2 = 4 theo chiều kim đồng hồ từ (2, 0) đến (0, -2)

Lời giải:

Ta có đồ thị F x y ,   xy i xyj và đường cong C Chúng ta thấy rằng hầu hết

các vecto bắt đầu ở điểm C trong khoảng cùng hướng với C, vì vậy trong nhưng phần đó của C các thành phần tiếp tuyến F.T là tích cực Mặc dù một số vecto trong góc phần tư thứ ba bắt đầu ở điểm trên C nhưng có chiều ngược lại với C

và do đó các thành phần tiếp tuyến F.T là tiêu cực Ở đây, có vẻ như các thành phần của C chịu nhiều ảnh hưởng hơn bởi các thành phần tích cực Vì vây có thể đoán .

C F dr C F Tds

  là tích cực

Kiểm tra lại ta tính tích phân C Fdr đường cong C có thể được biểu diễn bởi r(t)

= 2cost i + 2sint j, 0≤ t ≤ 3π/2 Vì vậy

3



02.03.1.028.A1073 : Sử dụng một đồ thị của trường vecto F và cung tròn C để đoán tích phân đường của F và C là âm, dương hay bằng 0 Sau đó tính tích phân đường

b)Minh họa phần a bằng cách sử dụng máy tính vẽ đồ thị C và các vecto

của trường vecto tương ứng với 1; 1

sin 4 4 cos 4 4sin 4 cos 4 ,

cos 4 4 sin 4 sin 4 4cos 4

4sin 4 cos 4 4cos 4 sin 4 1

16 sin 4 cos 4 sin 4 cos 4 1 3 2

b) Từ đồ thị, chúng ta thấy mọi vecto trong trường là

vuông góc với đường tròn Điều đó cho thấy trường

không sinh công trên hạt, nghĩa là bất kì điểm nào trên

C đều có F.T=0 hay tích phân 0

C

F dr 

02.03.1.033.A1073 :

Một sợi dây mảnh được uốn cong thành hình bán nguyệt 2 2

/ 2 / 2

Lời giải:

Chúng ta sử dụng phương trình tham số

cos sin

2 2

3 2

1 1

2 20

a)Lực tác dụng lên vật ở thời điểm t là?

b)Công thực hiện của lực trong suốt khoảng thời gian 0 t 1

2 9 2

a sin cos cos sin

a sin cos sin cos



  



Lời giải:

a)

1 :

C xt 

0

dx dt y

4

0 0

02.03.1.054.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp

Lời giải:

a)

02.03.1.011.A1122 : Sử dụng công thức Green tính .

C

F dr



 ,  cos sin , xy cos

F x y  y xxy x x x Với C là tam giác từ (0,0) đến (0,4) đến

(2,0) đến (0,0)

Lời giải:

 , cos sinx, xy xcosx

F x y  y xxy  và miền D được bao bởi C là

   

/ 2 / 2

F x y  x   x và miền D được bao bởi C  x y, | 0  x 1,x y 1

C cho chiều dương nên

02.03.1.015.A1122 :

Chứng minh đinh lý Green bằng cách sử dụng máy tính số tính cả tích phân đường và tích phân kép   2   2

P x y  y e Q x y x e Với C bao gồm đoạn thẳng

từ (-1,1) đến (1,1) nối với cung parabol 2

Giả sử C1 là vòm của cycloid từ (0,0) đến (2π,0), ứng với 0 ≤ t ≤ 2π

C2 chứa đoạn từ (2π,0) đến (0,0), nên có 2

20

x  y  , một điểm cố định P trên C vẽ ra một đường epicycloid, với

phương trình tham số 5cost cos5

0

2 0

=> 1

2

D dA C xdy ydx

  với D là đa giác tạo bởi C

Vì thế diện tích đa giác là:

 

121

Giả sử chọn một phần tư hình tròn như hình bên

2 2

2

2 2

1/ 21

14

Tham số hóa C’ theo r t acosti asintj, 0  t 2

 chứng minh C F dr. = 0 với mọi đường kín C không

đi qua hoặc không chứa gốc tọa độ

  có đạo hàm riêng cấp 1 trên D nên có thể áp

dụng công thức Green Lại có P Q

0 2

0 2

b) Có F x y , kx kx ky,

2 0

C

W  F dr   k t k t  t t dt

2  

0 2 0

Lời giải:

Khảo sát hàng rào trong mặt phẳng xy,

Tâm tại gốc tọa độ, chiều cao là z h x y ,

Có thể mô tả hàng rào bằng phương trình

2

2 0

4 cos 2 100

1 =10 4 sin 2 10 8 80 m