đủ dạng bài tập tích phân
Trang 1TÍCH PHÂN
1 Tính tích phân bằng định nghĩa:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫1
0
3 dx
x
4 ;b) −∫21 3
2
1
dx
x ;c)∫e1 dxx ;d)−−∫12 3
1
dx
x ;e)−∫1 +
1
) 1 2 ( x dx;f)16∫1 x dx;g)∫8
1 3
1 dx
x ;h)−−∫1 −
2
2
) 1 (x dx;
i)∫
−
+
3
1
3 1)dx
x
0
x 2 ) dx e
2
2
)
1 ( dx x
−
+
− +
1
4
x x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a) I = ∫2 − +
5 , 0
3 2
x
4
1
2) 1 1
t t
1
dx x
x
;
x
x 1 ) 1
(
3 2
1
+
−
0
2
) 2 3 ( s s ds
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)∫1 +
0
3 dx
)
1
x
2
( ;b)∫21(2x−1)2
dx
; c)∫3 +
1
dx
3
∫ − ;e)∫40 25dx−3x ; f)∫
−
+
2
1
1 2
1
dx
g)−∫
−
−
1
2
2 1
2 x dx;
0
) 2 2
sin(
π
dx
x ;i)∫3 −x dx
0
) 3 cos(
π
0
2 ( 1 ) cos
1
dx
x ; k)−∫2 − +
1
5 , 0
5 ( x x e x dx;l)
∫2 −
0
) 2 sin 2
cos
2
(
π
dx x
3 Tính tích phân các hàm số chứa giá trị tuyệt đối:
Bài 1: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a)∫2 −
0
1dx
x ;b)−−∫1 +
3
2
x dx;c)∫x− dx
2
1
2 ;d)∫x x dx
−
−
−
2
2
0
x ;f)∫2 −
0
∫
−
−
−
3
2
−
−
+
2
4
Bài 2: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a) I = ∫2 x− dx
0
2
) 1
0
x 1
x x 2 1
1
5
2
∫
−
+
4 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a) A =∫2 −
1
5
) 1
( x dx
x , đặt t = 1 - x;b) B = dx
x
x
∫21 ln , đặt t = lnx;c) C =∫
2 e
e xlnx
dx , đặt t = lnx;
d) D =∫3 −
0
x dx
xe 2
, đặt t = -x2;e) E =∫
− +
2
x
e 2
dx e , đặt t = 2 + ex; f) E = ∫2 +
dx
,(đặt hoặc t=t=22x x++33); g) G =∫ −
9
3 1 x dx
x , đặt t=3 1−x ; h) H =∫2(2sinx+3)cosxdx
π
, đặt t = 2sinx + 3
Trang 2a)1x ( x 1 ) dx
0
2007
0
3
2 2 x dx
3
1
x
dx x
; d)∫2 +
2
dx 2 x
x
;e)1x 1 x dx
0
8 2
∫
+
1
1
2
dx x
x
x
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)∫2
0
2
cos sin2
π
x
−
4
4
tgxdx
π
π ;c)∫2 −
dx x cos 4
x 2 sin
π
; d)∫2
0
3
2xcos xdx sin
π
;e)∫e
1
2
dx x
x ln
;f)∫2
0
5xdx sin
π
;
g)62 1 4sin3xcos 3xdx
0
∫ +
π
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a) ∫2 −
3
2
1
2
1 x dx; b))∫101+x 2
dx
0
2 dx x
4 ; d)∫10 − 2 dx
x 4
dx
5 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫1
0
x dx
xe ; b)∫2
1
2lnxdx
x c)∫2
0
xdx cos x
π
;d)∫2 −
1
ln ) 1 2 ( x xdx
e)∫
−
+
1
1
xdx
e
)
3
x
( ; f)∫3
0
xdx ln x
1
2)lnxdx x
1
2
2ln(x 1)dx
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a) A = 2
0 xcos 2xdx
π
∫ ; b) B =ln∫2 −
0
2 dx
xe x
;c) C =∫1 +
0
) 1 2 ln( x dx; d) D = ∫3 +
0
2
) 2 (x e x dx
; e) E =∫ +
1
0
2
2 1 )
(x e x dx
0
2 2 3)sin (
π
xdx x
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a) I = ∫3
dx
e x
∫3 + + 0
0
2x)cosxdx sin
x (
π
;
d) L = ∫π +
0
x cos x ) sin xdx e
2
)]
1 ln(
) 1 [ln(x x dx
6 Tính tích phân các hàm phân thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫21 +2
3
dx
x
x
x
1
2
x x x
dx x
∫ ;c)−∫42 −+32dx
x
x
x
x
∫1 +−
1 2
;e) 23 3
x dx x
−
−
∫ ; f) 014 3
x dx x
+ +
g)−∫
−
1
2
3
1
1
dx x
x
; h)∫2 −− +
1
2
3
1
2 dx
x
x
x
;i)−∫
+
−
1 2
3
1 1dx x
x x
; j)∫2 +−
1
3
1
1
dx x
x
; k)∫1 ++ −
0
2
1 1dx x
x x
; l)∫
+
−
0
2 3
1
1
2 dx
x
x x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
Trang 3a)∫ + −
+
3
2
) 1
2 1
1
x
x x
1
x x
dx
∫42 ( −1) ;d)−∫02 2 +2 −3
4 dx
x
e)∫10 x2 −5x+6
xdx
4
1
3 dx
x x
x
x x
∫3 + −
2
2
2
− − − +
−
0
1
1
dx x x
x
;
x x
∫42 −3 2 + +2
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a) I =−∫0 −
1
3
) 1
(
1 dx
x ;b) J =−∫01x4 +2x2 +1dx
x
;c) K =∫2 + +
1
1 dx
x
d) L =∫10 x2 −2x+2
dx
; e) M =∫10 x2+x+2
dx
; f) N =∫20 2 −++1
2
x x
x
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1 Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;
c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x;
e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2;
g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
2 x
12 x 10
x2
+
−
− và đường thẳng y = 0.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
1 x
x
x2
+
+
− và trục hoành.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị của hàm số y = xx 11
+
+ .
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x với x ∈ [0; π]
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
c) y = x
e 2
1
− , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2)
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung
c) y = x3 - 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = -21
2 Thể tích vật thể tròn xoay:
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1
Trang 4a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0.
Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 và x = 3
Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox
Trang 5Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2
2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2
3) y = -x2 + 4x, y = 0
4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4
5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3
6) y = 2
4
1
x , y = 2
2
1
x + 3x
7) y = x, y = 0, y = 4 - x
8) y = x2, y = 2
8
1
x , y = 8x 9) y = x2 − 3x+ 2 , y = 2
10) y = x2 − 4x+ 3 , y = x + 3
11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1
13) (P): y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M1(0; -3), M2(3; 0)
14) (P): y = -x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(25 ; 6)
15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π.
16) y = lnx, y = 0, x =1e , x = e
17) y =
2
2
x
, y = 1 2
1
x
+ .
18) y = - 4 −x2 , x2 + 3y = 0
19) y =
4 4
2
x
− , y =
2 4
2
x
20) y = x 1 +x2 , x = 0, x = 1
21) y = e 2x
1
− , y = ex, x = 1
22) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3
23) y2 = 2x + 1, y = x - 1
24) y = x, x + y - 2 = 0
Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox
2) y = tgx, y = 0, x = 0, x =π4 , quay xung quanh trục Ox.
3) y = 4x , y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh trục Ox
4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh trục Ox
5) y =
3
3
x , y = x2, quay xung quanh trục Ox
6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh trục Ox
7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh trục Ox
8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh trục Ox
9) y = x ln( 1 +x3 ), y = 0, x = 1, quay xung quanh trục Ox
10) y = 2
1
2x e x
, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox