PT CHUA THAM SO 2016

Bước 3: Sử dụng cỏc nhận xột và phương phỏp đó nờu ở phần trờn, đưa ra kết luận... Cỏc bước cũn lại tương tự thuật toỏn 1.. * Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào

CHUYấN ĐỀ:

BÀI TOÁN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH

I- Lí THUYẾT:Một số dạng toỏn và phương phỏp tương ứng:

Cho h¯m số y  f x( ) liên tục trên tập D.Giả sử trờn D tồn tại    

* THUẬT TOÁN:Để giải cỏc bài toỏn tỡm giỏ trị tham số m để phương trỡnh (PT), bất phương

trỡnh (BPT) cú nghiệm ta cú thể thực hiện theo cỏc bước sau:

Thuật to²n 1: Đối với bài toỏn khụng cần đặt ẩn phụ

Bước 1: Biến đổi đưa PT về dạng f x g m  hoặc f x g m ; hoặc f x g m  

Bước 2: Lập bảng biến thiờn của hàm số y  f x , có tập x²c định Df

Suy ra:    

minf x , maxf x

Bước 3: Sử dụng cỏc nhận xột và phương phỏp đó nờu ở phần trờn, đưa ra kết luận

Thuật to²n 2: Đối với bài toỏn đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt ẩn phụ t  x Từ điều kiện ràng buộc của x suy ra miền giỏ trị t  x

Giả sử:  x D f  t X

Bước 1: Lỳc này, biến đổi đưa PT về dạng f t h m ,

hoặc f t h m ; hoặc f t h m 

Lỳc này biện luận điều kiện cú nghiệm của PT f t h m  với t X

Cỏc bước cũn lại tương tự thuật toỏn 1

* Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện cú nghiệm của cỏc

dạng hệ đặc thự, hoặc đưa về phương trỡnh chứa 1 ẩn (cú thể là ẩn phụ) vầ xột điều kiện cú

nghiệm trờn miền giỏ trị của ẩn (hoặc ẩn phụ) đú

II- CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ:

Bài tập 1: Tìm c²c gi² trị của m để phương trình: x  9   x x2 9x m có nghiệm

Bài giải: Điều kiện: 0  x 9

Kết luận: Phương trình đ± cho có nghiệm khi chỉ khi PT (**) có nghiệm

Bài tập 1: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm 4x2  1 x m

Bài giải: Điều kiện: x  0

Dựa vào BBT ta cú yờu cầu bài toỏn 0 m 1

Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm x2   x 1 x2  x 1 m

Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x  x 12 m 5 x 4x

Bài giải: Điều kiện: x   0; 4

 

  , hàm số h x  5 x 4x nghịch biến và nhận giá trị dương trên 0; 4  Suy ra   12

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x2   2 x m

Bài giải: Vì x2  2 0,    nên phương trình x

Yêu cầu bài toán  2 m 2

Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x33x  4 m x  x  1 1

Bài giải: Điều kiện: x  1

Yêu cầu bài toánm  1

Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x x  5 m

Bài giải: Điều kiện: x   5; 4

  Xét hàm số f x  4 x x 5, x   5; 4

-5

-1 2 x

f'(x) f(x)

0

4

_ +

3Yêu cầu bài toánm 3 2

Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x 3 m 1

Bài giải: Điều kiện: x  3

1

x m

x

 

 do x  1 0,   x 3Xét hàm số   3 1, 3; 

Yêu cầu bài toán 2

.3

Dựa vào BBT, ta suy ra f 2 g m 0,   Suy ra điều phải chứng minh m 0

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  3 6 x x3 6 xm

Bài giải: Điều kiện: x   3;6

 

0, 2;2 21

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 12 2 13

Xét hàm số f t t24t4, t   3; 3  Ta có: f t/ 2t    4 0 t 2 2;2 2 BBT:

7-4 3

0

1

+ _

3 0

f(t) f'(t)

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

t

f t

t t

 

      

BBT:

133

_

-1t

f'(t)f(t)

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  2 24x22x m x  0

Bài giải: Điều kiện: x  2

t 0

_

-1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

m x  x   x   x 

Bài giải: Điều kiện: x  2

+ Ta thấy x  không phải là nghiệm của phương trình 2

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x26x  7 m x 1 x2  2

Bài giải: Điều kiện: x  

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm  1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm  2

0

21

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 7

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:tan2x cot2x mtanx cotx  3 0

Bài giải: Điều kiện:

nghiệm duy nhất 0;

  

 

 

Ta có, ứng với mỗi tho° m±n PT (3), ta được đúng một nghiệm Do đó, PT (1)

có nghiệm duy nhất khi v¯ chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất Dựa v¯o BBT,suy ra ycbt l¯

2

22

Từ phép đặt 1

t x

x

  , ta có với mỗi t   cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn 2 t  2

cho ta 2 giá trị x Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt  (3) chỉ có các nghiệm t  và 1 2

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 2m  4 0 m 2

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1 

Dựa vào bảng biến thiờn, yờu cầu bài toỏn 2 11

Tìm c²c gi² trị của m để có phương trình nghiệm x 32;

ycbt 2 Kết hợp suy ra:

f(t)f'(t)

_

79

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 7 9

 

 

  để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2m 0 m 0

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn 1

Bài giải: Điều kiện: x  

Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x2x, ta được:  

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 3

Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x 2 m x 1 m 4

Bài giải: Điều kiện: x  1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 2

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   1;1

  2

m  x x  x  m  x m

Bài giải: Điều kiện: x   1;1

  Bất phương trìnhm 1 x 3 1x16x12 1x2 2m15

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2;3 2     31

Lúc đó, BPT (1) có nghiệm khi chỉ khi BPT (2) có nghiệm

Điều n¯y x±y ra khi max

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm hoặc 4 m  2

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:   (1)

Bài giải: Đặt u x 1; v y 1

3 3

HÖ ®± cho cã nghiÖm ( HÖ (II) cã nghiÖm

 XÐt h¯m sè ( ) 2 0 Ta cã: /( ) 1 2 0 1 .

Suy ra a b là nghiệm của phương trình: , t24t 3 5m  0 5m t24t3, t  (2) 2

Hệ có nghiệm  Phương trình (2) có hai nghiệm thoả mãn t  2

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 2  

  Ta có: f S/ 2S   2 0 S  1BBT: lim   ; lim  

505

S S

P

S S

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm16

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x y với ; x 0, y : 0

47

Theo định lí Viet, ta có x y là hai nghiệm thuộc , 0;1 của phương trình: t24PtP  0

Trước hết ta tìm P để phương trình t24PtP  có hai nghiệm thuộc 0 0;1

Yêu cầu tương đương tìm P để phương trình

2

t P

t



 có hai nghiệm thuộc 0;1 (vì t  14

không là nghiệm)

64

-54

932

13

14P

g'(P)g(P)

Bài giải: Điều kiện: x , y 

19

1t

f'(t)f(t)

0

_

2

8

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm  8 m19

Bài tập 3: (HSG Hà Tĩnh 2013) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

2 2

2 2

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm 3 3

 

  (4) Đặt u  1x2    x  1;1 u 0;1

g(u)g'(u)

-1

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm  1 m  2

Bài tập 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  

  

  Phương trình (1)  3    3

x

m m

Vậy hệ đã cho có nghiệmm 0

Nhận xét: Trong trường hợp VP (4) chưa biết dấu thì ta khảo sát f x 2x2 x 2x28x4

  Điều này, không hề đơn giản!

Bài tập 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:     (1)

Ta thấy x  không thoả mãn (3) Mặt khác, vì 0 x  1x2  và 0 1 1y2  nên từ (3) 0suy ra y  Kết hợp điều kiện suy ra 0 x  0

t

m t

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm 2 2  

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm

III- MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG TỪ 2002 - 2016:

   là hai nghiệm của phương trình t2 t m 0 (**)

Hệ đã cho có nghiệm  x y;  Hệ (*) có nghiệm u 0, v  Phương trình (**) có hai 0nghiệm không âm

1

40

 đồng biến trên   Suy ra 1;  f x  có nghiệm duy nhất trên   0   1; 

Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (đ.p.c.m)

Đề 03: (D - 2007) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

Suy ra u v là nghiệm của phương trình , t25t  8 m  0 t25t 8 m (1)

Hệ đã cho có nghiệm  Phương trình (1) có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 t1 2, t2  2

Suy ra giá trị cần tìm là 2 3

.2

Ta thấy u 2 v 2  0 f/ 2  Hơn nữa 0 u x   , v x cùng dương trên  0;2 và cùng âm trên khoảng  2;6

Từ bảng biến thiên ta có, ycbt 5 3

Do đó, yêu cầu bài toán 2 m  4

(khi 2m thì (2) có đúng 2 nghiệm 4 t t thỏa 1, 2 0  và t1 1 t  ) 2 3

y

t

1

x

f x

x x

x x

Phương trình đã cho có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm t  0;1

Dựa vào bảng biến thiên ta có các giá trị m cần tìm là: 1

1

3

m

  

Đề 10: (Khối B- 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình sau

luôn có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x  8 m x 2

Bài giải: Theo giả thiết m  , ta có điều kiện của phương trình là 0 x  2

Phương trình đã cho tương đương với

2 2( )

 Vậy g t đồng biến trên 1;2   

Do đó, yêu cầu bài toán  Bất phương trình

2 21

t m t

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình (2) có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1 1 2

Cách khác: Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình (2) có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1 1 2

 , dựa vào bảng biến thiên và đưa ra kết luận

Đề 13: (Dự bị- 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Đề 14: (Khối B- 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Bài giải: TXĐ: D   1;1

  Đặt t  1x2  1x2 Do 1x2  1x2  t 0; t    0 x 0

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: m x2     1 x 2 m

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 x x  1 2 x m

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin x cos x cos 4x m

Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc  0;1 :  2

 

2log x log x  3 m log x  3

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc  2; 4 :

Bài 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x m.2x1 3 2m 0

Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 6 x x2 3x m x  2 2 3x

Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x34x  x  1 m

Bài 11: Tìm m để pt sau có nghiệm trên 1

;24

Bài 12: Tìm m để pt sau có nghiệm thực: 3 x  1 m x  1 24x2 1

Bài 13: Tìm m để pt sau có 4 nghiệm thực phân biệt :4x22x 2x2 2x 1m 0

Bài 14: Cho bất hương trình: x2  1 4x2 m(1)

a, Tìm m để bpt (1) có nghiệm

b, Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x [1; 2]

Bài 15: Cho bất phương trình: 4x2 m.2x21m Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng 0

Bài 17: Tìm a để pt sau có nghiệm: x  1 3 x (x 1)(3x) 2a

Bài 18: Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 42x  2x 2 64  x 2 6 x m

Bài 23: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x  : R sin6x cos6x sin cosx x m

Bài 24: Tìm m để bpt nghiệm đúng với   x  4;6

  : (4x)(6x)x22x m

Bài 25: Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx  2 2x 1

Bài 26: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m , phương trình sau luôn có hai nghiệm