bai toan tong hop ve GTLN GTNN và tham so m

PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thông thường ta thực hiện theo các bước sau :  Biến đổi các số hạng chứa trong biểu th

Chủ đề 11 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN

CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thông thường ta

thực hiện theo các bước sau :

 Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau

 Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên

 Xét hàm số f (t) theo biến t Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với t  D

 Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với t  D

 Chú ý : trong trường hợp không thể xây dựng trực tiếp được hàm số f (t)với t  D, ta có thể đi tìm

 f (t)với t  Dthỏa P  f (t) đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

 f (t)với t  Dthỏa P  f (t) đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất

B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f t( ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ:

Phương pháp chung:

 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t

thích hợp

 Có thể biến đổi được về hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối B và D

Thí dụ 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1

0 ,

y x

y x

nên

4

1 0

f

P  2  1

 '  1;

2 2

t

t t

f   ta thấy f' t  0 với mọi  





 16

1

; 0

t , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng

1min

min

] 16

1

; 0 (

3 3 2 3

3

2 2 3

3

3 3

3)

())(

y x y

x

xy y x y

x

xy y x y x y

x

y x A

 Xét hàm số

t

t t

f( )  3 với t 3  t 1, ta có / ( )   32  0

t t f

y x xy y

x xy y x

31

11

)(3)(

11

1

3 3

_-3

1

-∞

 Xét hàm số

t t t

3 1

1 )

) 3 1 (

3 ) (

t t t

)(

1

; 3

3 3 2 1 2

)(

0

4+2 3

1 4

1 4 0

1 16

25 2 12

Thí dụ 5 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện y 0và x2x y12

2 0

0

x y

) 2 ( 3

3 )

2 ( ) 2 (

2

2 2

x x x

x x

x x x

x x

P

2 /

) 1 (

2 2

x P

x

f / (x) f(x)

-12

20 -13

20

+ -

1 3

0

2 1

0

P

P / x

Thí dụ 7 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện xy 1, 2 2

) (x y 2  xy t2  t    t Khi đó

 Xét hàm số

1

1)

) 2 (

2 )

t

t t t xy y

)(

2 3 2

 Khi đó

2

2

2 2

t t xy

y x P

 Xét hàm số

2

2 )

t t t

f t  2  2 t với

2 2

2 /

) 2 (

4 4 3 ) (

t t t

3

2 0

) (

1 3

1 3

-2 3

0

-1

2

 Vậy GTLN P 2 khi x  y1.

Thí dụ 9 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện 2

1 y x x( y) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

) (

 Xét hàm số

1

3 2 ) (

3 4 2 )

2 /

f

 Vậy GTNN

2

1)1

1 (  

_ -2

2

1 2

1

25 6

-1 3

_

f(t)

f / (t) t

a a

b b

a a

b b

a ab

b a a

b b

a

2 2 2 2

1 2

) 2 ( 1 1 1 2

 Đặt

2

50

15442221

a t

2 2 2 3

3 3

a a

b b

)(

P xy

7 '

2 2 1

t t P

t

 



 ,

+

5 2

-23 4

 Vậy GTLN là 1

4 và GTNN là

2

15.

Thí dụ 12 Cho các số thực a b c, , thỏa abc 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2 4 4

2 2 4 4 2 2 2

2 4 4

2 2 4 4 2 2

) )(

( ) )(

( ) )(

(

a c a c

a c a c a c c

b c b

c b c b c b b

a b a

b a b a b a P

11

t t t

2 /

) 1 (

2 2 ) (

x t

f

3

2 ) (

3

1 ) (

3

1 ) (

Thí dụ 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x1, y1 và 3(xy)4xy.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

1 3

-15

2 15

0

1 4

0

0 _

1



y x

 Suy ra

xy y

x y x xy y

x

2 3

3

16 8 4

9 )

(  3 2  a

a a a a f

2

3(382

93)(

a a

a a a a a f

a 3

4

)(

12113

 Dựa vào BBT ta suy ra

3 , 1 4

y x

y x

Thí dụ 14 Cho các số thực không âm x y z, , thoả mãn x2y2z2 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xy yz zx 5

( 2 3

 Ta có ' ( ) 5 5 0

2 3

 Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó

3

14)3()

Thí dụ 15 Cho hai số thực x thỏa mãn 0x1, 0 y1 và xy4xy

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

0 3 1 ) 1 ( 1

0 ) 0 ( 1

0 4

' 2

t s

t h

t h

t t

3

14

1 32

9 0

9 32 ) (

 Suy ra: Mmax

4

Lời giải

t M'(t)

2 2

uv

a v u

a v u

a v u

u, v là nghiệm của phương trình   0

0.1

3

y x y

 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6

 Cho x y z, , thuộc 0; 2và x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của Ax2 y2 z2

II XÂY DỰNG GIÁN TIẾP HÀM SỐ f t( ) BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC:

Phương pháp chung:

 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t

thích hợp

 Khả năng biến đổi được về hàm f(t)là khó buộc phải sử dụng bất đẳng thức

 Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức điều kiện dấu bằng xảy ra phải đúng

 Cần thuộc một số bất đẳng thức phụ để có thể đưa về theo một đại lượng thích hợp nào đó theo ý

mong muốn

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối A và B

Thí dụ 1 (Khối B 2009) Cho các số thực thay đổi thỏa (xy) 3  4xy 2

2 )

(

2 2 2 2 2

)

2 2

1()

+

1 2

9 16

 Đặt tabbcca , điều kiện

3

13

)(

ca bc ab

ca bc ab

khi (1;0;0) và các hoán vị 

Thí dụ 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3

Tìm GTLN của biểu thức P3(a2b2c2) 4 abc

Lời giải

 Giả sử

2

3 1

0 abc c

 Ta cóP3(ab)26ab3c2 4abc 3(3c)23c2 2(3c)ab

2 2

2

2 ) 3 ( 2 3 ) 3 (

2

2

3 ) 3 ( 2 3 ) 3 (

3)

xyz z

 Xét hàm số

t t t

t

t t

t f

3

1 ( )

 f t f P

Thí dụ 5 (Khối A 2003) Cho các số đương x y z, , thỏa xy z 1

_

f(t)

f / (t) x

13

3 2

Lời giải

 Ta có

2 3 2 3 2

3 ) 3 ( 3 1 1 1 )

y x z y x P

 Xét hàm số

t t t

t

t t

t f

9

1()

0 ) (

c a a

b a a

c c ac a

b b ab a

3

c b a

c b a

_

f(t)

f / (t) x

0

9 4

12

0

2 _

 Suy ra P  f(2)12

 Vậy GTLN P 12 khi a0;b1; c2 và các hoán vị 

Thí dụ 7 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc 0; 2

a c

2 0

2 0

2

) 2 (

1 )

( 1

4

1 ) ( 1

b c

b

a c

 Suy ra

4

1)2(

11

P

 Xét hàm số

4

1 ) 2 (

1 1

b

)2(

22

)(

b b

b f

x f







1 2

1 2

1 ) (

2 0

c b

3

10

)(

_

f(y)

f / (y) y

Thí dụ 10 Cho các số đương x y z, , thỏa xy z 3

Tìm GTLN của biểu thức

( 1)( 1)( 1) 1

1 )(

1 )(

54 1

y x P

 Đặt t xyz1 1

3

) 2 (

54 2







t t P

)2(

542

)(







t t t

f với 1 t

) 2 (

162 2

) (

f  f/(t)0t1; t4

 Suy ra

4

1 ) 4 ( 

z b x

2

1 1

1 2 1

1 1

1 1

1 1

1

c b

a c

b a

0

4 _

 Xét hàm số f(t) t 2  2 1 t

1

1 2 2 ) (

f

 Suy ra

2

3 ) 2

1 ( 

( ) (

3 a b c  abc a b c a b c a bb cc aab bc ca

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 3

2 2 3

2 2 3

b a a c ca c

c b bc b

b a ab a

 Đặt t x2  y2 z2



t

t t z y x

z y x z

y x

P

2

9 )

( 2

) (

9

2 2 2

2 2 2 2

t f

2

92

1)(    với 3 t

/ 2

2

9 1 ) (

t t

 Suy ra

4

1 ) 4 ( 

1 2

t

f / (t) f(t)

Thí dụ 13 Cho các số không âm x y z, , thỏa x  y z 0

3 3 3

3 3 3

64 ) ( 64 ) ( ) (

16 4

a

z z

a a

z y

x z

y x

z y x

f    với 0 t 1 /  2 2

) 1 ( 64 3 )

9

10

)(

2 2 2 2 2 2

y x

x

2

1 2

1 2

2 2

0

6481

1

 Xét hàm số

t

t t

2)(

t t t

Thí dụ 15 (Khối A 2011)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x y x, z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a   

2 1

1 1

t P

2 2

2

 Xét hàm số

t t

t t f

9 ) 1 2 ( 3 ) 3 4 ( 2 )

t t t

t t

Thí dụ 16 (khối D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 42y 42 2xy 32

)(12)(

   

2

)1(27)

1(26227)

(

2

6

2 2

2 2 2

x x z

y x x z y

Bài 4: Cho các số dương x,y,z thỏa 21xy2yz8zx12 Tìm GTNN của biểu thức

z y x

b

x

a 1;  2;  3, bài toán đưa về tìm GTNN Pabc với

72

42

7 2

14 2 2

7 2 2

11 7

2

14 2 2 7

2

14 14 4 2

a

ab a

a ab

a a

a b a

a b a

a a b a

(

t t

t t

3 3 3

z y x z y x

z y x P

y b





z y x

z c

f

Bài 6: Cho các số dương x,y,z thỏa (x yz)3 32xyz Tìm GTLN của biểu thức

4

4 4 4

) (x y z

z y x P

zx yz xy

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

4

4 4 4

) (x y z

z y x P

zx yz xy

9

1 7

1 ) (

zx yz xy

z z

, ,

(

9 ) (

zx yz xy z y x

xyz z

y x P

,,

z

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN

GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể

hiện trong các tính chất sau

1 Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của G f và G g

2 Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía trên G g

3 Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía dưới G g

Nhận xét 1

1 Phương trình (1) có nghiệm  G f và G g có điểm chung

2 Phương trình (1) vô nghiệm  G f và G g không có điểm chung

3 Phương trình (1) có k nghiệm  G f và G g có k điểm chung

4 Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt  G f và G g có k điểm chung khác nhau

Nhận xét 2

1 Bất phương trình (2) có nghiệm  có điểm thuộc G f nằm ở phía trên G g

2 Bất phương trình (2) vô nghiệm  không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía trên G g

3 Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi xD  toàn bộ G f nằm ở phía trên G g

Nhận xét 3

1 Bất phương trình (3) có nghiệm  có điểm thuộc G f nằm ở phía dưới G g

2 Bất phương trình (3) vô nghiệm  không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía dưới G g

3 Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi xD  toàn bộ G f nằm ở phía dưới G g

thì G g có phương trình ym nên G g là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ 0; m

 Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ G g trên D bằng việc lập BBT của hàm số y f x 

trên D Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”

Thử lại, ta thấy x 0không thỏa (2) Vậy f ' x 0 vô nghiệm

Do f' x 0 vô nghiệm  f ' x không đổi dấu trên , mà f ' 0   1 0

Thí dụ 2 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

 Lập BBT của hàm số trên trên D Ta có:  

4 3 '

 Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x   1m 10.

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Thí dụ 3 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

 Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  9

2

m  

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Thí dụ 4 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

 Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình  1 có nghiệm trên 0; 6 2 62 64 m3 26.

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Thí dụ 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D'  3;3

 Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2

t  t m (2) Phương trình (1) có nghiệm x 1; 4 Phương trình (2) có nghiệm t 3;3 

 Xét hàm số   2

4 4

y f t t  t với t 3;3 Phương trình  2 có nghiệm t 3;3  đường thẳng ym có điểm chung với phần đồ thị hàm số y f t  vẽ trên  3;3

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo

ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ tìm được Cụ thể

 Khi đặt tu x ,xD, ta tìm được tD' và phương trình f x m  ;  0 (1) trở thành g t m  ;  0 (2) Khi đó (1) có nghiệm xD  (2) có nghiệm tD'

 Để tìm miền giá trị của t ta nên lập BBT của hàm số tu x  trên D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số)

 Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t Tức là mỗi

giá trị tD' thì phương trình u x t có bao nhiêu nghiệm xD ? (có thể xem là một bài toán nhỏ về xét sự tương giao)

Thí dụ 6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D'  5;5

 Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2

14

t  tmt  t 14 m

t

  (2) Phương trình (1) có nghiệm x   2;3 Phương trình (2) có nghiệm t 5;5 



 Dựa vào BBT ta suy ra:

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D' 0; 2

 Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:   2

m t  t  t 

222

t t

m t

Thí dụ 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x

 Xét hàm số   2

y f t   t  t với t 0;1 Phương trình  2 có nghiệm t 0;1 đường thẳng ym có điểm chung với phần đồ thị

sốy f t  vẽ trên 1; 2

Lập BBT của hàm số y f t  trên D' Ta có: f ' t  2t  1 0 ,  t 1; 2

 

 (2)

x t

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D ' 0;3

 Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: 2

mt  t (2)

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   2; 4 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với

mọi t 0;3

 Xét hàm số   2

4 10

y f t t  t với t 0;3 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t 0;3 đường thẳng ym nằm hoàn toàn ở phía

 Dựa vào BBT ta suy ra:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   2; 4 m 10 

Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  

t  với x   Tập giá trị của ẩn phụ t khi x   là D ' 0; 

 Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:

trên phần đồ thị hàm sốy f t  vẽ trên 0; 

 Lập BBT của hàm số y f t  trên D' Ta có:  

2 2 2

 Dựa vào BBT ta suy ra:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x    m 1 

Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

u   

 Phương trình  2 có nghiệm 1;

2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   4;6

Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 2 x  4 x a

x  m  4 x   0

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3 x 1     4x  x 2  2m 1   0

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x   3;0

x 2  2x2m 1 x    2  2x m 1   0

2) Bất phương trình f x  a có nghiệm x  D  a  M

Bất phương trình f x  a có nghiệm x  D  a  m

Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x 1  4 x a

3) Bất phương trình f x  a nghiệm đúng với mọi x  D  a  m

Bất phương trình f x  a nghiệm đúng với mọi x  D  a  M

Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   2; 2

Bài 4: Cho phương trình x  2  x 2  x 2  x 2  5m 1   0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình  2 2  4 2 2

m 1 x   1 x   2  2 1 x   1 x   1 x  (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

Bài 6: Cho phương trình 2 sin x 4 cos x4 cos 4x2s in2xm0 (1)

-Hết -