SỬ DỤNG ĐH ĐỂ GIẢI PT, BPT, HPT CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1... Vậy phương trình * vô nghiệm.

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho hàm số yf x  liên tục trên tập D

1 Phương trình f x m có nghiệm x D

x D f x m x D f x

2 Bất phương trình f x m có nghiệm x D

 

min

x D f x m



3 Bất phương trình f x  m có nghiệm đúng với

x D f x m



4 Bất phương trình f x m có nghiệm x D

 

max

x D f x m



5 Bất phương trình f x  m có nghiệm đúng với

x D f x m



II PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao

cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

có nghiệm ta làm như sau:

1 Biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng:

   

f x g m ( hoặc f x g m f x ;   g m )

2 Tìm TXĐ D của hàm số yf x 

3 Lập bảng biến thiên của hàm số yf x  ở trên

D

4 Tìm min  ;max  

x D f x x D f x

5 Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra

giá trị m cần tìm

Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa các

biểu thức phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ:

+ Đặt t x ( x là hàm số thích hợp có mặt

trong f x ) 

+ Từ điều kiện ràng buộc của x D ta tìm điều

kiện t K

+ Ta đưa PT, BPT về dạng f t  h m  ( hoặc

   ;    

f t h m f t h m )

+ Lập bảng biến thiên của hàm số yf t  ở trên

K

+ Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán

III MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(B-06) Tìm m để phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt

2

x mx  x

Giải:

x mx  x

2

2

1

2



 

 Xét phương trình  *

+ x 0 0.x1, phương trình này vô

nghiệm Nghĩa là không có giá trị nào của m để

phương trình có nghiệm x 0 +x 0 3x 4 1 m

x

     Ta xét hàm số

x

   trên tập 1; \ 0 

2





Ta có f x'  3 12 0

x

   với 1; \ 0 

2

   

suy ra hàm số f x  3x 4 1

x

   đồng biến trên

 

1

2





 

1

x f x x x

x

x

   

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x 

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f x  3x 4 1

x

   và đường thẳng

y m trên miền 1; \ 0 

2

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán là 9

2

m 

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình

m x2 2x 2 1x2 x0 có nghiệm thuộc 0;1  3

Giải:

Đặt t x2 2x2  x2 x  t2 2

x f’(x)

f(x)

1/ 2

 

+ +



9 2

Khi đó bất phương trình trở thành:

 1 2 2

m t  t (*)

x



Ta có bảng biến thiên :

Từ đó ta có 1 t 2, từ (*) suy ra

2 2 1

t m t





 (1) Xét hàm số  

2 2 1

t

f t

t





 trên tập1; 2

Ta có    

2

2

1

t

f t

t

 với  t 1; 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f t 

Bất phương trình đã cho có nghiệm x  0;1 3

 bất phương trình  1 có nghiệm t 1; 2

     

1;2

2

3

Ví dụ 3.(A-08) Tìm m để phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt

4 2x 2x2 64  x2 6 x m m   

Giải

Điều kiện: 0 x 6

Xét hàm số f x  4 2x 2x2 64  x2 6 x

trên tập 0;6

Ta có

  2 14 2 12 2 6 14 2 6 12

  1  34 1  12





 3  3

2

2x 6 x 2x 2 6x x 6 x 2x 6 x

ta có

0

với  x 0;6

Ta có bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

y m trên miền 0;6

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán là 2 6 2 64  m3 2 6

Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh rằng với mọi giá trị

dương của tham số m, phương trình sau có 2

nghiệm thực phân biệt:

x22x 8 m x  2 Giải: Điều kiện: do m 0 x2 Ta có:

2

x  x  m x

x 2 x 4 m x 2

   2  

2

x





 



x

t’

t

0

+

-1 0

1

2

t

f’(t)

f(t)

1

+

2

2 3 1

2

x f’(x) f(x)

0

-+

6 2

0

3 2 6 

412 2 3 

Nhận thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm

2

x  , để chứng minh khi m 0 phương trình đã

cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương

trình  * luôn có một nghiệm thực x 2 khi m 0

Xét hàm số f x   x 2 x42 x36x2 32

trên tập 2; 

Ta có f x'  3x212x0 với  x 2

3

6 32

x f x x x

   

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x 

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm

của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng y m

trên miền 2; 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi m 0 thì

phương trình (*) luôn có 1 nghiệm x 2

Vậy với m 0 thì phương trình đã cho luôn có 2

nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x22x 4 x2 2x4 m

Giải:

Vì x22x 4 x12  3 3 0,  x nên

TXĐ: D 

Xét hàm số f x   x22x 4 x2 2x4 trên



Ta có:

f x

4 2 3 4 2 2 3 4 2 8 2 2 4

x42x34x2 2x3 4x2 8x x 22x4

0

x

Thay x 0 vào phương trình (*) được: 1 = - 1 Vậy phương trình (*) vô nghiệm Suy ra f x chỉ mang' 

1 dấu (không đổi dấu), có f ' 0  1 0

 

Ta có

lim 2 4 2

x

x

 



4 lim

x

 



lim 2 4 2

x

x

  



4 lim

x

  



Ta có bảng biến thiên của hàm số f x 

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

y m trên  Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm  2m2

Ví dụ 6 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2





 Giải:

Ta có: x2  3x 4 0     1 x 4

Hệ phương trình đã cho có nghiệm

 x3 3 x x m 215m0 có nghiệm x   1; 4

    có nghiệm x   1; 4

Đặt  

3

3





Ta có

x

f’(x)

f(x)

2

+

0

x f’(x) f(x)

-+

-2

2

 

2

2

'

f x







f x'   0 x0;x2

Ta có bảng biến thiên :

  2

15

f x m  m có nghiệm x   1; 4

    2

1;4

max f x m 15m



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

16 m 1

   

Ví dụ 7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin3xcos3x m

Giải

sin xcos x m  sinxcosx 1 sin cos x x m

Đặt sin cos 2.sin

4

t x x x 

 , 2 t 2 Khi đó: tsinxcosx t2 sinxcosx2

2 1 sin cos

2

t

Phương trình trở thành:

2

3

1

t

t   m  t  t m

Xét hàm số   1 3 3

f t  t  t trên tập  2; 2

Ta có:   3 2 3

'

f t  '  0 3 2 3

Ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf t  và đường thẳng

y m trên  2; 2

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm   1 m1

Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau có

nghiệm: mx x 3  (1)m 1 Giải:

Đặt t x 3 0  x t  Khi đó bất phương2 3 trình trở thành:

m t    t m  m t 22 t 1

2

1 2

t

m t



Xét hàm số   2

1 2

t

f t t





 trên 0; 

Ta có:  

2

2 2

'

2

f t

t





f t   t  t    t

 

1 1

2

t

f t

t t

   





Ta có bảng biến thiên của hàm số f t 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (*) có nghiệm 0

t  

    0;

3 1 max

4





Ví dụ 9.(A-07) Tìm m để phương trình sau có

nghiệm: 3 x1m x 1 24 x21 Giải:

Điều kiện: x 1

3 x1m x 1 24 x21

4

m

1

x t x





 , khi đó phương trình (1) trở thành: 2

3t 2t m

   (*)

x

f’(x)

f(x)

-1

+

4

-4 2

0

-16

t

f’(t)

f(t)

1

0

1

t f’(t) f(t)

0

-

3 1 4



1 2

 

0 +

0

Ta có x 1 t0 và 4 2

1

t

x

 , vậy

0 t 1

Xét hàm số f t  3t22t trên tập 0;1

3

f t  t f t    t   t

Ta có bảng biến thiên của hàm số f t 

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao

điểm của đồ thị hàm số yf t  và đường thẳng

y m trên miền 0;1

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có

3

m

Ví dụ 10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1 x 8 x 1x 8 x m

Điều kiện:   1 x 8

Đặt t 1 x 8 x

t

  với  1 x8

2 1x  2 8 x   x 1 8 x

7

1 8

2

Ta có bảng biến thiên:

Từ đó dẫn đến 3 t 3 2

Có t 1 x 8 x t2  1x 8 x2

2 9

1 8

2

t

    , phương trình đã cho trở

thành:

2 9 2

t

t  m  t22t 9 2 m

Xét hàm số f t  t2 2t 9 trên tập 3;3 2 

Ta có: f t'  2t 2 0 với  x 3;3 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x 

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf t  và đường thẳng 2

y m trên 3;3 2 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có

2

IV CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm m để các phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình sau có nghiệm:

1)

5

15 10



   





 2) 4 x413x m x  1 0 có đúng một nghiệm 3) sin6xcos6x m sin 2x

4) cos 3 - cos 2x x m cos -1 0x  có đúng 7 nghiệm thuộc ; 2

2





5) 4x 6 x x2 2x m nghiệm đúng với mọi x   4;6

6) x 9 x   x29x m 7) x 3 2 x 4  x 6 x 4 5 m có đúng hai nghiệm thực phân biệt

2

x x m x có đúng 2 nghiệm

;

12 2

x   

9) Tìm m nhỏ nhất để bất phương trình sau đúng với

0;1

x

  :m x 2 x1 x2 x 1

t

f’(t)

f(t)

0

1 0

1

0 +

1 3

x

t’

t

-1

-3 3

7

0 +

3 2

t f’(t) f(t)

3

6

3 2

+

9 6 2 