MỘT SỐ TÍNH CHẤT OXY 2017

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC SƠ CẤP 1 Tính chất 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, H là trực tâm.. Điểm H' là giao điểm của AH với đường tròn OÞ H' đối xứng với H qua BC... 4

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC SƠ CẤP 1) Tính chất 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm Điểm H' là giao điểm

của AH với đường tròn (O)Þ H' đối xứng với H qua BC.

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có: A1 =C1 (cùng phụ với ABC )

+ Ta có:  



 

' 2

sdBH

'

HCH

Þ D cân tại CÞ BC là trung trực của đoạn

HH'Þ H' đối xứng với H qua BC

2 1

1

H

H'

C B

A

O

2) Tính chất 2: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, kẻ đường kính AA', M

là trung điểm BCÞAH =2OM

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có: ABA =' 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường

tròn tâm O)ÞBA^BA'

+ Mặt khác: BA ^CH ®BA CH' (1)

+ Chứng minh tương tự ta cũng cóCA'BH (2)

+ Từ (1), (2)ÞBHCA' là hình bình hành, mà M là

trung điểm BCÞ M là trung điểm A'HÞ OM là

đường trung bình của DAA H' ÞAH =2OM

M H

A'

C B

A

O

3) Tính chất 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), BH và CK là hai đường cao của

ABC

D ÞAO ^KH

Hướng dẫn chứng minh:

+ Kẻ tiếp tuyến   

2

sdAC

+ Mà ABC = AHK (do KHCB nội tiếp)

Þ = , mà hai góc này ở vị trí so le

trongÞAx HK Lại có Ax ^AO (do Ax là tiếp

x

H A

O

4) Tính chất 4: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp DHBC Þ O và I đối xứng nhau qua BC

Hướng dẫn chứng minh:

+ Gọi H' là giao điểm của AH với đường tròn

(O)Þ tứ giác ACH'B nội tiếp đường tròn (O)Þ O

đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp DBH C'

+ Mặt khác H và H' đối xứng nhau qua BC (tính chất

1)Þ DHBC đối xứng với DH BC' qua BC, mà O,

I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp DH BC' và

HBC

D Þ I, O đối xứng nhau qua BC

I

H

H'

C B

A

O

5) Tính chất 5: (Đường thẳng Ơ-le) Tam giác ABC, gói H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng

tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Þ OH =OA OB++OC vàOH = 3OG

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta chứng minh được AH =2OM

Ta có:

2

OA OB++OC =OA+ OM =OA +AH =OH

+ Do G là trọng tâm DABC

      

    

(Ba điểm O, H, G thẳng hàng)

M G H

A'

C B

A

O

6) Tính chất 6: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E theo thứ tự là chân đường

+ Ta có D là trung điểm HH' (tính chất 1), M là trung

điểm HA' (do HCA'B là hình bình hành - tính chất

2) Theo phép vị tự ta có:

( )

( )

1

;

2

'

:

'

H

V

÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷÷

ç

ìï =

ïïí

ïïî .

+ Ta có 2 điểm A', H' thuộc đường tròn ngoại tiếp

ABC

D Þ 2 điểm M, D thuộc đường tròn (C') là ảnh

của đường tròn (C) tâm O, qua phép vị tự 1

; 2

H

V

÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷÷

ç

(1)

+ Chứng minh tương tự, ta có N, E thuộc đường tròn

(C') là ảnh của đường tròn (C) tâm O, qua phép vị tự

1

;

2

H

V

÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷÷

ç

(2)

+ Từ (1), (2)Þ DMEN nội tiếp (C')

H

A' H'

D

E N

O A

B

7) Tính chất 7: Tam giác ABC, gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường

tròn nội tiếp DABC , AI cắt đường tròn (O) tại DÞDB =DI =DC

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có: I1 =A1+B1 (do I là góc ngoài1 DABI )

+ Mà B1 = B2 (do BI là phân giác DABC),

 

1 2

A =A (do AI là phân giác DABC ), mà

2 3 2

sdBC

1 2 3

Þ = + = Þ D cân tại

DÞDI =DB (1)

+ Ta có: A1 =A2 ÞBD =DC ÞBD =DC (2)

+ Từ (1), (2)ÞDB =DI =DC

Suy ra: B, I, C cùng thuộc đường tròn tâm D, bán

kính ID.

3 2

1 1

2 1

D

I

B

A

C O

8) Tính chất 8: Tam giác ABC, gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của

ABC

D Gọi H là trực tâm DABC Þ H là tâm đường tròn nội tiếp DDEF

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có tứ giác BDHF nội tiếpÞB1 =D1 (1)

+ Tứ giác ECDH nội tiếpÞC1 =D2 (2)

+ Mà B1 =C1 (cùng phụ với BAC ) (3)

Từ (1), (2), (3)ÞD1 =D2 ÞDH là phân

giác của DDEF (*)

+ Chứng minh tương tự ta có EH, FH là các

tia phân giác của DDEF (**)

+ Từ (*), (**)Þ H là tâm đường tròn nội tiếp

DEF

2 1 1

1 H

F

E A

B

9) Tính chất 9: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E là giao điểm của đường tròn

(O) với các đường cao qua A và CÞ OB là trung trực của ED

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có  



 

1 1

C =A (cùng phụ với ABC )ÞE1 =D1

EBD

Þ D cân tại BÞBE =BD (1)

+ Ta có: OE =OD (bán kính đường tròn (O)) (2)

Từ (1), (2)Þ OB là trung trực của ED

1 D

E

O

1 A

B

C 1

10) Tính chất 10: Tam giác ABCcân nội tiếp đường tròn tâm I, G là trọng tâm DABC Gọi D

là trung điểm AB, E là trọng tâm DADC Þ I là trực tâm DDEG

Hướng dẫn chứng minh:

+ Gọi F, H, K lần lượt là các trung điểm BC, AC,

ADÞ E = DH ÇCK.

+ Do G là trọng tâm DABC ÞG =FA CDÇ

+ Ta có: 2

3

GE AB

üïï

K

E I D

A

11) Tính chất 11: Trong một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc, độ dài đường cao

bằng độ dài đường trung bình của hình thang đó

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có: MN =NI +IM

+ Do ABCD là hình thang cân, AC ^BDtại

IÞDAIB,DDIC vuông cânÞIN, IM là các đường

cao tương ứng đồng thời là trung tuyến

;

2

12) Tính chất 12: Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, BC của hình vuông

ABCDÞAN ^DM

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có DABN = DDAM ÞA1 =D1

+ Mà   0   0

AHM

Þ D vuông tại HÞAN ^DM.

13) Tính chất 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =2AD, M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 4AM ÞDM ^AC.

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có:   0

+ Mà

+ Thay vào (1)   0

Þ + = Þ D vuông tại HÞAC ^DM

14) Tính chất 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi P, Q lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng BH, AHÞAP ^CQ

Hướng dẫn chứng minh:

+ Ta có: PQ là đường trung bình của

D Þ  , mà AB ^AC ÞPQ ^AC

ÞQ là trực tâm DAPC ÞAP ^CQ