chuyen de so phuc co loi giai

CÁC KHÁI NIỆM1... Bài tập tự luyện... Hãy biểu diễn số phức z trongmặt phẳng phức.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC II... Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.. Vậ

I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC I.1 CÁC KHÁI NIỆM

1 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a bi+ , trong đó a b, ∈ ¡ ,i2 = − 1 được gọi là một số phức

Đối với số phức z a bi= + , ta nói alà phần thực, blà phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là £

Chú ý:

 Mỗi số thực ađược coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a a= + 0i

 Như vậy ta có ¡ ⊂ £

 Số phức bi với b∈ ¡ được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)

 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.

2 Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:



3 Số phức đối và số phức liên hợp

Cho số phức z a bi= + ,a b, ∈ ¡ ,i2 = − 1

 Số phức đối của z kí hiệu là −z và − = − −z a bi

 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z a bi= −

4 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M a b( ; )trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi= + .

5 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi= + được biểu diễn bởi M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OMuuuur được

gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | |z

Vậy: | | |z = OMuuuur| hay | |z = a2 +b2

Nhận xét: | | |z = − =z| | |z .

I.2 CÁC PHÉP TOÁN

1 Phép cộng và phép trư

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức

 Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.

 Cho số phức z a bi= + ,a b, ∈ ¡ ,i2 = − 1 Ta có:z z+ = 2a; z z = | |z 2

3 Phép chia hai số phức

Với a bi+ ≠ 0, để tính thương c di

a bi

+ + , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a bi+

Cho số phức z a bi= + ,a b, ∈ ¡ ,i2 = − 1

 Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ =z z

 Tính chất 2: Số phức z là số ảo ⇔ = −z z

 Cho hai số phức z1 = +a1 b i z1 ; 2 =a2 +b i a b a b2 ; , , , 1 1 2 2 ∈ ¡ ta có:

I.1.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC

1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai: az2 + + =bz c 0 (a≠ 0) có ∆ = −b2 4ac

 TH1: a, b, c là các số thực

 Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

2

b z a

a

− ± −∆

=

 TH2: a, b, c là các số phức

 ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép thực z 2b

 Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức với hệ số thực luôn có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp

 Khi b là số chẵn ta có thể tính ∆ ' và công thức nghiệm tương tự như trong tập hợp số thực

 Gọi z z1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + + =bz c 0 (a≠ 0)a, b, c là các số thực hoăc số phức.

Khi đó ta có: 1 2

1 2

b

z z

a c

z z a

 Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức

 Để xác định phần thực, phần ảo và môđun của số phức zthì ta phải sử dụng các khái niệm liênquan đến số phức và các phép toán trên tập hợp số phức để biến đổi số phức z a bi a b= + ( ; ∈R Khi)đó: z có phần thực bằng a; phần ảo bằng b z; = a2 +b2

 Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực

B Bài tập minh họa

Bài 1: Cho số phức 3 1

 Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được Qua bài tập này mục đích giúp học sinh

nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán đơn giản về phép cộng, phép trừ số phứcvà phép tính luỹ thừa của một số phức

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

 Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi như sau: Tìm phần thực,phần ảo của số phức và tính mô đun của số phức để khắc sâu cho học sinh các khái niệm:phần thực, phần ảo, môđun của số phức

 Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập:

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết:

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng − 2

và có môđun: 2 ( )2

d) Ta có:

8 11

Vậy z có phần thực bằng − 1; phần ảo bằng 16; z = − ( 1) 2 + 16 2 = 257

Bài 4: Tính biểu thức sau:

 Nhận xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trên theo cách phân tích lũy thừa của i như ý a).

Tuy nhiên, việc sử dụng hằng đẳng thức ở đây ta sẽ tính toán nhanh hơn và thuận tiện hơn

c) Ta có C là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu làu1 = 1, công bội q= + 1 i

Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

Để tính biểu thức ( )11

1 i+ giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính một cách thuận tiện nhất.Trong quátrình giảng dạy, chúng tôi hướng dẫn học sinh làm theo một trong hai cách sau:

 Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ bản

Phân tích ( )11 (( )2)5( ) ( ) (5 )

1 +i = 1 +i 1 + =i 2i 1 + =i 32i + 32i = − + 32 32i

 Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao

Phân tích 1 2 1 1 2 cos sin

Khi đó (1 )11 ( )2 11 cos11 .sin11 32 32

Thay vào biểu thức, ta có: C= 32 33 + i

 Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng biến đổi biểuthức lượng giác và

công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp học sinh ôn lại các kiến thức về công thức lượnggiác, về cấp số nhân

Bài 5: Tính tổng

Cho số phức z a bi= + , a b, ∈ ¡ Tìm căn bậc hai của z

 Nếu z= 0 thì zcó một căn bậc hai là: 0

 Nếu z a= > 0thì z có hai căn bậc hai là: ± a

 Nếu z a= < 0 thì z có hai căn bậc hai là: ±i a

 Nếu z a bi b= + , ≠ 0

 Gọi z1 = +x yi (x y, ∈ ¡ ) là căn bậc hai của z

 Khi đó ta có:

 Giải hệ tìm x, y Từ đó kết luận số căn bậc hai của z

Chú ý: Mỗi một số phức khác 0 luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

B Bài tập minh họa

Bài 1:Tìm căn bậc hai của số phức sau:

a) w= + 4 6 5i

b) w= − − 1 2 6i

Lời giải:

a) Gọi z= +x yi x y( , ∈ ¡ ) là một căn bậc hai của

x y x y

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1 = + 3 i 5;z2 = − − 3 i 5

b) Tương tự, ta có số phức w= − − 1 2 6i có hai căn bậc hai là:

z1 = 2 −i 3; z2 = − 2 +i 3

II.1.3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính biểu thức sau:

 Nếu trong điều kiện đề bài chỉ có duy nhất một kí hiệu z hoặc z thì ta quy

về bài toán thực hiện phép tính

 Nếu trong điều kiện đề bài có nhiều hơn một kí hiệu z hoặc z hoặc có kí hiệu môđun ta giải theophương pháp sau:

 Gọi z a bi , a, b = + ∈ ¡

 Sử dụng giả thiết bài toán và khái niệm về số lập hệ hai phương trình với hai ẩn a,b

 Giải hệ phương trình lập được trên tập hợp số thực và kết luận

 Có học sinh khá làm ý 1 bằng cách gọi z = a bi , a, b + ∈ ¡ Tôi đã phân tích cả 2 cách làm và các

em nhận thấy ngay là việc quy về thực hiện phép toán sẽ đơn giản hơn

II.2.2 Bài tập minh họa

Tìm số phức z biết:

a) ( 1).(2 ) 3

2 2

c) | |z = 5 và (z i+ ) 2 là số ảo

d)|z− = 1| 1 và (1 +i z)( − 1) có phần ảo bằng 1

e) z2 + 2z là số thực và z 1

⇒ = − (thỏa mãn điều kiện)

b) Gọi z = a bi , a, b + ∈ ⇒ ¡ z a bi= − Từ giả thiết ta có:

2

(a bi+ ) + − (a bi) 0 = ⇔ (a2 − + + −b2 a) ( 2ab b i− ) = 0

Để (z i+ ) 2 là số ảo thì a2 − + (b 1) 2 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số phức cần tìm là: z= ± + 2 i z; = ± − 1 2i.

d) Gọi số phức z cần tìm dạng: z a bi , a, b = + ∈ ⇒ ¡ | |z = a2 +b2 Từ giả thiết ta

có:|z− = ⇔ 1| 1 (a− 1) 2 +b2 = 1 (1)

(1 +i z)( − = + 1) (1 i a bi)( − − = − + + − − 1) a 1 b (a b 1)i có phần ảo bằng 1 khi a b 1 1 − − = (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số phức cần tìm là: z= 2; z= − 1 i

e) Gọi số phức z cần tìm dạng: z = a bi , a, b + ∈ ⇒ ¡ | |z = a2 +b2 Từ giả thiết ta có:

3 sin( )

3 1

b

b b

 Nhận xét: Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm được các khái niệm cơ bản của số phức

như: hai số phức bằng nhau, mođun của số phức, điều kiện để số phức là số ảo, số thuần ảo, sốthực, xác định được phần thực, phần ảo của một số phức, dạng lượng giác của số phức và đặcbiệt là các phép toán và sự cẩn thận khi tính toán là các em có thể biết cách làm và làm đúng

Sau khi học sinh đã làm tốt được dạng toán trên chúng tôi thay đổi đề để bài tập không đơnđiệu và quan trọng là giúp các em có thể linh hoạt để định hướng cách giải khi gặp những bàitập cùng dạng Cụ thể là:

a) Tính mođun của số phức w z 1 i = + +

b) Tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả các số phức vừa tìm được

c) Tìm phần ảo của z hoặc hỏi là | |z = 5 và (z i+ ) 2 là số thuần ảo

d) Tìm phần ảo của z2015

e) Viết dạng lượng giác của z

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn: z= − (1 3 )i 2 +iz. Hãy xác định phần thực, phần ảo của số phức z

Bài 4: Cho | | | 2z = z− 3 +i|và 1− 3 (1( 1)i+ ++ z 3)icó một acgumen bằng

6

π

Hãy biểu diễn số phức z trongmặt phẳng phức

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn: z3là số thực và z = 2

Bài 6: Tìm số phức z thoả mãn:

1 1

II.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC

II 3.1 Phương pháp giải phương trình az2 + + =bz c 0 (a≠ 0)

 Tính ∆ = −b2 4ac

 Dựa vào giá trị của ∆ để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 )

II 3.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

0 1 ( )

1 ( )

 Kĩ năng đặt ẩn phụ để quy phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 sẽ được minh họa trongbài tập sau:

Bài 3: Giải các phương trình:

+) z 0 = không là nghiệm của phương trình

+) z≠ 0 phương trình tương đương với:

6

6 0

t t



 TH1: Kiểm tra z= 0 có là nghiệm của phương trình

 TH2: z≠ 0,chia cả hai vế của phương trình cho z2 ta được:

 Đặt t=z2 + + (a b z) , đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 ẩn t

 Khi giải phương trình đa thức trên tập hợp số phức thực chất chúng tôi đã ôn tập cho học sinh các phương pháp giải phương trình trên tâp hợp số thực

Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn phức z z1 , 2 sau: 12 22

IV CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức

IV.4.1 Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước

A Phương pháp

 Gọi z= +x yi x y R( , ∈ ) ⇒M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ độ

 Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa x và y

 Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau:

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O 0;0 ( ) và bán kính R 1 =

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng tôi thay đổi giả thiết

a z > ⇔x +y > Vậy tập hợp các điểm M là miền ngoài hình tròn tâm O, bán kính R 1 =

Từ đó học sinh có thể tự trình bày lời giải cho bài tập:

b)1 < ≤ →z 2 Tập hợp những điểm M là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm O 0;0 ( ) và bán kính R 1 =

đồng thời nằm trong hình tròn tâm O 0;0 ( ) và bán kính R = 2

Ngoài ra còn có thể giàng buộc thêm điều kiện ( ví dụ phần thực không âm…)

Tập hợp M là đường thẳng có phương trình y= − +x 4

b) Ta có z2 =x2 −y2 + 2xyi nên z2là số ảo x2 y2 0 y x

Nên z i z i+

+ là số thực

0 0

0 (1 ) 0

( ; ) (0;1)

x xy

Từ z− 3i = +z i Gọi A và B là hai điểm biểu diễn các số 3i và − i tức làA 0;3 , B(0; 1)( ) − .

Ta có z− 3i = + ⇔z i MA MB= Vậy M nằm trên đường trung trực của AB tức là M nằm trên đường thẳng

Đặt F1 (0; 1) ; − F2 (0;1)

(*) ⇔MF +MF = > 4 F F = 2

Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F F1 , 2

y x

Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức ω = + (1 i 3)z+ 2 thoả mãn điều kiện

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I(3; 3), bán kính R= 4

II.4.2 Dạng 2 Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước.

A Phương pháp

 Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng toạ độ

 Cho M thuộc và hình biểu diễn của z, ta tìm được giá trị của tham số

 Kết luận số phức z cần tìm

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Cho số phức z m= + (m− 3) ,i m R∈

a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ haiy= −x

b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hybebol y 2

Số phức z m= + (m− 3) ,i m R∈ → điểm biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng toạ độ là:M m; m 3 ( − )

a) Để M nằm trên đường phân giác thứ hai y = − x thì m 3 m 3

m

⇔ =

Bài 2: Cho số phức z a bi a b R= + ,( , ∈ ) Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để:

a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x = − 2 và x 2 = ?

b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng y = − 3 và y 3 = ?

c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2?

c) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2 thì a2 +b2 < 4.

II.4.3 Dạng 3: Chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn của số phức hoặc dùng hình biểu diễn của số phức chứng minh tính chất của số phức.

A Phương pháp: Để chứng minh các điểm biểudiễn cho các số phức thoả mãn điều kiện (T), thông thường ta làm như sau

 Đọc toạ độ các điểm biểu diễn cho các số phức đã cho

 Dựa vào điểu kiện (T), ta qui được bài toán về bài toán hình giải tích trong mặt phẳng

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A, B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương

trình z2 + 6z+ 18 0 = Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân

Trong mặt phẳng toạ độ số phức z1 có biểu diễn là A 3;3( )

số phức z2có biểu diễn là B 3; 3( − )

OAB

V có OA OB= = 3 2nên VABC cân tại O

0 (3;3),0 (3; 3)uurA uurB − →OA OBuuuruuur = → 0 OA OB⊥ nên VABC vuông tại O

Vậy VOAB vuông cân tại O

Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4

1

i i

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B vì 2 2 2

Vậy D biểu diễn số phứcz = − − 1 i

Bài 3 : Cho A, B, C không thẳng hàng biểu diễn số phức z z z1 , , 2 3

a) Trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) z z z1 , , 2 3 thoả mãn z1 = z2 = z3 Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh một tam giác đều ⇔ + + =z1 z2 z3 0

Vì z1 = z2 = z3 →OA OB OC= = →A,B,C thuộc đường tròn tâm O, bán kính R= z1

Để ABC là tam giác đều điều kiện cần và đủ là O phải là trọng tâm tam giác ABC

 Nhận xét: Tương tự giáo viên có thể khai thác thêm các câu hỏi nhằm củng cố cả kiến thức về

hình giải tích trong mặt phẳng như sau:

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

Như vậy qua các bài tập này sẽ giúp các em ôn tập lại một số bài toán hình giải tích trong mặt phẳng

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta có: z w+ ≤ +z w Đẳng thức xảy ra khi nào?

HD:

Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z, w, z w + Ta có: z =OA w, =OB z w, + =OC.Từ OC OA AC≤ + , suy ra z w+ ≤ +z w .

Hơn nữa: OC OA AC= + khi và chỉ khi O, A,C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC Khi O ≠ A ( hay

z 0 ≠ ), điều đó có nghĩa là có số k 0 ≥ để uuurAC kOA= uuur tức làw kz =

( Còn khiz 0 = , rõ ràng z w+ ≤ +z w ).

Vậy z w+ ≤ +z w khi và chỉ khi z 0 = hoặc nếu z ≠ 0 thì tồn tại k∈R+ để w kz =

IV.4.3 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau:

a) z− − (3 4 )i = 2 KD-2009

b) z i− = + (1 i z) KB-2010

c) z i− + +z 2i = 5

d) z− 4i + +z 4i = 10