Về biểu diễn wigner cửa sổ

Tuy nhiên, nguyên lý không chắc chắn đối với giải tích thời gian - tần số đã chỉ ra rằng các điều kiện trên không tương thích, và điều này đã chỉ ra việc phải phát triển một khung cảnh r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Chu Thị Hồng Lam

VỀ BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn: TS Bùi Kiên Cường

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, ngườithầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoaToán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạođiều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn Đồng thời, tôi cũng xin gửilời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trongquá trình nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và cácđồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Chu Thị Hồng Lam

Luận văn tốt nghiệp "Về biểu diễn Wigner - cửa sổ" được hoànthành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS BùiKiên Cường.

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã thừa kếnhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Chu Thị Hồng Lam

Bảng ký hiệu và viết tắt vi

1.1 Một số không gian hàm 1

1.1.1 Không gian Banach 1

1.1.2 Không gian Lp 1

1.1.3 Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫu 3

1.1.4 Không gian Sobolev 6

1.2 Biến đổi Fourier 7

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược 7

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 9

1.3 Biểu diễn Wigner 10

1.4 Lớp phân bố Cohen 15

1.5 Biểu diễn tích phân τ -Wigner 18

1.5.1 Các định nghĩa 18

1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn τ -Wigner 19

1.6 Toán tử giả vi phân 25

2 Biểu diễn Wigner - cửa sổ 30 2.1 Giao thoa trong biểu diễn Wigner - cửa sổ 30

iv

2.1.1 Biểu diễn Wigner - cửa sổ 302.1.2 Giảm bớt giao thoa trong W ig∗ψ 322.2 Toán tử liên kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ 38

S1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ

Rn Không gian Euclide n - chiều

Lp(Rn) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên Rn

C∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω

C0∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

- Tính dương, tức là Qf (x, w) ≥ 0 với mọi x, w.

- Tính chất không trải, tức là Nếu supp f ⊆ I với một khoảng I ⊆ Rdthì Πxsupp Ψ(f ) ⊆ I (Πx là phép chiếu trực giao Rdx × Rd

x), vàtương tự, nếu supp ˆf ⊆ J với một khoảng J ⊆ Rd thì Πwsupp ˆf ⊆ J

Tuy nhiên, nguyên lý không chắc chắn đối với giải tích thời gian - tần số

đã chỉ ra rằng các điều kiện trên không tương thích, và điều này đã chỉ

ra việc phải phát triển một khung cảnh rộng hơn về giải tích thời gian

- tần số để xấp xỉ những yêu cầu trên theo một nghĩa nào đó Một lớprộng hơn của các biểu diễn toàn phương thời gian - tần số được biết đến

vii

là lớp Cohen Dạng tổng quát của lớp Cohen là

- tần số nhằm giảm thiểu hiện tượng này (xem [4]) Lớp Cohen chính làmột cách để lọc của biến đổi Wigner, bởi khi chọn nhân σ phù hợp hiệntượng giao thoa sẽ giảm ([4]) Ở đây, bằng cách cải biên biến đổi Wignerbởi hai biến đổi Wigner - cửa sổ xác định bởi:

Trong công thức (3), ψ đóng vai trò hàm cửa sổ theo biến tần số trongbiến đổi W ig∗ψ

Trong [2], [3], các tác giả đã nghiên cứu về tính chất giao thoa của cácbiến đổi Wigner - cửa sổ và tính chất của các toán tử ẩn liên hệ với cácbiến đổi Wigner - cửa sổ đó Với mong muốn hiểu biết về lĩnh vực toánhọc lý thú này và để thực hiện luận văn tốt nghiệp, được sự hướng dẫncủa tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài Về biểu diễnWigner - cửa sổ

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của một sốbiểu diễn thời gian - tần số và toán tử giả vi phân trong tương thích vớimột số lớp giải tích thời gian - tần số

+ Hệ thống hóa việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễnthời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử giả vi phân tươngthích với một số lớp giải tích thời gian - tần số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một

số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử viphân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tần số đó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử giả viphân

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nướcliên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, giải tíchđiều hòa để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bàibáo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Biểu diễn Wigner - cửa sổ

7 Những đóng góp của đề tài

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về việc giảm hiệntượng giao thoa đối với một số biểu diễn thời gian - tần số và tính chấtcủa một số lớp toán tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thờigian - tần số đó

Một số khái niệm và kết quả ban

đầu

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach là các không gian vectơ địnhchuẩn đầy đủ Điều này có nghĩa là một không gian Banach là một khônggian vectơ V trên trường số thực hay phức với một chuẩn ||.|| sao chomọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ||x − y||) có giới hạntrong V

1.1.2 Không gian Lp

Định nghĩa 1.1.2 Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ

- đại số F trên các tập con của E Họ tất cả các hàm số f (x) có luỹthừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của mô đun khả tích trên E, tức là

Z

E

|f |pdµ < ∞

gọi là không gian Lp(E, µ)

Khi E là tập đo được Lebesgue trong Rk, và µ là độ đo Lebesgue,

1

j=1kT ejk2 < ∞.

Mệnh đề 1.1.5 Mọi toán tử Hilbert - Schmidt đều là toán tử compact

Mệnh đề 1.1.6 Nếu K là toán tử tích phân trên L2(Rn) với nhânK(x, y) ∈ L2(Rn× Rn) thì K là toán tử Hilbert - Schmidt.

1.1.3 Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω là một tập con mở của Rn Không gian véc

tơ C0∞(Ω) bao gồm C∞- hàm trên Ω có giá compact trong Ω Cùng với

tô pô xác định bởi sự hội tụ của dãy:

Dãy ϕj ⊂ C0∞(Ω) được gọi là hội tụ về 0 trong C0∞(Ω), nếu tồn tạimột tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕj ⊂ Ω với mọi j ∈ N và ϕj hội

tụ đều trên K về 0 C0∞(Ω) được gọi là không gian các hàm kiểm tra(trên Ω), Ký hiệu D(Ω)

Giá supp u của một hàm u ∈ L1,loc(ω) được xác định như là phần bùcủa tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, ta có thể viết:

supp u = Ω \ ∪{w mở trong Ω | u|w = 0}

Bổ đề 1.1.8 1) Cho R > r > 0 Tồn tại một hàm χr,R(x) ∈ C0∞(Rn)với các tính chất :

Định nghĩa 1.1.10 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Không gian hàm suy

rộng trong Ω, kí hiệu là D0(Ω).

Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi

Tô pô trên D0(Ω) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên D(Ω)

Định nghĩa 1.1.11 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn)

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S (Rn) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn) nếu

S_ lim

k→∞(λϕk+ µψk) = λϕ + µψ

3 Với mỗi α ∈ Zn+, phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục

Định lý 1.1.13 Không gian S (Rn) là đầy đủ

Định nghĩa 1.1.14 Cho hàm suy rộng f ∈ D0(Rn) Hàm suy rộng fđược gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m vàmột số dương C sao cho

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả cáchàm suy rộng tăng chậm Kí hiệu S0(Rn)

Chú ý 1.1.15

1 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là không gian các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên S (Rn) Nói cách khác, S0(Rn) là khônggian đối ngẫu tô pô của không gian S (Rn)

2 Tô pô trên S0 còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho

fk, f ∈ S0(Rn) , k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 được gọi là hội tụ trong S0(Rn)đến hàm f ∈ S0(Rn), kí hiệu S0_ lim

k→∞fk = f , nếu với mọi ϕ ∈ S, dãy(fk(ϕ)) hội tụ về f (ϕ)

Định lý 1.1.16 Không gian S0(Rn) là đầy đủ

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ f 7−→ Λf là đơn ánh nên ta

có thể đồng nhất f với Λf Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng làcác hàm suy rộng tăng chậm

Ví dụ 1.1.18 Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suyrộng tăng chậm

1.1.4 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.19 Cho −∞ < s < ∞ và u ∈ Lp(Rn), ta định nghĩa

Js là toán tử được xác định bởi

Hs,p(Rn) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng u mà J−su là một hàmthuộc Lp(Rn)

Rõ ràng Hs,p(Rn) là một không gian vectơ nên ta có thể trang bị cho

nó một chuẩn ||.||s,p để trở thành không gian vectơ định chuẩn Trongđó

||u||s,p = ||J−su||p, u ∈ Hs,p(Rn)

Ta thường gọi Hs,p(Rn) là không gian Sobolev bậc s Hiển nhiên H0,p(Rn) =

Lp(Rn) Khi p = 2 thì ta ký hiệu Hs(Rn) thay cho Hs,2(Rn)

Mệnh đề 1.1.22 Giả sử u ∈ S0(Rn) Khi đó

(i) JsJtu = Js+tu,

(ii) J0u = u

Định lý 1.1.23 Jt là một phép đẳng cự từ Hs,p(Rn) vào Hs+t,p(Rn).Nghĩa là,

Định lý 1.1.24 Hs,p(Rn) là không gian Banach tương ứng với chuẩnk.ks,p

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

Định nghĩa 1.2.1 Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(Rn) được xácđịnh bởi

Định lý 1.2.2 Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:

1 Nếu f ∈ L1(Rn) thì ˆf thuộc CL∞(Rn) và lim

|w|→∞| ˆf (w)| = 0

2 Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Svào chính nó và thỏa mãn

F [xαDxβϕ](ξ) = (−Dξ)α(ξβϕ(ξ))ˆvới mọi đa chỉ số α, β

3 Với phép đồng biến đổi Fourier F , xác định bởi

F f (ξ) =

Z

Rn

e2πixξf (x)dx, ξ ∈ Rnmọi hàm ϕ ∈ S(Rn) thỏa mãn

Chú ý: Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu cách khác của định

lý Hausdorff- Young như sau

Đặt Ap = p

1

p0 1p)12 là hằng số Babenko- Beckner Khi đó

k bf kp0 ≤ Adpkf kd, 1 ≤ p ≤ 2 (1.2)

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

Định nghĩa 1.2.5 Cố định một hàm g 6= 0 (gọi là hàm cửa sổ) Khi đóbiến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của một hàm f đối với g đượcđịnh nghĩa bởi

Vgf (x, w) =

Z

Rn

f (t)g(x − t)e−2πit.wdt với x, w ∈ Rn

nếu tích phân đó tồn tại

Ký hiệu Tx là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ x, tức là Tx(y) =

T (x − y) và Mξ là phép xoay xác định bởi Mξu(x) = e2πixξu(x)

Bổ đề 1.2.6 Nếu f, g ∈ L2(Rn) thì Vgf liên tục đều trong R2n và

hVg1f1, Vg2f2iL2

(R 2n ) = hf1, f2i hg1, g2i (1.7)

Z Z

R2n

Vgf (x, w)MwTxγdwdx (1.8)

Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn Wigner W f của một hàm f ∈ L2(Rn)được xác định bởi

Chứng minh Dùng phép thế u = x + 2t trong (1.9) ta thu được

Mệnh đề 1.3.3 Với f, g ∈ L2(Rn), biểu diễn Wigner chéo có các tínhchất sau:

(a) W (f, g) là liên tục đều trong R2n và

kW (f, g)k∞ ≤ 2nkf k2kgk2.(b) W (f, g) = W (g, f ) Đặc biệt W f có giá trị thực

W (TuMηf )(x, w) = W f (x − u, w − η) (1.12)(d) W ( ˆf , ˆg)(x, w) = W (f, g)(−w, x)

(e) Đẳng thức Moyal: Với f1, g1, f2, g2 ∈ L2

(Rn),

hW (f1, g1), W (f2, g2)iL2 (R 2n = hf1, f2ihvg1, g2i

Chứng minh Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.3.2) Phần (b) và(c) là dễ dàng tính được Vì I ˆg = ˆIg, ta có (d) sau khi dùng đẳng thứcParseval

Hơn nữa đẳng thức Moyal tương ứng với quan hệ trực giao của STFT

và ta thu được như sau:

ở đây hằng số 22n triệt tiêu sau khi thế (2x, 2w) → (x, w)

Trong biểu diễn Wigner chéo có một nhân tử tương tự nhân tử củaSTFT trong bổ đề (1.3.2) Đặt Ts là phép đổi tọa độ đối xứng xác địnhbởi TsF (x, t) = F (x + 2t, x − 2t) và đặt F2 biến đổi Fourier theo biến thứhai

Bổ đề 1.3.4 Cho f, g ∈ L2(Rn) Khi đó W (f, g) = F2Ts(f ⊗ g)

Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất giá và mật độ biên củaphân bố Wigner để hiểu tại sao phân bố Wigner lại được coi là biểu diễnthời gian–tần số tối ưu

Tính chất giá Để đơn giản ta xét trường hợp số chiều n = 1

Bổ đề 1.3.5 Giả sử f ∈ L2(Rn)

Nếu supp f ⊆ [a, b] thì W ig (f ) (x, ω) = 0 với x /∈ [a, b]

Nếu supp bf ⊆ [α, β] thì W ig (f ) (x, ω) = 0 với ω /∈ [α, β]

Nhận xét 1.3.6 Ta thấy phân bố Wigner bảo toàn tính chất giá của f

và bf Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của f vì

Vgf phụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì Vgf = e−2πix.ω(f ∗ Mωg∗) (x) làtích chập của f

Tính chất lề

Bổ đề 1.3.7 Nếu f, bf ∈ L1 ∩ L2

(Rn) thìZ

Rn

W ig (f ) (x, ω) dω =|f (x)|2, (1.14)Z

Rn

W ig (f ) (x, ω) dx =

f (ω)b

Định lý 1.3.9 Giả sử f ∈ L2(Rn) Khi đó W ig (f ) (x, ω) > 0 với mọi(x, ω) ∈ R2n khi và chỉ khi f là một hàm Gauss tổng quát dạng

(W ig(f ) ∗ σ) (x, ω) =

Z Z

R2n

W ig(f )(t, η)σ(x − t, ω − η)dtdηđược xem như là giá trị trung bình của W ig(f ) tại (x, ω) Rất khó đểxác định σ để W ig(f ) ∗ σ không âm nhưng nếu σ là hàm Gauss thì lạithoả mãn

(Rn)

b) Nếu ab > 1 thì W ig (f ) ∗ σa,b > 0 với mọi f ∈ L2(Rn)

c) Nếu ab < 1 thì W ig (f ) ∗ σa,b có thể lấy giá trị âm

Tiếp theo là nguyên lí không chắc chắn trong văn cảnh của các hàmsuy rộng trơn

b) Nếu σ ∈ L2 R2n
có giá compact, thì tồn tại f ∈ L2

b) Ngược lại, nếu V là tập có độ đo hữu hạn thì RR

V

W ig (f ) ≥ 0 khôngxảy ra với ∀f ∈ L2(Rn)

Nhận xét 1.3.13 Như vậy, phân bố Wigner không thể xem xét là phân

bố năng lượng trên các tập bị chặn

Do sự thiếu hụt tính dương của phân bố Wigner và các vấn đề xảy

ra sau đó đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời gian–tần số bậchai khác Định lí 1.5.6 cho ta một phiên bản đủ trơn của W ig(f ) mà trìhoãn các dao động địa phương và thoả mãn nguyên lí không chắc chắn

Hệ thống hoá người ta xem xét các biểu diễn thời gian–tần số bậc haidưới dạng tích chập của phân bố Wigner với một hàm hạt nhân σ.Định nghĩa 1.4.1 Ta gọi lớp phân bố Cohen là tập hợp tất cả các biểudiễn C (f ) hoặc Qσf có dạng

C (f ) = Qσf = W ig (f ) ∗ σvới σ ∈ S0 R2n
được gọi là hàm hạt nhân

Sau đây ta xét một số tính chất của lớp phân bố Cohen

Tính chất:

Cho f, g ∈ L2(Rn) , σ ∈ S0(Rn) thì lớp phân bố Cohen có các tính chấtsau:

|Q(f, g)(0, 0)| ≤ kf k2kgk2

với mọi f, g ∈ L2(Rn) (hoặc trong một không gian con trù mật của

L2(Rn)) Khi đó tồn tại một hàm suy rộng tăng chậm σ ∈ S0(R2n) saocho

Qf = W ig(f ) ∗ σ với mọi f ∈ S(Rn)

Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy mộttần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số này được gọi là tần

số ảo hoặc tần số giao thoa Điều này tạo ra những khó khăn trong việcgiải thích ý nghĩa vật lí của phân bố Wigner Từ đó, người ra mở rộngnghiên cứu phân bố τ -Wigner phụ thuộc tham số τ ∈ [0, 1]

2 Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g kí hiệu là R∗(f, g) làbiểu diễn có dạng

R∗(f, g) (x, ω) = R (g, f ) (x, ω) = e2πixωg (x) bf (ω) (1.20)Định nghĩa 1.5.3 Một biểu diễn thời gian tần số Ψ (f ) (x, ω) được gọi

là thỏa mãn điều kiện tính chất lề thời gian và tần số, điều kiện bảo toànnăng lượng nếu

f (ω)b