Nguyên lý không chắc chắn đối với biểu diễn Wigner - cửa sổ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGÔ THỊ HƯƠNG GIANG NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮNĐỐI VỚI BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn: TS... S1 Đườ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ HƯƠNG GIANG

NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮNĐỐI VỚI BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn: TS Bùi Kiên Cường

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, ngườithầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoaToán, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảngdạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn Đồngthời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học

đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và cácđồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Học viên

Ngô Thị Hương Giang

Luận văn tốt nghiệp "Nguyên lý không chắc chắn đối với biểudiễn Wigner - cửa sổ" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình,nghiêm khắc của thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường.

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Học viên

Ngô Thị Hương Giang

Bảng ký hiệu và viết tắt vi

Lý do chọn đề tài vii

Mục đích nghiên cứu viii

Nhiệm vụ nghiên cứu viii

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu viii

Phương pháp nghiên cứu viii

Dự kiến đóng góp của đề tài ix

1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1 1.1 Một số không gian hàm 1

1.1.1 Không gian Banach 1

1.1.2 Không gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞) 1

1.1.3 Một số không gian các hàm thử và đối ngẫu 2

1.2 Biến đổi Fourier 5

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược 5

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 7

1.3 Một số biểu diễn thời gian - tần số 8

1.4 Lớp phân bố Cohen 17

1.5 Nguyên lý không chắc chắn 23

iv

2 Nguyên lý không chắc chắn đối với Biểu diễn Wigner

S1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ

Rn Không gian Euclide n - chiều

Lp(Rn) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên Rn

C∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω

C0∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

W igψ(f ) Biểu diễn Wigner với hàm cửa sổ ψ

W ig((τ )f, g) τ − biểu diễn Wigner

Spφ1,φ2(f, g) Ảnh phổ tổng quát đối với hai cửa sổ φ1, φ2

S(Rn) Không gian Schwartz

S0(Rn) Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

1 Lý do chọn đề tài

Đối với các biểu diễn thời gian tần số thuộc lớp Cohen, việc nghiêncứu nhân Cohen của biểu diễn này chỉ phụ thuộc vào biến thời gian haybiến tần số đem lại những kết quả lý thuyết lý thú cùng với những ứngdụng thú vị trong xử lý hình ảnh Gần đây, một số nhóm tác giả đã công

bố những kết quả nghiên cứu của mình (xem [2], [3], [5]) Cụ thể là đốivới các lớp biểu diễn có dạng

g



x − t2

dtvà

ˆg



ω − t2

dt

Các tính chất cơ bản của biểu diễn thời gian - tần số, chẳng hạn tínhchất lề, tính chất không trải, tính chất giá được chứng minh chi tiết.Hiện tượng giao thoa trong biểu diễn hình ảnh được giải quyết trongmột số tình huống cụ thể của hàm ψ Đặc biệt là nguyên lý chắc chắnđối với các lớp biểu diễn này

Với mong muốn được tìm hiểu sâu về giải tích thời gian-tần số vànguyên lý không chắc chắn trong lý thuyết này, được sự quan tâm giúp

đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắcchắn đối với biểu diễn Wigner - cửa sổ" để nghiên cứu và thực hiện luậnvăn tốt nghiệp

vii

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu,nội dung và phương pháp nghiên cứu Báo cáo có thể là một tài liệutham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thờigian - tần số, về biểu diễn Wigner - cửa sổ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner

- cửa sổ

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoàinước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phươngpháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Những đóng góp của đề tài

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về biểu diễn Wigner

- cửa sổ và đề cập chuyên sâu về nguyên lý không chắc chắn đối với lớpbiểu diễn này

Một số khái niệm và kết quả ban

đầu

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach V là một không gian vectơ địnhchuẩn đầy đủ Nói cách khác, V là một không gian vectơ V trên trường

số thực hay phức cùng với một chuẩn k · k thỏa mãn điều kiện mọi dãyCauchy (tương ứng với metric d(x, y) = kx − yk) có giới hạn trong V.1.1.2 Không gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞)

Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập mở trong Rn, 1 ≤ p < ∞.Hàm f : Ω → C được gọi là thuộc Lp(Ω) nếu nó đo được Lebesgue và

có chuẩn

kf kLp (Ω) =



Z

hữu hạn Đặc biệt L1(Ω) là không gian các hàm có tích phân hội tụtuyệt đối với

1

1.1.3 Một số không gian các hàm thử và đối ngẫu

Định nghĩa 1.4 Cho Ω là một tập con mở của Rn Không gian C0∞(Ω),bao gồm tất cả các C∞- hàm xác định trên Ω có giá compact trong Ωvới tô pô xác định bởi:

Ở đây, giá supp u của một hàm u ∈ L1,loc(Ω) được xác định như là phần

bù của tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, nghĩa là:

supp u = Ω \ ∪{ω mở trong Ω | u|ω = 0}

Bổ đề 1.5 1) Cho R > r > 0 Tồn tại một hàm χr,R(x) ∈ C0∞(Rn) vớicác tính chất :

χr,R = 1 với |x| ≤ r

Định nghĩa 1.7 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Không gian hàm suyrộng trong Ω, kí hiệu là D0(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lênmỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi

Tô pô trên D0(Ω) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên D(Ω), tức là tô pôyếu∗ trên D0(Ω)

Định nghĩa 1.8 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn) làtập hợp

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S (Rn) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn) nếu

Định lý 1.10 Không gian S (Rn) là đầy đủ.

Định nghĩa 1.11 Hàm suy rộng f ∈ D0(Rn) được gọi là hàm suy rộngtăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho

Chú ý 1.12.

1 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là không gian các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên S (Rn) Nói cách khác, S0(Rn) là khônggian đối ngẫu tô pô của không gian S (Rn)

2 Tô pô trên S0(Rn) còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy:Cho fk, f ∈ S0(Rn) , k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 được gọi là hội tụ trong

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ f 7−→ Λf là đơn ánh nên ta

có thể đồng nhất f với Λf Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng làcác hàm suy rộng tăng chậm

Ví dụ 1.15 Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suyrộng tăng chậm

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

Định nghĩa 1.16 Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(Rn) được xácđịnh bởi

Định lý 1.17 Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:

1 Nếu f ∈ L1(Rn) thì ˆf thuộc CL∞(Rn) và lim

|ω|→∞| ˆf (ω)| = 0

2 Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Svào chính nó và thỏa mãn

F [xαDxβϕ](ξ) = (−Dξ)α(ξβϕ(ξ))ˆvới mọi đa chỉ số α, β

3 Với phép đồng biến đổi Fourier F , xác định bởi

F f (ξ) =

Z

Rn

e2πixξf (x)dx, ξ ∈ Rnmọi hàm ϕ ∈ S(Rn) thỏa mãn

Chú ý: Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu cách khác của định

lý Hausdorff- Young như sau

Đặt Ap = p

1

p0 1p)12 là hằng số Babenko- Beckner Khi đó

k bf kp0 ≤ Adpkf kd, 1 ≤ p ≤ 2 (1.1)1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

Định nghĩa 1.20 Cố định một hàm g 6= 0 (gọi là hàm cửa sổ) Khi đóbiến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của một hàm f đối với g đượcđịnh nghĩa bởi

Vgf (x, ω) =

Z

Rn

f (t)g(x − t)e−2πit.ωdt với x, ω ∈ Rn

nếu tích phân đó tồn tại

Ký hiệu Tx là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ x, tức là Tx(y) =

T (y − x) và Mξ là phép xoay xác định bởi Mξu(x) = e2πixξu(x)

Bổ đề 1.21 Nếu f, g ∈ L2(Rn) thì Vgf liên tục đều trong R2n và

|Vg(TuMηf )| = |Vgf (x − u, ω − η)|

Tương tự công thức Paseval ta có quan hệ trực giao của biến đổiFourier thời gian ngắn

Định lý 1.23 Giả sử f1, f2, g1, g2 ∈ L2

(Rn), khi đó Vgjfj ∈ L2

R2n
với j = 1, 2 và

Z Z

R2n

Vgf (x, ω)MωTxγdωdx (1.7)

Định nghĩa 1.26 Biểu diễn Wigner W (f ) của một hàm f ∈ L2(Rn)được xác định bởi

Để cho gọn, chúng ta sử dụng kí hiệu vắn tắt W igτ thay cho các kíhiệu chi tiết ở trên.

Định nghĩa 1.28 Với f, g ∈ S (Rn), chúng ta định nghĩa các biểu diễnsau:

1 Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g kí hiệu là R (f, g) là biểu diễn códạng

là thỏa mãn điều kiện tính chất lề về thời gian và tần số, điều kiện bảotoàn năng lượng nếu

f (ω)b

Định nghĩa 1.31 Giả sử H (supp f ) là bao lồi của supp f và H

supp bf



là bao lồi của supp bf Giả sử Πx và Πω là những phép chiếu trực giaotheo thành phần thứ nhất và thứ hai trong Rnx × Rn

ω tương ứng Mộtbiểu diễn Ψ được gọi là có tính chất giá nếu

Πxsupp Ψ (f ) ⊆ H (supp f )

và Πωsupp Ψ (f ) ⊆ H

supp bf

.Định nghĩa 1.32 Cho f, g, ψ ∈ S(Rn), biểu diễn Wigner - cửa sổ vớihàm cửa sổ ψ được định nghĩa như sau

g



x − t2

dt

và biến đổi Wigner - cửa sổ đối ngẫu

ˆg



ω − t2

dt

Bổ đề 1.33 Với mọi f, g ∈ L2(Rn)

W (f, g)(x, ω) = 2ne4πix.ωVIgf (2x, 2ω)trong đó Ig(x) = g(−x) là toán tử đối xứng

Chứng minh Dùng phép thế u = x + 2t trong (1.8) ta thu được

Với Bổ đề 1.33 những đặc tính có thể dễ dàng chuyển đổi từ STFTsang biểu diễn Wigner Các đặc tính đó được xác định đầy đủ trong hệquả sau:

Mệnh đề 1.34 Với f, g ∈ L2(Rn), biểu diễn Wigner chéo có các tínhchất sau:

(a) W (f, g) là liên tục đều trong R2n và

kW (f, g)k∞ ≤ 2nkf k2kgk2.(b) W (f, g) = W (g, f ) Đặc biệt W f có giá trị thực

W (TuMηf )(x, ω) = W f (x − u, ω − η) (1.19)(d) W ( ˆf , ˆg)(x, ω) = W (f, g)(−ω, x)

(e) Đẳng thức Moyal: Với f1, g1, f2, g2 ∈ L2

(Rn),

hW (f1, g1), W (f2, g2)iL2

(R 2n = hf1, f2ihvg1, g2i

Chứng minh Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.33 Phần (b) và (c)

là dễ dàng tính được Vì I ˆg = ˆIg, ta có (d) sau khi dùng đẳng thứcParseval

Hơn nữa đẳng thức Moyal tương ứng với quan hệ trực giao của STFT

và ta thu được như sau:

ở đây hằng số 22n triệt tiêu sau khi thế (2x, 2ω) → (x, ω)

Trong biểu diễn Wigner chéo có một nhân tử tương tự nhân tử củaSTFT trong Bổ đề 1.33 Đặt Ts là phép đổi tọa độ đối xứng xác địnhbởi TsF (x, t) = F (x + 2t, x − 2t) và đặt F2 biến đổi Fourier theo biến thứhai

Bổ đề 1.35 Cho f, g ∈ L2(Rn) Khi đó W (f, g) = F2Ts(f ⊗ g)

Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất giá và mật độ biên củaphân bố Wigner để hiểu tại sao phân bố Wigner lại được coi là biểu diễnthời gian–tần số tối ưu

Tính chất giá Để đơn giản ta xét trường hợp số chiều n = 1

Bổ đề 1.36 Giả sử f ∈ L2(Rn)

Nếu supp f ⊆ [a, b] thì W ig (f ) (x, ω) = 0 với x /∈ [a, b]

Nếu supp bf ⊆ [α, β] thì W ig (f ) (x, ω) = 0 với ω /∈ [α, β]

Nhận xét 1.37 Ta thấy phân bố Wigner bảo toàn tính chất giá của f vàb

f Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của f vì Vgfphụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì Vgf = e−2πix.ω(f ∗ Mωg∗) (x) là tíchchập của f

Tính chất lề

Bổ đề 1.38 Nếu f, bf ∈ L1 ∩ L2

(Rn) thìZ

Rn

W ig (f ) (x, ω) dω =|f (x)|2, (1.21)Z

Rn

W ig (f ) (x, ω) dx =

f (ω)b

... ψ ∈ S(Rn), biểu diễn Wigner - cửa sổ vớihàm cửa sổ ψ định nghĩa sau

g



x − t2

dt

và biến đổi Wigner - cửa sổ đối ngẫu

ˆg

... data-page="27">

biểu diễn thời gian - tần số có tính chất dương tương thích với ngun

lí khơng chắn Để cách nghiên cứu có hệ thống biểudiễn thời gian - tần số vậy, người ta xem xét lớp biểu. .. (x)|2.Định lý chứng minh

Định lý 1.50 Biểu diễn τ -Wigner có tính chất giá với τ ∈ [0, 1].Chứng minh Nếu W igτ(f ) (x, ω) 6= 0, từ định nghĩa τ − Wignertồn t ∈ Rn