Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trìn h nghiên cứu của mình.. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, b

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến T S B ù i K iê n C ư ờ n g , người thầy đã tậ n tìn h hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trìn h học tập

và nghiên cứu khoa học để hoàn th àn h luận văn này

Tôi xin cảm ơn các th ầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn th à n h tố t luận văn Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trìn h nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trìn h học tậ p và nghiên cứu

Hà Nội, th án g 12 năm 2015

H ọ c v iê n

C h u T h ị H ồ n g L a m

Lời cam đoan

Luận văn tố t nghiệp " V ề b i ể u d i ễ n W i g n e r - c ử a s ổ " được hoàn

th àn h dưới sự hướng dẫn tậ n tình, nghiêm khắc của th ầy giáo - TS Bùi Kiên Cường

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trìn h nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trìn h nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn tôi đã th ừ a kế những th àn h quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trâ n trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

H ọ c v iê n

C h u T h ị H ồ n g L a m

B ả n g k ỷ h iệ u v à v iế t t ắ t

M ỏ đ ầ u

1 M ộ t số k h á i n iệ m v à k ế t q u ả b a n đ ầ u

1.1 Một số khổng gian hàm

1.1.1 Không gian B a n a c h

1.1.2 Khống gian L p 1.1.3 Không gian các hàm kiểm tr a và đối ngẫi1 1.1.4 Không gian Sobolev

1.2 Biến đổi F o u rie r

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngượ c

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 1.3 Biểu diễn W i g n e r

1.4 Lớp phân bố C o h e n

1.5 Biểu diễn tích phân T - W ig n e r

1.5.1 Các đinh n g h ĩ a 1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn T-Wigner

1.6 Toán tử giả vi phân

2 B iể u d iễ n W ig n e r - c ử a số

2.1 Giao th o a trong biếu diễn W igner - cửa số

2.1.1 Biếu diễn W igner - cửa sỗ

2.1.2 Giảm bớt giao th o a trong WỈỌị

2.2 Toán tử liên kết với biểu diễn W igner - cửa sổ

K ế t lu ậ n

T à i liệ u t h a m k h ả o

3032384344

s 1 Đường trò n đơn vị với tâm là gốc tọ a độ

R n Không gian Euclide n - chiều

ư (Rn) Không gian các hàm có lũy th ừ a bậc p khả tích trên Mn

Ơ00 (fi) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong íĩ

С0°°(П) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá com pact trong

a Là đa chỉ số, a = («1, • • • , a n) € N

|a |

n Cấp của a , |a | = otj

j= 1

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cho trước m ột tín hiệu, tức là m ột hàm / G L2(Md) của biến thời

gian X € R d, phân bố năng lượng của tín hiệu này theo thời gian và tầ n

số được biểu diễn cổ điển bởi 1/ (2;)|2 và | / ( £ ) | 2 tương ứng M ặt khác,

phân bố Q f ( x , w ) xác định trên m ặt phẳng thời gian - tầ n số X làm sáng tỏ theo m ột cách nào đó sự phân bố năng lượng của / cả về thời gian và tầ n số và được gọi là phân bố hay biểu diễn thời gian - tầ n

số Một điều kiện tự nhiên được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian - tầ n

số là

- T ính dương, tức là Q f ( x , w) > 0 với mọi X, w.

- T ính chất không trải, tức là Nếu supp / c I với m ột khoảng I c R d

í2-Tuy nhiên, nguyên lý không chắc chắn đối với giải tích thời gian - tầ n số

đã chỉ ra rằng các điều kiện trên không tương thích, và điều này đã chỉ

ra việc phải p h át triển m ột khung cảnh rộng hơn về giải tích thời gian

- tầ n số để xấp xỉ những yêu cầu trên theo m ột nghĩa nào đó Một lớp rộng hơn của các biểu diễn toàn phương thời gian - tầ n số được biết đến

- tầ n số nhằm giảm thiểu hiện tượng này (xem [|J) Lớp Cohen chính là

m ột cách để lọc của biến đổi W igner, bởi khi chọn nhân ơ phù hợp hiện

tượng giao th o a sẽ giảm ( [14J ) ở đây, bằng cách cải biên biến đổi W igner bởi hai biến đổi W igner - cửa sổ xác định bởi:

W ig n e r - c ử a sổ

2 M ục đích ngh iên cứu

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tín h chất của m ột số biểu diễn thời gian - tầ n số và toán tử giả vi phân trong tương thích với

m ột số lớp giải tích thời gian - tầ n số

+ Hệ thống hóa việc giảm hiện tượng giao th o a đối với m ột số biểu diễn thời gian - tầ n số và tín h chất của m ột số lớp toán tử giả vi phân tương thích với m ột số lớp giải tích thời gian - tầ n số

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Trình bày tổng quan về việc giảm hiện tượng giao th o a đối với m ột

số biểu diễn thời gian - tầ n số và tín h chất của m ột số lớp to án tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tầ n số đó

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tầ n số, to án tử giả vi phân

+ P hạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm , giải tích điều hòa để tiếp cận vấn đề

4- Thu th ậ p và nghiên cứu các tà i liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề m à luận văn đề cập tới

6 c ấ u trú c luận văn

Luận văn gồm hai chương , cụ th ể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Biểu diễn W igner - cửa sổ

7 N h ữ n g đón g góp của đề tài

Luận văn là m ột công trìn h nghiên cứu tổng quan về việc giảm hiện tượng giao th o a đối với m ột số biểu diễn thời gian - tầ n số và tín h chất của m ột số lớp to án tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tầ n số đó

mọi dãy Cauchy (tương ứng với m etric d ( x , y ) = ||a; — y\\) có giới hạn

trong V

1 1 2 K h ô n g g ia n ư

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Cho m ột không gian E và m ột độ đo fi trên m ột ơ

- đại số T trên các tậ p con của E Họ tấ t cả các hàm số / (X) có luỹ

th ừ a bậc p (1 < p < oo) của mô đun khả tích trên E , tức là

J \ỉ \pdịi < oo

E

gọi là không gian L p (E, ụ).

Khi E là tậ p đo được Lebesgue trong R k, và ịi là độ đo Lebesgue,

1

th ì ta viết ư (E).

Không gian ư (E ,ịi), trong đó ta không phân biệt các hàm tương

đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là m ột không gian véc

tơ định chuẩn, với chuẩn xác định bởi:

11/11 = ị j \f\pd ự j .

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Giả sử íĩ c R n là m ột tậ p mở trong Mn, 1 < p < 0 0

Hàm f : Q —¥ c được gọi là thuộc ư (ri) nếu nó đo được Lebesgue và

hằng số M sao cho I/ (:r)| < M hầu khắp X G ri Đặc biệt L1 (fỉ) là không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với

\\f\\L'(ũ) = Ị \ f ( x ) \ d x

ũ

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 Cho H là m ột không gian Hilbert Toán tử tuyến tín h liên tụ c A : H —»• H được gọi là toán tử H ilbert - Schmidt nếu tồn tại m ột cơ sở trự c chuẩn (ej) của H sao cho ll^"'ej l|2 < °°-

M ệ n h đ ề 1 1 5 Mọi toán tử Hilbert - Schmidt đều là toán tử compact.

M ệ n h đ ề 1 1 6 Nếu K ỉà toán tử tích phân trên L 2(M.n) với nhân

K ( x , y ) €E L2(Rn X R n) thì K là toán tử Hilbert - Schmidt

1 1 3 K h ô n g g ia n c á c h à m k iể m t r a v à đ ố i n g ẫ u

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 7 Cho ri là m ột tậ p con mở của Mn Không gian véc

tơ C^°(ri) bao gồm c°°- hàm trên ri có giá com pact trong Q Cùng với

tô pô xác định bởi sự hội tụ của dãy:

Dãy (Pj c ơ ^°(íỉ) được gọi là hội tụ về 0 trong C™(Q), nếu tồn tại

m ột tậ p compact K c íỉ sao cho supp (fj c với mọi j G N và <fj hội

tụ đều trên K về 0 C^°(ri) được gọi là không gian các hàm kiểm tra (trên íỉ), Ký hiệu V ( ũ )

Giá supp u của m ột hàm u £ Lị ioc(uj) được xác định như là phần bù của tậ p mở lớn n h ất m à u triệ t tiêu, ta có th ể viết:

supp u = íỉ \ u{iư mở trong íĩ I u\w = 0}

B ổ đ ề 1.1.8 1) Cho R > r > 0 Tồn tại một hàm x tr ( x ) € ơ^°(Mn)

với các tính chất :

Xr,R = 1 với |z| < r

XrĩR e [0; 1] vói r < \x\ < R

Xr,R = 0 với |x| > R.

2) Tồn tại hàm h e ơ£°(Mn) thỏa mẫn:

supp h = 5 ( 0 ,1), h ( x ) > 0 với |ícI < 1, Ị h( x )d x = 1

Đ ịn h lý 1 1 9 Ánh xạ d a : (p !->■ d aip là một toán tử tuyến tính liên tục trong T>{ỹi) Điều này cũng đúng cho D a

Với mọi f £ ơ °°(rỉ) ánh xạ M f : <f I—^ f ( f là một toán tử tuyến tính liên tục trong v i y ì )

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 0 Ta nói rằng / là m ột hàm suy rộng trong ri nếu /

là m ột phiếm hàm tuyến tín h liên tụ c trên v i y ì ) Không gian hàm suy

rộng trong Г2, kí hiệu là tyịy ì).

Hàm suy rộng / G V '( íì) tác động lên mỗi Ц) G V ( í ì ) được viết là ( /, íp)

Tô pô trên V '( íl) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên V ( í ì )

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 1 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là s (Rn)

là tậ p hợp

S ( R n) = {<p e c ° ° (Mn) \\xaD ßip{x)\ < ca,ß,Vx <E R n, V a, ß G z n + }

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ự>k}kLi trong <s (M71) được gọi là hội tụ đến If G s (Шп) nếu

lim sup \xaD^ipk (ж) — x aD^ip (ж) I = 0, \ / a , ß € Z ”

fc->0о I Ẽ R»

Ký hiệu s _ lim <f ỵ = <f.

00

Chú ý 1.1.12.

1 Hàm ip e c°° (Rn) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi a , ß G Z™ có

I x aD^íp (ж) I < ca ß , Уж Ễ R n khi và chỉ khi

3 Với mỗi a ẽ Z Ị , phép to án đạo hàm D a là ánh xạ tuyến tín h liên tục

từ < S (R n) vào «S(Kn)

4 Tập С ™ (Rn) trù m ật trong không gian s (Rn).

5 Với mỗi M e N, hàm

рм(<р) ■= sup Ị ( i + № ) \Dß(P (ж)| еxác định m ột nửa chuẩn trên íS(Mn) và họ nửa chuẩn này xác định tô

pô của íS(Mn)

Đ ịn h lý 1 1 1 3 Không gian s (Rn) là đầy đủ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 4 Cho hàm suy rộng / e V(M.n) Hàm suy rộng / được gọi là hàm suy rộng tăn g chậm nếu tồn tạ i m ột số tự nhiên m và

m ột số dương С sao cho

I ự , if) I < с sup { ( l + H 2) ” \D‘ tp 0 r)|} , Vy? e V ( R ” )

Không gian các hàm suy rộng tăn g chậm là không gian véctơ tấ t cả các

hàm suy rộng tăn g chậm Kí hiệu S ' (Mn).

Chú ý 1.1.15.

1 Không gian hàm suy rộng tăn g chậm S ' (Mn) là không gian các phiếm hàm tuyến tín h liên tụ c trên s (Rn) Nói cách khác, S ' (Mn) là không gian đối ngẫu tô pô của không gian s (IRn).

2 Tô pô trên s 1 còn có th ể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho

fk, f G s 1 (Rn) , к = 1 ,2 , Dãy { f k } î =1 được gọi là hội tụ trong <S' (Mn) đến hàm f £ S ' (Kn), kí hiệu «S'_ lim fỵ — f , nếu với mọi <f E s , dãy ựk(<p)) hội tụ về f{(p).

Đ ịn h lý 1 1 1 6 Không gian S ' (IRn) là đầy đủ.

V í d ụ 1 1 1 7 Cho 1 < p < 0 0, / € L p (Mn), ánh xạ

A/ : ^ (/,¥>) = J f (x ) ¥ {x)dx, ip € <S(Mn).

R"

là m ột hàm suy rộng tăn g chậm Do ánh xạ / I— > A/ là đơn ánh nên ta

có th ể đồng n h ất / với AỊ Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng là

Rõ ràng H s,p(Rn) là m ột không gian vectơ nên ta có th ể tran g bị cho

nó m ột chuẩn \\.\\sp để trở th à n h không gian vectơ định chuẩn Trong

Đ ịn h lý 1 1 2 4 H s,p(M.n) ỉà không gian Banach tương ứng với chuẩn

1.2.1 B iế n đ ổ i F o u r ie r v à b iế n đ ổ i F o u r ie r n g ư ợ c

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 1 Biến đổi Fourier của m ột hàm / e L1(Mn) được xác định bởi

RnKhi ta muốn nhấn m ạnh rằng biến đổi Fourier là m ột to án tử tuyến tín h

tác động trên m ột không gian hàm , ta viết T f th ay cho /

Đ ịn h lý 1 2 2 Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:

2 Biến đổi Fourier ỉà một toán tử tuyến tính ỉiên tục từ không gian s

3 Vói phép đồng biến đổi Fourier T , xác định bởi

2 Với f ẽ L 1 n L 2 thì = J~f- Hơn nữa, với mỗi hàm f e L2(Mn),

dãy (J - ( I b {0 N)f) ) hội tụ trong L2(Mn) về T i ĩ khi N —>■ oo.

Nhờ định lý trên, ta cũng gọi T i ỉ là biến đổi Fourier của / € L2(Mn)

và cũng ký hiệu là J 7/ hay /

Đ ịn h lý 1 2 4 (Hausdorff- Young) Lấy 1 < p < 2 v àp' sao cho - + ^ 7 =

1 Khi đó T : Ư { R n) -+ LP'{Rn) và \\f\\pl < |Ị/Ị|P.

Chú ý: Beckner và Brascam p Lieb đã p h át biểu cách khác của định

lý Hausdorff- Young như sau

1

Đ ặt Ap = ( ^ x)2 là hằng số Babenko- Beckner Khi đó

pp

ị ị f V < A ị ị ị f ị ị d, l < p < 2 (1.2)

Ký hiệu Tx là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ X, tức là Tx (y) =

T { x — y) và Mệ là phép xoay xác định bởi Mçu(x) = e2ĩrix^u(x).

B ổ đ ề 1.2.6 Nếu f , g £ L 2(R n) thì Vgf liên tục đều trong R 2n và

H ệ q u ả 1 2 9 Nếu f , g e L 2 ( i r ) thì \\Vgf \ \ L2 = ỵ ị ị M ^ -

Dặc biệt, nếu \\g\\L2 = 1 thì \ \ f \ \ L 2 = \\Vgf\\L2, V / <E L 2 (Mn)

M ệ n h đ ề 1 2 1 0 Giả sử g, 7 € L2(Mn) và (g, 7) ^ 0 Khỉ đó với mọi

hàm f € L2(Mn); ta có

f = — [ Ị V g f ( x , w ) M wTx'Ỵdwdx (1.8)(7:9) J JR2n

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 1 Biểu diễn W igner w f của m ột hàm / £ L 2(M.n)

được xác định bởi

W f ( x , w) = J f { x + ị ) f ( x - ị )

r

- ì e -2 ni».tdị'

Bằng sự phân cực biểu thức bậc hai này, ta nhận được biểu diễn W igner

chéo của f , g & L2(Mn):

W ( f , g ) ( x , w ) = Ị ỉ ( x + ị u x - ị ^ - 2'™ 'dt (1.9)

Rn

BỔ đ ề 1 3 2 Với mọi f , g e L 2(M.n)

W ự , g ) ( x , w ) = 2neM x -wVIgf ( 2 x , 2 w ) trong đó Z g ( x ) = g ( —x) là toán tứ đối xứng.

Chứng minh Dùng phép th ế u = X + I trong (1.9) ta th u được

M ệ n h đ ề 1 3 3 Với f , g e L2(Mn), biểu diễn Wigner chéo có các tính chất sau:

(a) w ( f , g ) là liên tục đều trong M2n và

2)-Chứng minh P h ần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.3.2) P h ần (b) và (c) là dễ dàng tín h được Vì Xg = X g , ta cĩ (d) sau khi dùng đẳng thức

Hơn nữa đẳng thức Moyal tương ứng với quan hệ trực giao của S T FT

và ta th u được như sau:

BỔ đ ề 1 3 4 Cho f , g £ L 2(Rn) Khi đĩ w { f , g ) = T 2Ts{ỉ ® g).

Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tín h chất giá và m ật độ biên của phân bố W igner để hiểu tạ i sao phân bố W igner lại được coi là biểu diễn thời g ia n -tầ n số tối ưu

T ín h c h ấ t g iá Để đơn giản ta xét trường hợp số chiều n = 1.

B ổ đ ề 1 3 5 Giả sử f G L 2 (Rn).

Nếu supp f Ç [a, 6] thì W i g ( / ) (x,uj) = 0 với X ị [a, 6].

Nếu supp f Ç [a, ß ] thì W i g ( / ) (X, Où) = 0 với UI Ệ [cc,ß\.

Nhận xét 1.3.6 Ta th ấy phân bố W igner bảo to àn tín h chất giá của /

và / Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của / vì

Vgf phụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì Vgf = e~2lTÌX-ul ( / * М шд*) (X) là

T ín h d ư ơ n g T ừ bổ đề 1.5.3 chúng ta th ấy phân bố W igner th o ả

m ãn hầu hết các tín h chất của m ột biểu diễn thời g ia n -tầ n số lí tưởng Tuy nhiên, để giải thích như m ột m ật độ năng lượng hay m ật độ xác suất đồng thời th ì nó phải không âm Định lý sau của Hudson cho th ấy phân bố W igner hầu hết là không âm ngoại trừ các hàm Gauss

Đ ịn h lý 1 3 9 Giả sử f € L 2 (Rn) Khi đó W i g ( / ) ( x , cj ) > 0 với mọi (x,ui) G M2n khi và chỉ khi f là một hàm Gauss tổng quát dạng

ở đây A G G L ( t ỉ , C) l à một m a trận khả nghịch cấp n X n trên c v ớ i

phần thực xác định dương và b G c n, c G c

Để giải quyết tín h dương của phân bố W igner người ta lấy giá trị

tru n g bình tạ i từng điểm thông qua tích chập của W i g ( f ) với m ột hàm

a) Nếu ab = 1 thì W i g ( / ) * ơa 6 > 0 với mọi f G L 2 (Rn).

b) Nếu ab > 1 thì W i g ( / ) * ơa b > 0 với mọi ĩ G L 2 (Mn).

c) Nếu ab < 1 thì W i g ( / ) * ơa 6 có í/lể lấy giá trị âm.

Tiếp theo là nguyên lí không chắc chắn trong văn cảnh của các hàm suy rộng trơn

b) Nếu ơ G L 2 (R 2n) có giá compact, thì tồn tại f € L 2 (Mn) sao cho

H ệ q u ả 1 3 1 2

a) Nếu f f W i g ( / ) ( x , üj ) dxdüü > 0 , V / G L 2 (]R2n) và V là tập có độ đo hữu hạn thì \v\ > 1.

b) Ngược lại, nếu V là tập có độ đo hữu hạn thì J J W i g ( / ) > 0 không

xảy ra với V / € L 2 (Rn).

Nhận xét 1.3.13 Như vậy, phân bố W igner không th ể xem xét là phân

bố năng lượng trên các tậ p bị chặn

Do sự thiếu hụt tín h dương của phân bố W igner và các vấn đề xảy

ra sau đó đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời g ia n -tầ n số bậc

hai khác Định lí 1.5.6 cho ta m ột phiên bản đủ trơ n của W i g ( f ) m à trì

hoãn các dao động địa phương và th o ả m ãn nguyên lí không chắc chắn

Hệ thống hoá người ta xem xét các biểu diễn thời g ia n -tầ n số bậc hai

dưới dạng tích chập của phân bố W igner với m ột hàm h ạt nhân ơ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 4 1 Ta gọi lớp phân bố Cohen là tậ p hợp tấ t cả các biểu

diễn c ( / ) hoặc Qơf cố dạng

W i g ( / ) (æ, oj ) ơ (æ, oj ) dxdív < 0.

V

V

c ( / ) = Q ơf = W i g ( / ) * ơ với ơ e S' (M2n) được gọi là hàm h ạt nhân.

Sau đây ta xét m ột số tín h chất của lớp phân bố Cohen

T ín h c h ấ t:

Cho f , g e L 2 (Rn) , ơ £ S ' (Mn) th ì lớp phân bố Cohen có các tín h chất

sau:

1 Qa {TxM uf ) = T {XjU;)Qơf

2 Đẳng thức

Rxảy ra khi và chỉ khi