Lược đồ gabor đa cửa sổ trong biểu diễn ảnh và tín hiệu

Từ đây nảy sinh ra ý tưởng về phép biến đổi Fourier thời gian ngắn:chỉ áp dụng biến đổi Fourier trên từng đoạn thời gian ngắn của tín hiệu.. Dẫuvậy, lượng thông tin về thời gian - tần số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG QUANG LONG

LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ

TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG QUANG LONG

LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ

TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Ngọc Phan

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến TS Nguyễn Ngọc Phan, người đãtận tình hướng dẫn, cung cấp các nguồn tài liệu, các phương pháp nghiên cứu vànhững kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toánkhóa 2015-17 đã quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Toán khóa 2015-17 và đặcbiệt là nhóm Toán ứng dụng đã luôn sát cánh và giúp đỡ em rất nhiều trong quátrình học tập

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến gia đình, bạn bè, nhữngngười đã luôn quan tâm, động viên em trong học tập, cũng như Ban lãnh đạo ViệnCông nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạođiều kiện thuận lợi để em được đi học

Mặc dù đã nỗ lực và cố gắng nhưng luận văn này sẽ không tránh khỏi nhiềuthiếu sót Em rất mong được sự góp ý của Quý thầy cô và các bạn!

Hà Nội, tháng 1 năm 2018

Mục lục

1.1 Các không gian 5

1.2 Biến đổi Fourier 7

1.3 Các phép toán cơ bản 8

1.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 10

1.5 Hàm Gauss 11

2 Khung trong không gian Hilbert và khung Gabor 15 2.1 Dãy Bessel và cơ sở Riesz 15

2.2 Khung trong không gian Hilbert 18

2.3 Cơ sở Gabor và khung Gabor 24

3 Khung Gabor đa cửa sổ 30 3.1 Biến đổi Zak 31

3.2 Phương pháp đại số ma trận 33

3.3 Các trường hợp mật độ lấy mẫu 35

3.4 Khung đối ngẫu 42

3.5 Định lý Balian-Low và cách xây dựng khung 43

Lời mở đầu

Phân tích tín hiệu đóng vai trò rất quan trọng trong xã hội hiện đại Các ứngdụng của nó trải dài trên nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, từ liên lạc viễn thôngđến chuẩn đoán y học, từ giao thông đến ngành công nghiệp giải trí Tín hiệuđược hiểu là một đại lượng vật lý chứa thông tin hay dữ liệu và có thể truyền điđược

Phân tích Fourier là một công cụ tiêu biểu trong phân tích tín hiệu Về mặt toánhọc, tín hiệu được biểu diễn bởi các hàm tuần hoàn rời rạc được tạo thành từ cácdao động có tần số và biên độ khác nhau Phép biến đổi Fourier mô tả về lượngcủa từng tần số chứa trong tín hiệu Tuy nhiên, dữ liệu về thời gian bị mất đi quabiến đổi này Từ đây nảy sinh ra ý tưởng về phép biến đổi Fourier thời gian ngắn:chỉ áp dụng biến đổi Fourier trên từng đoạn thời gian ngắn của tín hiệu Các đoạntín hiệu này được chia bởi một hàm cửa sổ trơn tịnh tiến trên toàn tín hiệu Dẫuvậy, lượng thông tin về thời gian - tần số mà phép biến đổi Fourier thời gian ngắncung cấp lại quá thừa và cần được giảm bớt trong khi vẫn bảo toàn được lượngthông tin của tín hiệu

Một nhiệm vụ được đặt ra trong phân tích tín hiệu là việc mô tả các hàm bất kỳbởi một bộ hàm đơn giản có các tính chất phổ biến và dễ vận dụng Phân tíchFourier thực hiện nhiệm vụ này bằng cách biến tín hiệu thành tổng các dao động

cơ bản, còn phép biến đổi Fourier thời gian ngắn thì sử dụng một bộ các tịnh tiếnthời gian - tần số của một hàm cửa sổ duy nhất Từ đây nảy sinh ra lý thuyết vềkhung - một khái niệm tổng quát của cơ sở - mà Dennis Gabor là người đặt nềnmóng vào năm 1946 Phân tích Gabor đề ra các điều kiện để bộ hàm tịnh tiến thờigian - tần số là một khung và mở rộng tín hiệu thành tổ hợp của các hàm này.Luận văn này trình bày về phương pháp đa cửa sổ trong phân tích tín hiệu thôngqua lý thuyết khung và lợi thế của việc sử dụng nhiều hơn một cửa sổ Luận vănbao gồm các chương sau:

• Chương 1 giới thiệu tổng quan về một số khái niệm quan trọng trong giảitích Fourier và trong phân tích tín hiệu

• Chương 2 giới thiệu lý thuyết về khung trong không gian Hilbert tổng quát

và một trường hợp riêng quan trọng là khung Gabor trong không gian L2(R)

• Chương 3 trình bày về phương pháp ma trận đại số đối với lược đồ Gabor

đa cửa sổ để kiểm tra tính chất của các hàm cửa sổ

• Chương 4 trình bày về một ứng dụng trong xử lý tín hiệu

Với p = 2, ta có không gian Hilbert

k∈I

|xk|p < ∞

)

xkyk

1.2 Biến đổi Fourier

Với f ∈ L1(R), biến đổi Fourier ˆf : R → C được định nghĩa bởi

đã tạo thành hàm đó Giá trị của tích phân ở trên chỉ lượng tín hiệu f chứa tần

số ω Hàm ˆf (ω) mô tả dáng điệu tần số của f (x)

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Với f ∈ L1(R), ˆf liên tục đều và

[

f ∗ g = ˆf · ˆg

1.3 Các phép toán cơ bản

Định nghĩa 1.4 Ta định nghĩa các toán tử toán tử tuyến tính:

Toán tử tịnh tiến Tx:

Tx : L2(R) → L2(R), (Txf )(t) = f (t − x), x ∈ R (1.2)Toán tử biến điệu Mω:

Mω : L2(R) → L2(R), (Mωf )(t) = e2πiωtf (t), ω ∈ R (1.3)Toán tử co Dα:

kTxMωf kL p = kf kL p.Dời thời gian-tần số tác động lẫn nhau với biến đổi Fourier như sau:

d

Txf = M−xˆ hoặc F Tx = M−xF (1.6)

d

Mω = Tωˆ hoặc F Mω = TωF (1.7)Phương trình (1.7) chỉ ra tại sao phép biến điệu còn được gọi là dời tần số, vì phépbiến điệu trở thành phép tịnh tiến trong miền biến đổi Fourier

Hình 1.1: Một tín hiệu và các dời thời gian, dời tần số và dời thời gian-tần số.

Chứng minh Với mọi f, g ∈ L2(R) và x ∈ R ta có

Vậy Tx là toán tử unita

Tương tự, ta cũng có Mω, Dα là các toán tử unita

Biến đổi Fourier cung cấp thông tin toàn cục về tần số của một tín hiệu Điềunày chỉ hữu ích cho những tín hiệu bất biến theo thời gian Với tín hiệu động, biếnđổi Fourier không cho ta biết những tần số nào diễn ra trong một thời gian nào

đó Để khắc phục điều này, tín hiệu sẽ được chia nhỏ ra theo những khoảng thờigian ngắn mà tại mỗi khoảng đó tín hiệu có thể được coi như là tuần hoàn Biếnđổi Fourier được lấy lần lượt trong những khoảng này Vì khi chia nhỏ như vậy,tín hiệu sẽ bị đứt đoạn và hình thành nhiễu trong phổ tần số nên thay vì chia nhỏtín hiệu, ta sẽ dùng một hàm cửa sổ trơn Hàm cửa sổ là một hàm nhận giá trịkhông bên ngoài một khoảng hữu hạn, và khoảng đó có thể rộng hoặc hẹp.Định nghĩa 1.5 Giả sử g ∈ L2(R)\{0} là một hàm cửa sổ Biến đổi Fourier thờigian ngắn (STFT) của một hàm f ∈ L2(R) theo g được định nghĩa bởi

c > 0.

Nguyên lý trên chỉ ra rằng biến đổi Fourier thời gian ngắn có giới hạn về độphân giải trong không gian thời gian - tần số: Ta có nhiều thông tin về thời giannhưng mất đi thông tin về miền tần số nếu hàm cửa sổ hẹp và ngược lại nếu hàmcửa sổ rộng

Hình 1.2 cho ta thấy được hạn chế này

Định lý 1.6 Giả sử f, g ∈ L2(R) Khi đó

kST F Tgf kL2 (R 2 ) = kf kL2 (R)kgkL2 (R).Trong trường hợp kgkL2 = 1 ta có

kf kL2 (R)= kST F Tgf kL2 (R 2 d)

với mọi f ∈ L2(R) và do đó, STFT là phép đẳng cự từ L2(R) vào L2(R2)

Định lý trên chỉ ra rằng: biến đổi Fourier thời gian ngắn cũng bảo toàn nănglượng của tín hiệu

Định lý 1.7 (Công thức nghịch đảo) Giả sử g, γ ∈ L2(R) và hg, γi 6= 0 Khi đó

Hình 1.2: Một tín hiệu và các biến đổi Fourier thời gian ngắn với hàm cửa sổ rộng

và hàm cửa sổ hẹp Ở trường hợp cửa sổ rộng, ta có độ phân giải tần số tốt nhưngkhông thấy được thông tin về thời gian Ở trường hợp cửa sổ hẹp, ta có độ phângiải thời gian tốt nhưng các tần số không rõ ràng

Định nghĩa 1.6 Hàm Gauss ϕa được định nghĩa bởi

ϕa: Rd→ R, ϕa(x) = e−πx2/a,với độ lệch chuẩn a > 0 tỉ lệ thuận với độ rộng của hàm

Hàm g trong Hình 1.1 là một ví dụ của hàm Gauss

Ta sẽ chứng minh sự bất biến của hàm Gauss qua phép biến đổi Fourier:Định lý 1.8 Hàm ϕ(x) = e−πx2 thỏa mãn ˆϕ = ϕ, tức là

(F ϕ)(ω) = e−πω2.Chứng minh Biến đổi Fourier của ϕ(x) với x ∈ R là

ˆϕ(ω) =

Z

R

e−πx2e−2πiωxdx

=Z

R

−2πi(x + iω)e−π(x+iω)2dx

=hie−π(x+iω)2i

∞ x=−∞

= 0 ∀ω ∈ R

Ta suy ra H(ω) là hàm hằng và do đó Hω) ≡ H(0) Hơn nữa

2πre−πr2dr

=h−e−πr2i∞

r=0 = 1

H(0) ≥ 0 do h(x, 0) ≥ 0, do đó H(0) = 1 Vậy ˆϕ(ω) = e−πω2

Đầu tiên, ta nhắc lại các khái niệm về cơ sở và cơ sở trực chuẩn.

k=1 trong không gian Hilbert H được gọi là một cơ

sở của H nếu với mọi f ∈ H, tồn tại duy nhất bộ hệ số vô hướng phức {ck}∞

Nếu {fk}∞

k=1 là một hệ trực chuẩn trong H thì {fk}∞

k=1 thỏa mãn Bất đẳngthức Bessel:

∞

X

k=1

|hf, fki|2 ≤ kf k2 ∀f ∈ H (2.1)

Bây giờ ta sẽ xem xét các dãy không phải là cơ sở nhưng có tính chất giốngnhư Bất đẳng thức Bessel.

Dãy Bessel được định nghĩa như sau:

k=1 là một dãy trong không gian Hilbert H và hằng số

B > 0 cho trước Khi đó, {fk}∞

k=1 là một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉkhi

k=1 được định nghĩa tốt, tức là P∞

k=1ckfk hộitụ

k=1 là một cơ sở trực chuẩn.Xét hàm f ∈ H Khai triển U−1f theo cơ sở trực chuẩn {ek}∞

Mỗi cơ sở trực chuẩn {ek}∞

k=1 của không gian Hilbert H đều thỏa mãn Đẳng thứcPlancherel:

Ví dụ 2.1 Giả sử H = R2 và các vector

f1 = (1, 0), f2 = (0, 1), f3 =

1

√

2,

1

√2

, f4 =

.{f1, f2} và {f3, f4} là hai cơ sở trực chuẩn của R2, do đó

Định nghĩa 2.6 Một dãy {fk}∞

k=1 trong không gian Hilbert H là một khung nếutồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho với mọi f ∈ H thì công thức Plancherel tổngquát được thỏa mãn:

k=1 được gọi là một khung Parseval nếu nó có các cận khung A = B = 1

• {fk}∞k=1 được gọi là một khung chính xác nếu ta bỏ đi một phần tử bất kỳ của{fk}∞

2 Khung là một dãy chứ không phải là một tập hợp nên có thể lặp lại phần

tử Vector không cũng có thể là một phần tử của khung

3 Nếu {fk}∞

k=1 là một khung thì chuỗi P∞

k=1|hf, fki|2 hội tụ

4 Khung là một dãy Bessel

5 Một dãy Bessel không nhất thiết phải đầy đủ, nhưng khung phải đầy đủ

2 {e1, e1, e2, e2, e3, e3, } là một khung chặt, không chính xác với các cận A =

B = 2, nhưng dãy này không trực giao và không phải là một cơ sở mặc dù

nó chứa một cơ sở trực chuẩn Nếu {fk}∞

k=1 là một cơ sở trực chuẩn kháccủa H thì {ek} ∪ {fk} cũng là một khung chặt, không chính xác của H

3 {e1,1

2e2,1

3e3, } là một dãy trực giao, đầy đủ và là một cơ sở của H, nhưng

nó không có cận khung dưới và do đó không phải là một khung

Định lý 2.3 Toán tử khung S có các tính chất sau:

1 S là toán tử bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và xác định dương

2 Vì S tự liên hợp nên S−1 cũng tự liên hợp Do đó

B−1I ≤ S−1 ≤ A−1I,tức là

B−1kf k2 ≤ hS−1f, f i ≤ A−1kf k2.Vậy

Từ định lý trên, ta thấy rằng mỗi khung {fk}∞

k=1 đều có một hệ đối ngẫu{S−1fk}∞

k=1 và hệ này cũng là một khung Khung đối ngẫu này không duy nhất.Định nghĩa 2.9 Giả sử {fk}∞

k=1 là một khung với toán tử khung S Khung{S−1fk}∞

k=1 được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk}∞

k=1 Khung đối ngẫuchính tắc là duy nhất

Trong chương này, ta sẽ kí hiệu ˜fk = S−1fk, khi đó khung đối ngẫu chính tắc

Định nghĩa 2.10 Một hệ Gabor G(g, a, b) là một dãy trong L2(R) có dạng

G(g, a, b) = {MmbTnag}m,n∈Z,trong đó g ∈ L2(R) được gọi là hàm cửa sổ của hệ, a, b > 0 cố định

Định nghĩa 2.11 Nếu G(g, a, b) là một khung của L2(R) thì ta gọi nó là mộtkhung Gabor Nếu G(g, a, b) là một cơ sở Riesz của L2(R) thì ta gọi nó là một cơ

ˆg(ξ) =

Z 1 0

e−2πixξdx = e−πiξsin πξ

πξ .

g giảm chậm và dao động Do đó hàm g này không hữu ích trong phân tích tínhiệu

Một câu hỏi được đặt ra là liệu ta có thể thay hàm χ[0,1] bằng một hàm liên tục

để vẫn thu được một cơ sở Gabor Tuy nhiên, Định lý Balian-Low sau đây chỉ rahạn chế về tính chất của một hàm g như vậy

Định lý 2.5 (Định lý Balian-Low) Giả sử G(g, 1, 1) là một cơ sở Riesz của L2(R).Khi đó

để xây dựng được các hệ Gabor hữu ích

Với mỗi hệ Gabor G(g, a, b) ta xét hàm G a-tuần hoàn được định nghĩa bởi

|g(x − na)|2 ≤ Bb hầu khắp nơi (2.7)

Khi đó, A, B là các cận khung của G(g, a, b)

2 Nếu 0 < ab < 1 thì tồn tại các hàm g có giá trong [0, 1/b] thỏa mãn phươngtrình (2.7) và trơn

3 Nếu ab = 1 thì mọi hàm g có giá trong [0, 1/b] và thỏa mãn phương trình(2.7) là hàm không liên tục

4 Nếu ab > 1 và g có giá trong [0, 1/b] thì phương trình (2.7) không được thỏamãn và G(g, a, b) không đầy đủ trong L2(R)

Chứng minh

1 Giả sử supp(g) ⊆ [0, 1/b] và phương trình (2.7) được thỏa mãn

Xét hàm f trong không gian con trù mật Cc(R) (không gian các hàm liêntục, có giá compact)

Vì g ∈ L2(R) có giá trong [0, 1/b] nên Tnag ∈ L2(Ik) với Ik = [na, na + 1/b].

Do f bị chặn nên tích f.Tnag cũng thuộc L2(Ik) Vì {e2πimx}m∈Z là một cơ

sở trực chuẩn của L2[0, 1] nên {b1/2e2πibmx}m∈Z là một cơ sở trực chuẩn của

Z na+1/b na

f (x)g(x − na)e−2πibmxdx

... mà khoảng tín hiệu coi tuần hoàn Biếnđổi Fourier lấy khoảng Vì chia nhỏ vậy ,tín hiệu bị đứt đoạn hình thành nhiễu phổ tần số nên thay chia nh? ?tín hiệu, ta dùng hàm cửa sổ trơn Hàm cửa sổ hàm nhận... tín hiệu biến đổi Fourier thời gian ngắn với hàm cửa sổ rộng

và hàm cửa sổ hẹp Ở trường hợp cửa sổ rộng, ta có độ phân giải tần số tốt nhưngkhông thấy thông tin thời gian Ở trường hợp cửa. .. hạn R hàm Gauss với độrộng khác Khi đó, tín hiệu f (x) ∈ L2(R) biểu diễn

Hai phương trình (3.1)-(3.2) lập thành lược đồ Gabor đa cửa sổ