Về biểu diễn wigner cửa sổ

Mặt khác, phân bố Q f x , w xác định trên mặt phẳng thời gian - tần số X làm sáng tỏ theo một cách nào đó sự phân bố năng lượng của / cả về thời gian và tần số và được gọi là phân bố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Chu Thị Hồng Lam

VỀ BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA sổ

Chuyên ngành Mã

số:

Toán Giải tích

60 46 01 02

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n : TS Bùi Kiên Cường

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, người thầy đã

tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứukhoa học để hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa Toántrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện chotôi hoàn thành tốt luận văn Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anhchị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình.Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồngnghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Lời cam đoan

Luận văn tốt nghiệp " về b iể u d i ễ n W i g n e r - c ử a s ổ" được hoàn

thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS Bùi KiênCường

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã thừa kế nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn

Một số khống gian hàm

1.2

Biến đối Fourier

1.2.1 Biến đỗi Fourier và biến đỗi Fourier ngược

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

Toán tử giả vi phân

2 Biểu diễn Wigner - cửa số

11113

6

779

10

1518181925

30

30

2.1.2 Giảm bớt giao thoa trong W i g ị

2.2

Toán tử liên kết với biểu diễn Wigner - cửa sỗ

44 Tài liệu tham khảo

43 Kết luận

303238

s1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ

M" Không gian Euclide n - chiều

ư (Mn) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên M"

c ° ° (íì) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ç }

C ^ ° (íì) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ç }

Cho trước một tín hiệu, tức là một hàm / G L 2 ( Rd) của biến thời gian X G

Kd, phân bố năng lượng của tín hiệu này theo thời gian và tần số được biểu diễn

cổ điển bởi 1/(012 và 1/(012 tương ứng Mặt khác, phân bố Q f ( x , w ) xác định

trên mặt phẳng thời gian - tần số X làm sáng tỏ theo một cách nào đó sự phân

bố năng lượng của / cả về thời gian và tần số và được gọi là phân bố hay biểu diễn thời gian - tần số Một điều kiện tự nhiên được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian - tần số là

- Tính chất không trải, tức là Nếu supp / c / với một khoảng / c Md thì

nxsupp \&(/) c I (nx là phép chiếu trực giao X ^ Md); và tương tự, nếu

supp / c J với một khoảng J c Md thì n^supp / c J.

- Tính chất lề, tức là f Q ( f ) ( x , w ) dx = |/(IÍ;)|2 và f Q ( f ) ( x , w ) d w =

Tuy nhiên, nguyên lý không chắc chắn đối với giải tích thời gian - tần số đã chỉ

ra rằng các điều kiện trên không tương thích, và điều này đã chỉ ra việc phảiphát triển một khung cảnh rộng hơn về giải tích thời gian

- tần số để xấp xỉ những yêu cầu trên theo một nghĩa nào đó Một lớp rộnghơn của các biểu diễn toàn phương thời gian - tần số được biết đến

Q{f,g) = <r*Wig{f,g) (1)trong đó <7 € <S'(M2n) là nhân và Wig là biến đổi Wigner cổ điển

, g){x, w) = Ị e~ 2 l ĩ i ị w f{x + ị)g{x - ị)dt với f,geS{R n ).

Với biểu diễn Wigner, tính chất không trải theo thời gian và tần số đượcthỏa mãn, nhưng lại gây ra hiện tượng giao thoa hay hiện tượng bóng ma ởgiữa một cặp tần số thực trên mặt phẳng thời gian - tần số (xem [2j, [3J) Đã cónhiều cố gắng tìm kiếm những biểu diễn thời gian - tần số nhằm giảm thiểuhiện tượng này (xem [4J) Lớp Cohen chính là một cách để lọc của biến đổiWigner, bởi khi chọn nhân <7 phù hợp hiện tượng giao thoa sẽ giảm ([4J) ở

đây, bằng cách cải biên biến đổi Wigner bởi hai biến đổi Wigner - cửa sổ xác

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của một số biểu diễnthời gian - tần số và toán tử giả vi phân trong tương thích với một số lớp giảitích thời gian - tần số.

+ Hệ thống hóa việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễn thờigian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử giả vi phân tương thích với một

số lớp giải tích thời gian - tần số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểudiễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử vi phân tương thíchvới những lớp giải tích thời gian - tần số đó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử giả vi phân.+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liênquan đến đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, giải tích điềuhòa để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Biểu diễn Wigner - cửa sổ

7 Những đóng góp của đề tài

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tần số đó

Chương 1

Một số khái niệm và kết quả ban đầu

1.1 Một số không gian hàm

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach là các không gian vectơ định chuẩn đầy

đủ Điều này có nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V

trên trường số thực hay phức với một chuẩn ||.|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương

ứng với metric d ( x , y ) = I|a: — y \ \ ) có giới hạn trong V.

Định nghĩa 1.1.2 Cho một không gian E và một độ đo Ị 1 trên một ơ - đại số T

trên các tập con của E Họ tất cả các hàm số / (s) có luỹ thừa bậc p (1 < p < oo) của mô đun khả tích trên E , tức là

Ị\f\ p dỊi < oo

E

gọi là không gian ư (E, ¡ Ầ )

Khi E là tập đo được Lebesgue trong Mfc, và ¡1 là độ đo Lebesgue,

thì ta viết ư (E).

Không gian L p (E, /Li), trong đó ta không phân biệt các hàm tươngđương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian véc tơ địnhchuẩn, với chuẩn xác định bởi:

ll/Lưn) = J \ f { x ) \ d x

n

Định nghĩa 1.1.4 Cho H là một không gian Hilbert Toán tử tuyến tính liên tục

A : H —> H được gọi là toán tử Hilbert - Schmidt nếu tồn tại một cơ sở trực chuẩn (ß j ) của H sao cho ||Tej||2 < oo

Mệnh đề 1.1.5 Mọi toán tử Hilbert - Schmidt đều là toán tử

compact.

Mệnh đề 1.1.6 Nếu K là toán tử tích phân trên L2(M") với nhân

K(x,y) G L 2 (R n X M") thì K ỉà toán tử Hilbert - Schmidt.

1.1.3 Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.7 Cho í ì là một tập con mở của M" Không gian véc tơ Co°(íì)

bao gồm c ° ° - hàm trên í ì có giá compact trong ÍT Cùng với tô pô xác định bởi

sự hội tụ của dãy:

Dãy i p j c Co°(íì) được gọi là hội tụ về 0 trong Co°(íì), nếu tồn tại một tập compact K c íì sao cho supp í p j c íì với mọi j G N và í p j hội tụ đều trên K về

0 Co°(íì) được gọi là không gian các hàm kiểm tra (trên íì), Ký hiệu T ) { V t ) Giá supp u của một hàm u £ L 11 0 C ( cư) được xác định như là phần bù của tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, ta có thể viết:

supp u = í ì \ u{u> mở trong í ì I u \ w = 0}

Bổ đề 1.1.8 1) Cho R > r > 0 Tồn tại một hàm Xr R { X ) G ơỏ°(M") với

Định nghĩa 1.1.10 Ta nói rằng / là một hàm suy rộng trong í ì nếu / là một

phiếm hàm tuyến tính liên tục trên T > { T i ) Không gian hàm suyrộng trong

Ç } , kí hiệu là V { Ç t )

Hàm suy rộng / G T > ' {Ç Ï ) tác động lên mỗi i p G V { Ç Î ) được viết là (/, t p )

Tô pô trên V { Ç t ) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên V { Ç t )

Định nghĩa 1.1.11 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là <s (Kn) là tậphợp

S(Kn) = { < p G c° ° (Kn) I \ x a D ^ t p (æ) I < c0ijg,Vx G ir, Va,/3 G z n

+ )

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy trong <s (ir) được gọi là hội tụ đến i p G <s (Kn) nếu

lim sup ị x a D ^ t p k (æ) — x a D ß ( p (æ) I = o, Va, ß G Z"

fc-fCXD æe ]J£n

Ký hiệu S _ lim i p k = i p.

k—► 00

C M ý 1.1.12.

1 Hàm t p G c°° (Kn) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi a, ß G Z" có

ị x a D ^ t p ( x ) \ < c a ß , Va: G K" khi và chỉ khi

a) với mỗi m G z+, ß G Z" CÓ

(l + |æ| 2 ) l-D^ (a:) I < cm]/3 , Va: G K",hay

3 Với mỗi aGZỊ, phép toán đạo hàm D a là ánh xạ tuyến tính liên tục từ <s(Mn) vào <S(Mn).

4 Tập Cg° (Mn) trù mật trong không gian s (Mn)

5 Với mỗi M G N, hàm

P M { < P ) '■ = sup I (l + M2) \ D ß ( P (x)| , X G M" jxác định một nửa chuẩn trên <S(M") và họ nửa chuẩn này xác định tô pô của

Định lý 1.1.13 Không gian s (Mn ) là đầy đủ.

được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên ra và một số

dương c sao cho

I (/,<?) I < c sụp {(l + |z|2) \ D a < p {x ) \ } , V^€ĩ>(Mn)

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả các hàm

suy rộng tăng chậm Kí hiệu S ' (Mn)

C h ú ý 1.1.15.

1 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S ' (Mn) là không gian các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên s (Mn) Nói cách khác, S ' (Mn) là khônggian đối ngẫu tô pô của không gian s (Mn)

2 Tô pô trên S ' còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho

/fc, / G «S' (Mn), k = 1,2, Dãy { f k j ^ i được gọi là hội tụ trong S ' (Mn)đến hàm / G S ' (Mn), kí hiệu S ' _ lim f k = /, nếu với mọi ự > G s, dãy(/*(<?)) hội tụ về /(</?)

Định lý 1.1.16 Không gian S' (M n ) ỉà đầy đủ.

Ví dụ 1.1.17 Cho 1 < p < oo, f E L p (Mn ), ánh xạ

A/ : H> ^ (/, H>) = J f (s) H> {x)dx, <p G 5(Mn)

1"

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ / I— > A f là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất / với Af Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng là các hàm

suy rộng tăng chậm

Ví dụ 1.1.18 Hàm suy rộng ỏ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộng

tăng chậm

1.1.4 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.19 Cho —00 < s < 00 và u G L p ( W l ) , ta định nghĩa J s làtoán tử được xác định bởi

ụ a u){x) = ( 27r )^y e i x < ơ{£)ủ{£)d£,

Ta thường gọi H s , p ( W l ) là không gian Sobolev bậc s Hiển nhiên H 0 , p ( Wl ) =

L p ( R n ) Khi p = 2 thì ta ký hiệu H s ( R n ) thay cho H s , 2 ( R n )

= R”) (1.1)

Định lý 1.1.24 H s , p ỢẰn ) là không gian Banach tương ứng với chuẩn

II ■

IL.p-1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

Định nghĩa 1.2.1 Biến đổi Fourier của một hàm / G được xácđịnh bởi

f{w) = Ị e- 2 ĩ ĩ i x - w dx,w G W 1

1"

Khi ta muốn nhấn mạnh rằng biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác

động trên một không gian hàm, ta viết T f thay cho /.

Định lý 1.2.2 Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:

1 Nếu f G thì / thuộc C L (M ) và lim \f(w)\ = 0.n

I xu I —loo

2 Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian s vào chính nó và thỏa mãn

? \ x “ D ị v Kí) = ( - D ị T i e m )

với mọi đa chỉ số Oi,/3.

3 Vói phép đồng biến đổi Fourier T, xấc định bởi

Do đó T là một song ánh song liên tục từ s vào chính nó.

Định lý 1.2.3 (Plancherel).

1 Biến đổi Fourier T : <s —> s được thác triển một cách duy

nhất thành một đẳng cấu đẳng cự T2 trên L 2 (R n ) Với f,g G

2 Vói f G L 1 n L 2 thì F 2 Ị = ĩ 7 ỉ ■ Hơn nữa, với mỗi hàm f G

L 2 (R n ), dẫy (.F(1B(0 N ) f ) ) hội tụ trong L 2 (W l ) về F 2 f khi N —>

Chú ý: Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu cách khác của định

lý Hausdorff- Young như sau

1

Đặt A p = (^x)2 là hằng số Babenko- Beckner Khi đó

p V

Định nghĩa 1.2.5 cố định một hàm g Ỷ 0 (gọi là hàm cửa sổ) Khi đó biến đổi

Fourier thời gian ngắn (STFT) của một hàm / đối với g được định nghĩa bởi

V g f ( x , w ) = J f { t ) g ( x — t)e~ 2 n i t ' w dt với x,w EM n

1"

nếu tích phân đó tồn tại

Ký hiệu T x là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ X , tức là T x ( y ) = T ( x —

Dặc biệt, nếu \\g \\ L 2 = 1 thì \\f\\ L 2 = IIVp/||i2, V/ G L 2 (M ).n

Mệnh đề 1.2.10 Giả sử <7,7 G L 2 (Rn ) và (<7,7) Ỷ 0- Khi đó với mọi hàm Ị

G L 2 (R n ), ta có

f =í í V g f ( x , w)M w T x r fdwdx (1.8)

(7) 9 ) J J M2n

1.3 Biểu diễn Wigner

Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn Wigner w f của một hàm / G L 2 ( Rn) được xác địnhbởi

C hứ n g m i n h Dùng phép thế u = X + ị trong (1.9) ta thu được

(c) Với u, V, T Ị , 7 € M n , ta có

W ( T u M v f , T v M i g ) ( x , w )

— e ^i(u+v).(-y-rì) e 2wíx.(r] y) e -2wíw(u-v)-ụự^ _ u + v

w _ Đặc biệt Wf là hiệp biến, tức là

W ( T u M ĩ l f ) ( x , w ) = w f ( x - u,w - ri) (1.12)

(d) W { f , g ) { x , w ) = w (/, g ) ( — w , x )

(e) Dẳng thức Moyal: Với /ì, <71)/2) 02 e L 2 (M n ),

W ( f 2 ) g 2 ) ) L 2 { W 2 n = (/1,/2)^01,02) ■

(c) là dễ dàng tính được Vì X g = 2 g , ta có (d) sau khi dùng đẳng thức

ở đây hằng số 2 2 n triệt tiêu sau khi thế ( 2 x , 2 w ) — > ( x , w )

Trong biểu diễn Wigner chéo có một nhân tử tương tự nhân tử củaSTFT trong bổ đề ( 1.3.2 ) Đặt Ts là phép đổi tọa độ đối xứng xác định bởi T s F ( x,

t ) = F ( x + ị , X — |) và đặt F2 biến đổi Fourier theo biến thứ hai

BỐ đề 1.3.4 Cho f , g e L 2 {R n ) Khi đó W { f , g ) = F 2 T S {Ỉ ® g )

Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất giá và mật độ biên của phân bốWigner để hiểu tại sao phân bố Wigner lại được coi là biểu diễn thời gian-tần sốtối ưu

Tính chất giá Để đơn giản ta xét trường họp số chiều n = 1.

Bố đề 1.3.5 G i ả sử f € L 2 (Mn)

Nếu supp f C [a, b} thì Wig (/) (x, ca) = 0 với X Ệ [a, b}.

Nếu supp f C [CK, ß] thì Wig (/) (s, ui) = 0 với UI Ệ [CÜ, ß].

(1.13)

□

Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của / vì V g f phụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì V g f = e_27riæ ul (/ * M u g *) (æ) là tích chập của /.

Tính chất lề

BỔ đề 1.3.7 Nế u /, / G L 1 n L 2 (Kn) t h ì

Nhận xét: Từ bổ đề trên chúng ta suy ra định lý Plancherel

Như là một hệ quả của Bổ đề |l.3.7[ chúng ta suy ra một dạng yếu củanguyên lý không chắc chắn cho phân bố Wigner

âm Định lý sau của Hudson cho thấy phân bố Wigner hầu hết là không âmngoại trừ các hàm Gauss

Đặc biệt là

Ị W i g { f ) ( x , v ) d v = Ị f ( x ) Ị 2 ,

Wig (/) (z, CƯ) dxdco = 11/1

cư) G K 2nkhi và chỉ khi f ỉà một hàm Gauss tổng quát dạng

f { x ) = e

ở đây A G GL (n, C) là một ma trận khả nghịch cấp n X n trên c với phần thực xác định dương và b G C", c G c.

Để giải quyết tính dương của phân bố Wigner người ta lấy giá trị trung bình

tại từng điểm thông qua tích chập của W i g ( f ) với một hàm trơn có tâm tại

(0,0)

được xem như là giá trị trung bình của W i g ( f ) tại (z,cư) Rất khó để xác định

<7 để W i g ( f ) * <7 không âm nhưng nếu <7 là hàm Gauss thì lại thoả mãn.

Định lý 1.3.10 G i ả s ử ơ a b (X , cư) = e 2 n ^ a +“b) = t f í (z) i p b (cư)

a) Nếuah = 1 thìW i g (/) * ơ a t > 0 với mọi f G L 2 (Mn )

b) Nếuab > 1 thìWig (/) * ơ a t > 0 với mọi f G L 2 (Mn )

c) Nếuab < 1 thìWig(/) * ơ a b có thể ỉấy giá trị ăm.

Tiếptheo là nguyên lí không chắc chắn trong văn cảnh của các hàmsuy rộng trơn

Định lý 1.3.11.

a) Giả sử rằng với ơ G L 1 n L 2 (M2n ); chúng ta có

Ị Ị Wỉg (/) (x, cư)<7 (x, cư) dxdoo > 0

với mọi f G L 2 (Mn ) Khi đó ơ là liên tục và thỏa mãn

b) Nếu ơ G L 2 (M ) 2n CÓ giá compact, thì tồn tại f G L 2 (Mn ) sao cho //

N h ậ n xé t 1.3.13 Như vậy, phân bố Wigner không thể xem xét là phân bố

năng lượng trên các tập bị chặn

1.4 Lớp phân bố Cohen

Do sự thiếu hụt tính dương của phân bố Wigner và các vấn đề xảy ra sau đó

đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời gian-tần số bậc hai khác Định lí

1.5.6 cho ta một phiên bản đủ trơn của W i g ( f ) mà trì hoãn các dao động địa

phương và thoả mãn nguyên lí không chắc chắn Hệ thống hoá người ta xem xétcác biểu diễn thời gian-tần số bậc hai dưới dạng tích chập của phân bố Wigner

với một hàm hạt nhân ơ

Định nghĩa 1.4.1 Ta gọi lớp phân bố Cohen là tập hợp tất cả các biểu diễn c

(/) hoặc Qơf có dạng

C ( f ) = Q , f = W i g ( f ) * c

với ơ G 5" (M2n) được gọi là hàm hạt nhân

Sau đây ta xét một số tính chất của lớp phân bố Cohen

Tính chất:

xảy ra khi và chỉ khi

Q ơ f(x,uj)dxduj = Ị (Wigf*ơ) (x,oo)dxduj

Định lý 1.4.2 Giả sử một biểu diễn thời gian-tần số bậc hai Qf hiệp biến và liên tục yếu, tức là

Q(T X MJ) = T M Qf

Wigf (x, CƯ ) dxdoo

v

à