Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ

Mặt khác, phân bố Qfx,w xác định trên mặt phẳng thời gian - tần số X làm sáng tỏ theo một cách nào đó sự phân bố năng lượng của / cả về thời gian và tần số và được gọi là phân bố hay b

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

NỘI 2

Chu Thị Hồng Lam

VỀ BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA sổ

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng

dẫn: TS Bùi Kiên Cường

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •

Hà Nội - 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, người thầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Chu Thị Hồng Lam

Lời cam đoan

Luận văn tốt nghiệp "Về biểu diễn Wigner - cửa sổ" được hoàn thành

dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã thừa kế những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên

Chu Thị Hồng Lam

1.1.3 Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫi 1

1.1.4 Không gian Sobolev

1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngượ c

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 1.3 Biểu diễn Wigner

1.4 Lớp phân bố Cohen

1.5 Biểu diễn tích phân T-Wigner

1.5.1 Các đinh nghĩa

1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn T-Wigner 1.1.2 Khống gian L p Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1 Một số khổng gian hàm

1.1.1 Không gian Banach

Mỏ đầu Bảng kỷ hiệu và viết tắt

Mục lục

1.6 Toán tử giả vi phân

s 1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ

R n Không gian Euclide n - chiều

ư (R n ) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên M n

Ơ 00 (fi) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong íĩ

С 0°°(П) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong

Kết luận

2.1.2 Giảm bớt giao thoa trong WỈỌị

2.2 Toán tử liên kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ

2.1.1 Biếu diễn Wigner - cửa sỗ

V

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Cho trước một tín hiệu, tức là một hàm / G L2(Md) của biến thời gian X €

Rd, phân bố năng lượng của tín hiệu này theo thời gian và tần số được biểu diễn cổ điển bởi 1/(2;)|2 và |/(£)|2 tương ứng Mặt khác, phân bố Qf(x,w ) xác

định trên mặt phẳng thời gian - tần số X làm sáng tỏ theo một cách nào đó sự phân bố năng lượng của / cả về thời gian và tần số và được gọi là phân bố hay biểu diễn thời gian - tần số Một điều kiện tự nhiên được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian - tần số là

Tính dương, tức là Qf(x, w) > 0 với mọi X, w.

Tính chất không trải, tức là Nếu supp / c I với một khoảng I c Rd thì n^supp

^(/) c I ( U x là phép chiếu trực giao X — ¥ M^), và tương tự, nếu supp / c

J với một khoảng J c thì n^supp / c J.

tần số để xấp xỉ những yêu cầu trên theo một nghĩa nào đó Một lớp rộng hơn của các biểu diễn toàn phương thời gian - tần số được biết đến

là lớp Cohen Dạng tổng quát của lớp Cohen là

có nhiều cố gắng tìm kiếm những biểu diễn thời gian

tần số nhằm giảm thiểu hiện tượng này (xem [|J) Lớp Cohen chính là một cách

để lọc của biến đổi Wigner, bởi khi chọn nhân ơ phù hợp hiện tượng giao thoa

sẽ giảm ( [14J ) ở đây, bằng cách cải biên biến đổi Wigner bởi hai biến đổi Wigner - cửa sổ xác định bởi:

và để thực hiện luận văn tốt nghiệp, được sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài về biểu diễn Wigner - cửa sổ

2. Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của một số biểu diễn thời gian - tần số và toán tử giả vi phân trong tương thích với một số lớp giải tích thời gian - tần số

+ Hệ thống hóa việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử giả vi phân tương thích với một số lớp giải tích thời gian - tần số

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tần số đó

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử giả vi phân.+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5. Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, giải tích điều hòa để tiếp cận vấn đề

4- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6. cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Biểu diễn Wigner - cửa sổ

7. Những đóng góp của đề tài

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tần số đó

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu

1.1Một số không gian hàm

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach là các không gian vectơ định chuẩn đầy

đủ Điều này có nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V trên trường số thực hay phức với một chuẩn ||.|| sao cho mọi dãy Cauchy

(tương ứng với metric d(x,y ) = ||a; — y\\) có giới hạn trong V.

1.1.2 Không gian ư

Định nghĩa 1.1.2 Cho một không gian E và một độ đo fi trên một ơ

đại số T trên các tập con của E Họ tất cả các hàm số / (X) có luỹ thừa bậc p (1

< p < oo) của mô đun khả tích trên E, tức là

J \ỉ\pdịi < oo

E

gọi là không gian L p (E, ụ).

Khi E là tập đo được Lebesgue trong R k , và ịi là độ đo Lebesgue,

1

thì ta viết ư (E).

Không gian ư (E,ịi), trong đó ta không phân biệt các hàm tương

đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian véc

tơ định chuẩn, với chuẩn xác định bởi:

M sao cho I/ (:r)| < M hầu khắp X G ri Đặc biệt L1 (fỉ) là không gian các hàm

có tích phân hội tụ tuyệt đối với

\ \ f \ \ L ' ( ũ ) = Ị \ f ( x ) \ d x ũ

Định nghĩa 1.1.4 Cho H là một không gian Hilbert Toán tử tuyến tính liên tục

A : H —»• H được gọi là toán tử Hilbert - Schmidt nếu tồn tại một cơ sở trực chuẩn (ej) của H sao cho ll^"'ejl|2 < °°-

Mệnh đề 1.1.5 Mọi toán tử Hilbert - Schmidt đều là toán tử compact.

Mệnh đề 1.1.6 Nếu K ỉà toán tử tích phân trên L2(M n) với nhân K(x,y)

€E L2(Rn X Rn) thì K là toán tử Hilbert - Schmidt.

1.1.3 Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.7 Cho ri là một tập con mở của Mn Không gian véc tơ C^°(ri)

bao gồm c°°- hàm trên ri có giá compact trong Q Cùng với tô pô xác định bởi

sự hội tụ của dãy:

Dãy (Pj c ơ^°(íỉ) được gọi là hội tụ về 0 trong C™(Q), nếu tồn tại

một tập compact K c íỉ sao cho supp (fj c với mọi j G Nvà<fj hội

tụ đều trên K về 0 C^°(ri) được gọi là không gian các hàm kiểm tra (trên íỉ),

Ký hiệu V(ũ).

Giá supp u của một hàm u £ Lị ioc(uj) được xác định như là phần bù của tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, ta có thể viết:

supp u = íỉ \ u{iư mở trong íĩ I u\ w = 0}

Bổ đề 1.1.8 1) Cho R > r > 0 Tồn tại một hàm X T R(X) € ơ^°(Mn) với

các tính chất :

Xr,R = 1 với |z| < r XrĩR e

[0; 1] vói r < \x\ < R Xr,R

= 0 với |x| > R.

2) Tồn tại hàm h e ơ£°(Mn) thỏa mẫn:

supp h = 5(0,1), h(x) > 0 với |ícI < 1, Ị h(x)dx = 1.

Định lý 1.1.9 Ánh xạ da : (p !->■ daip là một toán tử tuyến tính liên tục trong T>{ỹi) Điều này cũng đúng cho Da.

Với mọi f £ ơ°°(rỉ) ánh xạ Mf : <f I—^ f(f là một toán tử tuyến tính liên tục trong viyì).

Định nghĩa 1.1.10 Ta nói rằng / là một hàm suy rộng trong ri nếu / là một

phiếm hàm tuyến tính liên tục trên viyì) Không gian hàm suy

rộng trong Г2, kí hiệu là tyịyì).

Hàm suy rộng / G V'(íì) tác động lên mỗi Ц) G V(íì) được viết là (/, íp) Tô

pô trên V'(íl) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên V(íì)

Định nghĩa 1.1.11 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là s (Rn) là tập

hợp

S(Rn) = {<p e c°° (Mn) \\xaDßip{x)\ < ca,ß,Vx <E Rn,Va,ß G zn+ }

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ự>k}kLi trong <s (M71) được gọi là hội tụ đến If G s (Ш п ) nếu

lim sup \x a D^ip k (ж) — x a D^ip (ж) I = 0, \/a,ß € Z”.

Định lý 1.1.13 Không gian s (Rn) là đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.14 Cho hàm suy rộng / e V(M n ) Hàm suy rộng / được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương С sao

cho

I ự, i f ) I < с sup { (l + H2)” \ D ‘ t p 0r)|} , Vy? e V (R”).

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả các hàm

suy rộng tăng chậm Kí hiệu S' (Mn).

Chú ý 1.1.15.

Không gian hàm suy rộng tăng chậm S' (Mn) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên s (Rn) Nói cách khác, S' (Mn) là không gian đối ngẫu

tô pô của không gian s (IRn).

Tô pô trên s 1 còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho fk, f G s 1

(Rn), к = 1,2, Dãy {fk}î = 1 được gọi là hội tụ trong <S' (Mn) đến hàm f £ S' (Kn), kí hiệu «S'_ lim fỵ — f, nếu với mọi <f E s, dãy ựk(<p)) hội tụ về f{(p).

Định lý 1.1.16 Không gian S' (IRn) là đầy đủ.

Ví dụ 1.1.17 Cho 1 < p < 00, / € L p (Mn), ánh xạ

A/ : ^ (/,¥>) = J f ( x ) ¥ {x)dx, ip € <S(Mn).

R"

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ / I—> A/ là đơn ánh nên ta có thể

đồng nhất / với AỊ Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng là các hàm suy

rộng tăng chậm

Ví dụ 1.1.18 Hàm suy rộng ỏ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộng tăng

chậm

1.1.4 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.19 Cho —oo < s < oo và u e L p (M n ), ta định nghĩa J s là toán

Ta thường gọi H s , p (R n ) là không gian Sobolev bậc s Hiển nhiên H ữ , p (R n) =

Lp(Mn) Khi p = 2 thì ta ký hiệu H s (M.n) thay cho H s , 2 (W l ).

Mệnh đề 1.1.21 J s u = T~ x ^1 + |^|2^ Tu, với mọi u € <S'(Mn).

Mệnh đề 1.1.22 Giả sử u € <S'(Rn) Khi đó (i) JgJịU — Jg+ịU,

(ỉỉ) JQU = u.

Định lý 1.1.23 Jị là một phép đẳng cự từ Hs,p(Wl) vào Hs+t,p(M.n) Nghĩa là,

Định lý 1.1.24 Hs,p(M.n) ỉà không gian Banach tương ứng với chuẩn

1.2Biến đổi Fourier

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

Định nghĩa 1.2.1 Biến đổi Fourier của một hàm / e L1(Mn) được xác định bởi

RnKhi ta muốn nhấn mạnh rằng biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác

động trên một không gian hàm, ta viết Tf thay cho /.

Định lý 1.2.2 Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:

Biến đổi Fourier ỉà một toán tử tuyến tính ỉiên tục từ không gian s vào chính nó và thỏa mãn

(1.1)

dx, w G Mn

với mọi đa chỉ số cc, /3.

3 Vói phép đồng biến đổi Fourier T, xác

Chú ý: Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu cách khác của định

lý Hausdorff- Young như sau

1

Đặt Ap = (^x)2 là hằng số Babenko- Beckner Khi đó

pp

1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

Định nghĩa 1.2.5 cố định một hàm g ф 0 (gọi là hàm cửa sổ) Khi đó biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của một hàm / đối với g được định nghĩa bởi

Vgf(x,w ) = J f(t)g(x — t)e~2'ïïit'w dt với x,w e Rn

Rnnếu tích phân đó tồn tại

Ký hiệu T x là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ X, tức là T x (y) = T{x — y)

và Mệ là phép xoay xác định bởi Mçu(x) = e 2 ĩ r i x ^u(x).

Bổ đề 1.2.6 Nếu f,g£ L2( Rn) thì Vgf liên tục đều trong R2n và

với X, u,w,ĩ) G Rn Đặc biệt:

IVg{TuMvĩ)\ = IVgf(x -u,w- TỊ)\.

Tương tự công thức Paseval ta có quan hệ trực giao của biến đổi Fourier thời gian ngắn

Định lý 1.2.8 Giả sử /i,/2,ỡi,í?2 € L 2 (Mn), khi đó Vg.fj £ L 2 (M2n) với j = 1,2 và

(^1/ь^а/2>£2(К2») = (Л,/2> (91,92)- (1.7)

Hệ quả 1.2.9 Nếu f,geL2 (ir) thì \\Vgf\\L2 = ỵịịM^- Dặc

biệt, nếu \\g\\ L 2 = 1 thì \\f\\ L 2 = \\Vgf\\L2, V/ <E L2 (Mn)

Mệnh đề 1.2.10 Giả sử g, 7 € L2(Mn) và (g, 7) ^ 0 Khỉ đó với mọi h à m f

€ L 2 (M n ) ; t a c ó

(7:9) J JR2n

1.3Biểu diễn Wigner

Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn Wigner wf của một hàm / £ L 2 (M n ) được xác

Chứng minh Dùng phép thế u = X + I trong (1.9) ta thu được

Mệnh đề 1.3.3 Với f,g e L2(Mn), biểu diễn Wigner chéo có các tính chất sau:

(a) w(f,g ) là liên tục đều trong M2n và

Dặc biệt wf là hiệp biến, tức là

(d) W{f,g){x,w ) = Wự,g)(-w,x)

(e ) Đẳng thức Moyal: Với /i, gi, /2, #2 € L2(M.n),

(W {fи дг),\у {f 2, g2)} 2 2n =

(fij2}(vgug2)-Chứng minh Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.3.2) Phần (b) và

(c) là dễ dàng tính được Vì Xg = Xg, ta cĩ (d) sau khi dùng đẳng thức Parseval

trong bổ đề (1.3.2) Đặt % là phép đổi tọa độ đối xứng xác định bởi T s F(x, ì)

= F(x + ị, X — ị) và đặt biến đổi Fourier theo biến thứ hai.

Nếu supp f Ç [a, 6] thì Wig (/) (x,uj) = 0 với X ị [a, 6].

Nếu supp f Ç [a, ß] thì Wig (/) (X,Où) = 0 với UI Ệ [cc,ß\.

Nhận xét 1.3.6 Ta thấy phân bố Wigner bảo toàn tính chất giá của / và / Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của / vì Vgf phụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì Vgf = e~ 2 l T Ì X - u l (/ * М ш д*) (X) là tích chập của /.

Tính dương Từ bổ đề 1.5.3 chúng ta thấy phân bố Wigner thoả mãn hầu hết các tính chất của một biểu diễn thời gian-tần số lí tưởng Tuy nhiên, để giải thích như một mật độ năng lượng hay mật độ xác suất đồng thời thì nó phải không âm Định lý sau của Hudson cho thấy phân bố Wigner hầu hết là không

âm ngoại trừ các hàm Gauss

14

Định lý 1.3.9 Giả sử f € L 2 (Rn) Khi đó Wig (/) ( X , C J ) > 0 với mọi

(x,ui) G M2n khi và chỉ khi f là một hàm Gauss tổng quát dạng

ở đây A G GL (tỉ, C) l à một m a trận khả nghịch cấp n X n trên c v ớ i

phần thực xác định dương và b G cn, c G c

Để giải quyết tính dương của phân bố Wigner người ta lấy giá trị trung bình

tại từng điểm thông qua tích chập của Wig(f) với một hàm trơn có tâm tại

(0,0)

được xem như là giá trị trung bình của Wig(f) tại (X,ÍV) Rất khó để xác định

ơ để Wig(f) * ơ không âm nhưng nếu ơ là hàm Gauss thì lại thoả mãn.

Đinh lý 1.3.10 Giả sử ơ a b (x,uj) = e ^ ° b' = ip ọ (x) ifb (cư)’ 2 2

a) Nếu ab = 1 thì Wig (/) * ơa 6 > 0 với mọi f G L2 (Rn)

b) Nếu ab > 1 thì Wig (/) * ơa b > 0 với mọi ĩ G L2 (Mn)

Nếu ab < 1 thì Wig (/) * ơa 6 có í/lể lấy giá trị âm.

Tiếp theo là nguyên lí không chắc chắn trong văn cảnh của các hàm suy rộng trơn

Định lý 1.3.11

a) Giả sử rằng với ơ € L1 n L2 (M2n), chúng ta có

ỊỊ wig (/) (x, U))ơ (a;, ù) dxduú > 0

R2"

vôi mọi f G L2 (Mn) Khi đó ơ là liên tục và thỏa mãn

Nhận xét 1.3.13 Như vậy, phân bố Wigner không thể xem xét là phân bố

năng lượng trên các tập bị chặn

1.4Lớp phân bố Cohen

Do sự thiếu hụt tính dương của phân bố Wigner và các vấn đề xảy ra sau đó

đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời gian-tần số bậc hai khác Định lí

1.5.6 cho ta một phiên bản đủ trơn của Wig(f ) mà trì hoãn các dao động địa

phương và thoả mãn nguyên lí không chắc chắn Hệ thống hoá người ta xem xét các biểu diễn thời gian-tần số bậc hai dưới dạng tích chập của phân bố

Wigner với một hàm hạt nhân ơ.

Định nghĩa 1.4.1 Ta gọi lớp phân bố Cohen là tập hợp tất cả các biểu diễn c (/) hoặc Q ơ f cố dạng

Wig (/) (æ, OJ)Ơ (æ, OJ) dxdív < 0.

V

V

c (/) = Q ơ f = Wig (/) * ơ với ơ e S' (M2n) được gọi là hàm hạt nhân.

Sau đây ta xét một số tính chất của lớp phân bố Cohen Tính

chất:

Cho f,g e L 2 (Rn) ,ơ£S' (Mn) thì lớp phân bố Cohen có các tính chất

sau:

2 Đẳng thức

Rxảy ra khi và chỉ khi

Định lý 1.4.2 Giả sử một biểu diễn thời gian-tần số bậc hai Qf hiệp biến và liên tục yếu, tức là

1.5Biểu diễn tích phân T-Wigner

Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy một tần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số này được gọi là tần số ảo hoặc tần

số giao thoa Điều này tạo ra những khó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật

lí của phân bố Wigner Từ đó, người ra mở rộng nghiên cứu phân bố T-Wigner

phụ thuộc tham số T £ [о, 1].

1.5.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.5.1 Với TE [0,1], f, g & s (Kn), phân bố T-Wigner của hàm /

kí hiệu Wig T (/) được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.5.3 Một biểu diễn thời gian tần số Ỹ (/) ( X , U J ) được gọi là

thỏa mãn điều kiện tính chất lề thời gian và tần số, điều kiện bảo toàn năng lượng nếu

với mọi / G L 2 (Mn)

Định nghĩa 1.5.4 Giả sử H (supp /) là bao lồi của suppf và H ^supp / là bao

lồi của supp / Giả sử lia; và nw là những phép chiếu trực giao theo thành phần

thứ nhất và thứ hai trong M" X M” tương ứng Một biểu diễn ^ được gọi là có

1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn T-Wigner Định lý

1.5.5 Với TỄ [0,1], /, g € s (Rn), chúng ta có

ỉ Wigi-T if,g) = WigT (gj).

Wigi-r Ự) (Uỉ, -X) = WỉgT (/) (x,ửj).

Chứng minh.

Dễ thấy khi chúng ta thay T bởi 1 — T trong (1.18)

2 Sử dụng công thức biến đổi Fourier và

R3n

= /e—V(* + T ĩ)/ (*-(l-r) ^

= Wí0T (/) (x,w)

Từ phần 1 của Định lý 1.5.5 chúng ta thấy Wigi-r (/) vàWig T (/)

là hai số phức liên hợp của nhau, do đó, Wig T (/) chỉnhận giá trị thực

Wigi = Wig (Phẫn bố Wigner).

Wigo = R (Biểu diễn Rihaczek).

Wigi = R* (Biểu diễn R liên hợp).

Chứng minh Bằng cách thay lần lượt r bằng |,0,1 vào (1.17) và đổi biến lấy

Sau đây chúng ta nghiên cứu một số tính chất của biểu diễn T-Wigner

Định lý 1.5.8 Biểu diễn T-Wigner thỏa mãn điều kiện phẫn phối biên với mọi T €E [0,1].

p = X + Tt và q = X — (1 — r) t thì X = rq + (1 — r) p, với p, q € supp /

và X e H (supp /), điều này dẫn đến

11,supp Wí0T (/) c H (supp /)

Để có

nwsupp Wig T (/) c H (supp fj

ta áp dụng Định lý 1.5.5 và chứng minh tương tự như trên □

Do đó Wig 1 thuộc lớp Cohen.

+ Trường hợp r Ỷ \- Áp dụng T~ x (A* B) = (T~ X B) vào fll.25| ) chúng ta được F~ l (Wig r (/, g)) (í, í) = (J-V) (í, t)-T~ l (Wig (/, s)) (í,

í) (1.27) với mọi f,g £ s (Mn) Bây giờ chúng ta tính từng số hạng ở vế phải

của

Định lý 1.5.12 ơỉả sử T & [0,1] cố định, thì WigT có thể được sử dùng

để biểu thị toàn bộ lớp Cohen, nghĩa là mọi biểu diễn c trong lớp Cohen có thể được viết dưới dạng

c (/) = o' * Wỉg T (/)

vói ơ' G S' (M2n) phù hợp.

Chứng minh Giả sử c (/) = ơ * Wig (/) với ơ € S' (M2n) là biểu diễn của c

(/) trong lớp Cohen Theo Định lý 1.7.5 thì

Wig T (/) = ov * Wig (/).

Mà ta có Ơ T * Ơ ị — T — ỗ

Nên

<7i_T * Wig T (/) = Wig (/).

Thay vào biểu diễn của c (/) ta được

c (/) = (ơ * <7i_T) * Wig T (/)