Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

Lí do chọn đề tài Biến đổi Fourier chứa tất cả các thông tin về một tín hiệu,nhưng một vài thông tin, ví dụ thời gian mà tần số xuất hiện trong tínhiệu, được ẩn đi trong những pha phức t

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn

và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Mục lục

1.1 Biến đổi Fourier 1

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 1

1.1.2 Các toán tử cơ bản 3

1.1.3 Biến đổi Fourier và đạo hàm 5

1.1.4 Hàm Gauss và định lý Plancherel 7

1.2 Giải tích thời gian – tần số và nguyên lý không chắc chắn 11

1.2.1 Giải tích thời gian–tần số 11

1.2.2 Nguyên lý không chắc chắn 13

1.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 19

1.4 Ảnh phổ và phân bố Wigner 27

1.4.1 Ảnh phổ 27

1.4.2 Phân bố Wigner 28

1.4.3 Lớp phân bố Cohen 34

1.5 Biểu diễn thời gian - tần số kiểu τ -Wigner 36

1.5.1 Các định nghĩa 36

1.5.2 Các định lý và tính chất của biểu diễn τ -Wigner 37

1.5.3 Biểu diễn bằng hình vẽ 46

2 Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian – tần số 49 2.1 Biểu diễn W ig U và tính chất của nó 49

2.1.1 Hạn chế của hàm suy rộng Wigner cổ điển 49 2.1.2 Biểu diễn W igU 50 2.1.3 Tính chất 51 2.2 Giải thích nhiễu bằng đồ thị và ứng dụng trong mã hóa tín hiệu 60

|z| : Mô đun của số phức z.

C∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn.

kf kLp : Chuẩn trong không gian Lp(Ω),

kf kLp =



 Z

C0k(Ω) : Tập các hàm trong Ck(Ω) có giá compact.

C0∞(Ω) : = ∞∩

k=0 Cok(Ω).

X[a,b]: Hàm đặc trưng trên [a, b].

D (Ω) : Không gian các hàm cơ bản.

D0(Ω) : Không gian hàm suy rộng.

S (Rn) : Không gian các hàm giảm nhanh.

S0(Rn) : Không gian các hàm suy rộng tăng chậm.

F −1 (f ) : Biến đổi Fourier ngược của hàm f

F2 : Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai

của hàm f trên R2n với F2 =

Z

Rn

f (x, t) e−2πitωdt.

Txf : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và Txf (t) = f (t − x).

Mωf : Sự điều biến theo ω của hàm f



Vgf : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với

W ig (f ) : Phân bố Wigner của hàm f

W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g.

Qσf : Lớp phân bố Cohen.

W igτ(f ) : Phân bố τ -Wigner của hàm f

W igτ(f, g) : Phân bố τ -Wigner chéo của hàm f và g.

R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f , g.

R∗(f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f , g.

SP ECgf, Spgf : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g.

Spφ,ψ(f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f , g đối với hàm cửa sổ φ, ψ.

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Biến đổi Fourier chứa tất cả các thông tin về một tín hiệu,nhưng một vài thông tin, ví dụ thời gian mà tần số xuất hiện trong tínhiệu, được ẩn đi trong những pha phức tạp Một trong những mục đíchchính của giải tích thời gian-tần số trong 50 năm cuối đã được xác địnhthích hợp những sự điều chỉnh “hai biến” của biến đổi Fourier mà thôngtin về cả thời gian và tần số chứa trong tín hiệu được tạo ra chi tiết.Chúng là những hàm hoặc hàm suy rộng Q (f ) (x, w) phụ thuộc vào thờigian x ∈ Rn và tần số ω ∈ Rn, phụ thuộc theo bậc hai trên tín hiệu f

và có giải thích theo vật lý như phân bố năng lượng hoặc tín hiệu trôngkhông gian thời gian-tần số Rnx× Rn

ω Một vấn đề chính trong phân tíchtín hiệu là trong sự biểu diễn của chúng thường xuyên có vài loại hiệntượng giả (cũng được biết như “nhiễu” hoặc “tần số ma”) xuất hiện trongnhững vùng của mặt phẳng thời gian-tần số, ở đó tín hiệu chứa trongnăng lượng không thực Ta mong muốn loại trừ hoặc ít nhất rút gọn mặthạn chế này, cần thiết đưa ra đa dạng các phương pháp và định nghĩatrong nhiều cách biểu diễn khác nhau

Trong thực tế, một trong những trở ngại chính của giải tíchthời gian-tần số được liên kết với nguyên lý bất định cổ điển, sự phân

bố năng lượng của những tần số một tín hiệu không thể được tập trungtrong những tập quá nhỏ trên mặt phẳng thời gian-tần số Vì nguyên

lý bất định, trong sự thành lập các công thức khác nhau của nó, sẽ làkhông khả thi để xây dựng sự biểu diễn tốt nhất, điều đó có thể đượchình thức hóa trong rất nhiều cách Một công thức dễ dàng là, đưa ramột tín hiệu f (t), một sự biểu diễn thời gian-tần số bậc hai Q (f ) (x, ω)

đã xác định, không thể thỏa mãn cùng lúc tính dương, tính chất giá

và điều kiện phân phối biên Bên cạnh hàm suy rộng Wigner cổ điển,xem xét những biểu diễn khác của kiểu Wigner, ví dụ dạng τ −Wigner.Những biểu diễn τ −Wigner đã được nghiên cứu trong sự kết nối vớinhững toán tử giả vi phân Weyl, kiểu Wigner cổ điển là một trường hợpđặc biệt với τ = 12 Tất cả những sự biểu diễn kiểu Wigner này thỏa mãntính chất giá và điều kiện phân phối biên nhưng không dương Định lýHudson trong trường hợp đặc biệt mà kiểu Wigner cổ điển là dương chỉtrên những tín hiệu kiểu Gausian

Xác định một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn tínhchất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những tần

số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳng thờigian-tần số là một vấn đề hấp dẫn, vì thế tôi lựa chọn đề tài:

"Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt

phẳng thời gian-tần số"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các biểu diễn Wigner khi liên kết với những biếnđổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và tính chất của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãntính chất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những

tần số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳngthời gian-tần số.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyếntính của mặt phẳng thời gian-tần số

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu đặc trưng của giải tích hàm.Phương pháp phân tích, tổng hợp

6 Dự kiến đóng góp mới

Định nghĩa một sự biến đổi của kiểu Wigner phụ thuộc vào mộtbiến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và đưa ra các tínhchất tương ứng

Giải thích sự xuất hiện của tần số ma trong tín hiệu bằng hìnhhọc tự nhiên bởi sự biểu diễn Wigner bậc hai

2 Ta dùng kí hiệu F (f ) khi muốn nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier

là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1(Rn)

3 Ngoài cách định nghĩa biến đổi Fourier như trên, ta còn có thể định

nghĩa biến đổi Fourier theo một cách khác như sau:

4 Nếu f là một tín hiệu, đối với kĩ sư, thì ω là tần số và bf (ω) được hiểu

là biên độ của tần số ω của tín hiệu f Trong vật lý, ω được gọi là biếnđộng lượng và fb

−2

L 2

f (ω)b

f (ω)b

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử H (suppf ) là bao lồi của suppf và H

supp bf



là bao lồi của supp bf Giả sử Πx và Πω là những phép chiếu trực giaotheo thành phần thứ nhất và thứ hai trong Rnx × Rn

ω tương ứng Mộtbiểu diễn Ψ được gọi là có tính chất giá nếu

ΠxsuppΨ (f ) ⊆ H (suppf )và

ΠωsuppΨ (f ) ⊆ H supp bf

Để thu được thông tin về các tính chất địa phương của tín hiệu f ,đặc biệt về một số “phổ tần số địa phương”, chúng ta thu hẹp f vào mộtđoạn và lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thờigian – tần số gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn Lý thuyết của giảitích thời gian – tần số hầu hết dựa trên biến đổi Fourier thời gian ngắn

vì đa số các biểu diễn thời gian – tần số khác đều có thể được diễn đạttheo quan điểm của biến đổi Fourier thời gian ngắn

Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi hàm ϕ ∈ L2(Rn) triệt tiêu bên ngoài mộtkhoảng hữu hạn là hàm cửa sổ.

Định nghĩa 1.3.2 Cố định một hàm cửa sổ g 6= 0, khi đó biến đổiFourier thời gian ngắn của hàm f đối với g, kí hiệu là Vgf , được xácđịnh như sau

1 Nếu g có giá compact với tâm của giá được đặt tại gốc thì Vgf (x, ·)

là biến đổi Fourier trên một đoạn của f với tâm trong một lân cận của

x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục Ox đến những vị trí khácnhau Do đó biến đổi Fourier thời gian ngắn thường được gọi là “Biếnđổi cửa sổ trượt”

2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn tuyến tính theo f và tuyến tính liênhợp theo g Thông thường hàm cửa sổ g được giữ cố định và Vgf đượcxem như là một ánh xạ tuyến tính từ các hàm xác định trên Rn tới cáchàm trên R2n Rõ ràng Vgf và các tính chất của ánh xạ f 7→ Vgf phụthuộc chủ yếu vào việc chọn hàm cửa sổ g

Bổ đề tiếp theo cung cấp một vài cấu trúc tương đương hữu dụng củabiến đổi Fourier thời gian ngắn

Bổ đề 1.3.1 Nếu f, g ∈ L2(Rn) thì Vgf liên tục đều trên R2n và

Vgf (x, ω) = (f.Txg)b(ω) (1.22)

=Db

f Tωbg





t − x2

f với một chuyển dịch thời gian – tần số

2 Công thức (1.26) là đồng nhất thức cơ bản của giải tích thời gian –tần số Nó kết hợp cả f và bf trong một biểu diễn thời gian – tần số đồngthời Trong biểu diễn này, biến đổi Fourier tương đương với một phépquay mặt phẳng thời gian – tần số bởi góc π2

Định nghĩa 1.3.3 Cho φ ∈ L2(Rn), hàm φ được gọi là nửa song tuyếntính phức nếu với mọi x, y, z ∈ Rn và với mọi c1, c2 ∈ C thì

φ (c1x + c2y, z) = c1φ (x, z) + c2φ (y, z)và

φ (x, c1y + c2z) = c1φ (x, y) + c2φ (x, z)

Bổ đề 1.3.1 nhấn mạnh tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier thờigian ngắn trong trường hợp hàm cửa sổ g cố định Ngoài ra, biến đổiFourier thời gian ngắn có thể được xem như là dạng nửa song tuyến tínhphức (f, g) 7→ Vgf Cho

Với bổ đề 1.3.2, miền của biến đổi Fourier thời gian ngắn có thể được

mở rộng hơn nữa Cả hai toán tử Ta và F2 là những phép đẳng cấu trên

|Vg(TuMηf ) (x, ω)| = |Vgf (x − u, ω − η)|

Biến đổi Fourier thời gian ngắn được thừa hưởng một vài tính chấttương tự tính chất ấy theo biến đổi Fourier gốc Định lý sau về tích

vô hướng của biến đổi Fourier thời gian ngắn tương ứng với công thứcParseval

Định lí 1.3.4 (Các quan hệ trực giao đối với biến đổi Fourier thời gianngắn) Giả sử f1, f2, g1, g2 ∈ L2

(Rn), khi đó Vgjfj ∈ L2

R2n
với j = 1, 2và

hVg1f1, Vg2f2iL2 (R 2n ) = hf1, f2i hg1, g2i (1.31)Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.2 và tính chất unita của các toán tử F2 và

Ta trên L2 R2n
thì ta có mối quan hệ trực giao sau

hVg1f1, Vg2f2iL2

(R 2n ) = hF2Ta(f1 ⊗ g1) , F2Ta(f2 ⊗ g2)iL2 (R 2n )

= h(f1 ⊗ g1) , (f2 ⊗ g2)iL2 (R 2n )

= hf1, f2iL2 (R n )hg1, g2iL2 (R n ).Định lý được chứng minh

tự như công thức ngược của biến đổi Fourier Tuy nhiên, trong biến đổiFourier ngược, hàm sơ cấp e2πix.ω không thuộc L2(Rn), trong khi ở Hệquả 1.3.2 hàm sơ cấp MωTxγ là hàm tốt đặc biệt trong L2(Rn).

Mệnh đề 1.3.6 (Nguyên lý không chắc chắn yếu đối với biến đổi Fourierthời gian ngắn) Giả sử rằng kf kL2 = kgkL2 = 1, U ⊆ R2n và ε > 0 saocho

Chứng minh Giả sử p0 là chỉ số liên hợp của p được xác định bởi 1p+p10 =

1 Vì 2 6 p < ∞ nên 1 6 p0 6 2 Dùng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz

ta có

f.Txg ∈ L1(Rn) Mặt khác, Vgf (x, ω) = (f.Txg)b(ω) ∈ L2 R2n
(do (1.22))

Từ định lý Fubini thì

(f.Txg)b∈ L2(Rn)với hầu hết x ∈ Rn, suy ra f.Txg ∈ Lp0(Rn) với hầu hết x Từ bất đẳng

thức Hausdorff – Young (Định lý 1.1.3) suy ra

=



Z

6 Anp 0



Z

= Anp0



Z

= Anp0



|f |p0 ∗ |g∗|p0(x)

p01,

ở đây Ap 0 =

(p0)p01p−p01

Rn



Z

6 Anp 0



Z

Rn



|f |p0 ∗ |g∗|p0(x)

p p0

dx





1 p

(1.33)

= Anp0 |f |p0 ∗ |g∗|p0

1 p0

L

p p0

Áp dụng bất đẳng thức Yong cho các hàm |f |p0 và |g∗|p0 ∈ L2p (Rn) với

bộ ba (p, q, r) được thay thế bởi (s, s, t) trong đó s = p20 > 1, t = pp0 (chú

s A

n p0

t 0 kf kL2kgkL2

=  2p

2np(kf kL2kgkL2)2|U |p−2p

Do đó với mọi p > 2 ta có |U | > (1 − ε)p−2p p

2

p−22n.Khi p = 4, bất đẳng thức trên trở thành |U | > (1 − ε)22n

Chú ý 1.3.10 Nếu lấy ε = 0 trong Định lý 1.3.9 thì ta sẽ được mộtràng buộc yếu đối với giá của Vgf :

|sup Vgf | > lim

p→2+

p2

p−22n

= en

1.4.1 Ảnh phổ

Định nghĩa 1.4.1 Cho g ∈ L2(Rn) là một hàm cửa sổ sao cho kgkL2 =

1 Ảnh phổ của f đối với g, kí hiệu là SP ECgf hoặc Spgf , được xácđịnh bởi

SP ECgf (x, ω) = |Vgf (x, ω)|2.Nhận xét 1.4.1

1 Ảnh phổ có tính chất không âm, hiệp biến và bảo toàn năng lượng,tức là

• SP ECgf (x, ω) > 0, ∀x, ω ∈ Rn

• SP ECg(TuMηf ) (x, ω) = SP ECgf (x − u, ω − η) (do Bổ đề 1.3.3)

2 Từ Định nghĩa 1.4.1, ta thấy ảnh phổ kế thừa tất cả các thuộc tính

từ biến đổi Fourier thời gian ngắn

1.4.2 Phân bố Wigner

Phân bố Wigner đáp ứng hầu hết các thuộc tính được mong đợi từmột biểu diễn thời gian – tần số lý tưởng và có thể được hiển thị tối ưuđối với một số tiêu chí Ta xem xét một số thuộc tính đã làm nó thànhbiểu diễn thời gian – tần số phổ biến nhất trong giải tích tín hiệu

Định nghĩa 1.4.2 Phân bố Wigner của một hàm f ∈ L2(Rn), kí hiệu

f



x − t2

g



x − t2



e−2πiω.tdt (1.35)Nhận xét 1.4.2 Phân bố Wigner chéo là biến đổi Fourier thời gian

và bf vào hàm đơn giản, gọi biểu diễn thời gian? ? ?tần số Vậymục tiêu giải tích thời gian? ? ?tần số đưa phổ tần số tức thời tạithời điểm... thuật tốn để tính tốn nhanh biến đổi Fourier kĩ thuật số, nhưng khơng thể thực theo thời gian thực Tất liệucần thiết phải lưu trữ nhớ trước rời rạc biến đổiFourier nhanh tính

Như dù có sử... điều biến cho eiωx,một nhiễu điểm trục x lan truyền qua toàn

bộ trục ω Mặt khác thực biến đổi Fourier, mộtthời điểm tích phân đánh giá tần số Mặc dù cónhững thuật tốn để tính