Một số vấn đề về biểu diễn đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt

Với mục đích tiếp cận và học hỏi một số vấn đề hiện đại của Toán học,trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu những vấn đề cơ bản của Đại số Lie,nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp của nhóm

LờI NóI ĐầU

Lý thuyết nhóm Lie đã và đang đợc rất nhiều nhà Toán học nghiên cứu.Các vấn đề về nhóm Lie có ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong toán học màcòn đợc sử dụng nh một công cụ để nghiên cứu các ngành khoa học khác, đặcbiệt là trong Vật lý (vật lý lý thuyết, cơ học lợng tử…).)

Với mục đích tiếp cận và học hỏi một số vấn đề hiện đại của Toán học,trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu những vấn đề cơ bản của Đại số Lie,nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie Ngoài ra, trong luận văn nàychúng tôi xây xựng đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt cùng với nhómcon dừng( nhóm con ổn định) của nhóm tuyến tính đặc biệt ứng với các phần tử

cụ thể nh là một minh hoạ cho các vấn đề lý thuyết đã đa ra

Luận văn đợc chia thành 4 mục:

liên quan đến đa tạp khả vi: khái niệm đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, vectơ tiếp xúc,không gian tiếp xúc, trờng vectơ trên đa tạp, vi phân của ánh xạ khả vi

chất cơ bản của lý thuyết Đại số Lie nhằm phục vụ cho mục sau

bản nhất của nhóm Lie, đại số Lie của nhóm Lie

Đ4 Cấu trúc của quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt: Trong mục này chúng tôi trình bày các vấn đề về biểu diễn đối phụ hợpcủa nhóm Lie nói trên (trong 4.1), sau đó chúng tôi xây dụng biểu diễn đối phụhợp của nhóm tuyến tính đặc biệt và nhóm con ổn định ứng với một phần tử cố

định đã cho (trong 4.2 và 4.3)

Luận văn này đợc hoàn thành tại trờng đại học Vinh với sự hớng dẫn tận

tình của thầy giáo Trơng Chí Trung Nhân đây tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn

chân thành đến thầy

Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cảm ơn khoa Toán, các thầy giáo bộmôn Hình học của Khoa đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành luận văn này

Vinh tháng 4 năm 2005

Với f i là các hàm thành phần của f (i = 1, 2,…)., k) Nếu f i (i = 1, 2,…)., k) có đạo

hàm riêng mọi cấp thì f đợc gọi là khả vi.

Lu ý rằng nếu không nói gì trái lại thì “tính khả vi” trong luận văn này đợc hiểu theo nghĩa tồn tại đạo hàm riêng cấp bất kỳ

1.1.2 Định nghĩa Không gian Haoxdorf có cơ sở đếm đợc M đợc gọi là đa

tạp tôpô n- chiều nếu nó đồng phôi địa phơng với Rn

1.1.3 Định nghĩa Giả sử M là đa tạp tôpô n- chiều Phép đồng phôi  của một

tập mở U của M lên tập con mở của Rn gọi là một bản đồ hay là một hệ toạ độ

địa phơng trên M, ký hiệu là ( U, )

1.1.4 Nhận xét Đối với một đa tạp tôpô n- chiều thì tồn tại họ

u = {(U, )} sao cho :

a) Mỗi (U, ) là một bản đồ của M

b) Họ { U} tạo thành phủ mở của M

1.1.5 Định nghĩa Họ u = {(U, )} của đa tạp tôpô n-chiều M thoả mãn hai điều kiện của nhận xét 1.1.4 đợc gọi là một tập bản đồ của M

1.1.6 Định nghĩa Giả sử M là đa tạp tôpô n- chiều, tập bản đồ

u = {(U, )} đợc gọi là tập bản đồ khả vi nếu với mọi (U, ),

(U, ) ta đều có    là ánh xạ khả vi

1.1.7 Định nghĩa Cho M là đa tạp khả vi n- chiều Giả sử u là tập bản đồ khả

vi trên M Bản đồ  = (V, ) trên M đợc gọi là phù hợp với u nếu

u  cũng tạo thành tập bản đồ khả vi trên M

1.1.8 Mệnh đề Nếu m là tập các bản đồ phù hợp với u thì m  u cũng là

một tập bản đồ khả vi trên M

1.1.9 Định nghĩa Tập bản đồ khả vi u trên đa tạp M đợc gọi là một cấu trúc

vi phân trên M nếu mỗi bản đồ phù hợp với u đều thuộc u ( gọi là tính chất cực đại của cấu trúc vi phân)

Nhận xét Mỗi tập bản đồ khả vi xác định duy nhất một cấu trúc vi phân

mà các bản đồ của cấu trúc này phù hợp với tập bản đồ ấy

1.1.10 Định nghĩa Một đa tạp tôpô n- chiều M cùng với cấu trúc vi phân trên

đó đợc gọi là đa tạp khả vi n- chiều

1.1.11 Ví dụ

1) Nếu M = R n thì tập bản đồ {(U, )} = {( U, id)}  xác định một cấu trúc vi phân trên M ( cấu trúc vi phân này đợc gọi là cấu trúc vi phân chính tắc) Khi đó M là đa tạp khả vi

2) Nếu M = Vn ( không gian vec tơ n- chiều trên R), dùng cơ sở  có thể đồng nhất Vn với Rn , nên Vn cũng là một đa tạp khả vi

1.2 ánh xạ khả vi.

1.2.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều tơng ứng là m,

n G là tập con mở của M ánh xạ f : G  N đợc gọi là khả vi nếu đối với bất

1.2.3 Mệnh đề Cho đa tạp khả vi n- chiều M, với mỗi điểm p  M ta ký hiệu

f(p) là tập hợp các ánh xạ khả vi xác định trên lân cận mở của điểm p Trong f(p) ta đa vào các phép toán:

Phép cộng: f, g  f(p): ( f + g)(x) = f(x) + g(x); với  x  Up  Vp

Phép nhân: f, g  f(p): (f.g)(x) = f(x).g(x); với  x  Up  Vp Phép nhân với một số:   Rn : ( f)(x) =  f(x); với  x  Up

Trong đó Up, Vp là lân cận mở của p

Khi đó f(p) là một R- đại số

Nhận xét Nếu ( U, ) là một bản đồ trên M thì các hàm toạ độ i (thành phần thứ i của ) rõ ràng thuộc f(p), p  U

1.3 Vectơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc.

1.3.1 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi n- chiều M Giả sử I là một khoảng

(đóng, mở, nửa mở) trong R Mỗi ánh xạ khả vi  : I  M đợc gọi là một đờng khả vi trên M

1.3.2 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi n- chiều M,  là đờng khả vi trên M xác

v đợc gọi là vectơ tiếp xúc với M tại điểm p

1.3.3 Định lý Giả sử M là đa tạp khả vi n- chiều Khi đó ánh xạ

v : f(p)  R là một ánh xạ tuyến tính và v(g.f) = v(f).g(p) + f(p).v(g);

f,g  f(p), v  TpM.

1.3.4 Định lý Cho đa tạp khả vi n- chiều M, bản đồ (U, ) trên M,

điểm p  U Gọi yi là hàm toạ độ thứ i trên Rn, đặt ui = yi , Di là đạo hàm riêng

đối với biến thứ i của hàm số xác định trên Rn Xét các ánh xạ :

)p là các vectơ tiếp xúc với đa tạp M tại điểm p

1.3.5 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi n- chiều M , điểm p  M Ký hiệu TpM làtập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc với M tại điểm p.Đa vào TpM hai phép toán:

Phép cộng:Với v1,v2 TpM Lấy v1+v2  TpM xác định bởi:

1.4 Trờng vectơ trên đa tạp.

1.4.1 Mệnh đề Cho M là đa tạp khả vi, G là một tập mở trong M Ký hiệu

f(G) là tập hợp các hàm khả vi xác định trên G Đa vào f(G) các phép toán sau:

Khi đó tập f(G) trở thành vành giao hoán có đơn vị là hàm hằng 1 ( tức là 1(x) = 1 với  x  G).

1.4.2 Định nghĩa Giả sử G là một tập con mở của đa tạp khả vi M Ta gọi

tr-ờng vectơ trên M là ánh xạ :

X: G  pG TpM sao cho X(p)  TpM Ta thờng viết Xp thay cho X(p)

1.4.3 Định nghĩa Giả sử X là trờng vectơ trên G, f  f(p) Khi đó Xf là

hàm số trên G đợc xác định bởi hệ thức ( Xf)(p) = (X( p))(f) = Xp(f)

Trờng vectơ X trên G đợc gọi là trờng vectơ khả vi nếu Xf là hàm khả vi

1.4.4 Mệnh đề Giả sử X là trờng vectơ khả vi trên G; ,   R;

1) Phép cộng hai trờng vectơ:

X, Y B G; X + Y  B G: ( X+ Y)(p) = X(p) + Y(p)  p  G.

2) Phép nhân số với các trờng vectơ:   R, X  B G ,

Đ 2 Đại số LIE

2.1 Định nghĩa Cho V là vành giao hoán có đơn vị 1 Tập E   đợc gọi là

V-đại số ( Đại số trên V) Nếu trên E đợc trang bị phép toán cộng, phép nhânvới phần tử của V và phép nhân [,] sao cho:

Nếu [,] có tính giao hoán thì E đợc gọi là đại số giao hoán

Nếu [,] có tính kết hợp thì E đợc gọi là đại số kết hợp

2.2 Định nghĩa Tích Lie trên R- không gian vectơ E là ánh xạ: [,]: ExE  E

2 Xảy ra đồng nhất thức Jacobi:

[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 với a, b, c  E

Nếu V = R: Ta có đại số Lie thực

Nếu V = C: Ta có đại số Lie Phức

Nhận xét: Đối tợng tạo thành từ không gian vectơ và tích Lie là một đại

số Lie

2.4 Mệnh đề Giả sử là một đa tạp khả vi n- chiều, G là một tập mở của M.

Đa vào B G phép toán nhân, ký hiệu [,]: B G x B G  B G.

(X, Y)  [X, Y]

Xác định bởi công thức: ([X, Y] (p)(f) = X(p)(Yf) – Y(p)(Xf);

hoặc [X, Y]f = X(Yf) – Y(Xf)

Khi đó R- không gian vectơ B G trở thành đại số Lie thực (phép toán [,]

đợc gọi là tích Lie của các trờng vectơ trên B G).

Chứng minh: Với X, X , Y, Y , Z  B G và ,   R

Ta có:

1 [X + X , Y]f = (X + X )(Yf) – Y(X + X )f Với f  f G = (X)(Yf) + (X )(Yf) – Y((Xf) + (X f) Với f  f G = (X(Yf)) + (X (Yf)) – (Y(Xf) –(Y(X f)) Với f  f G = [X(Yf) – Y(Xf)] + [X (Yf – Y(X f)] Với f  f G = [X,Y]f + [X ,Y] Với f  f G

2 Để chứng minh [X, Y] = – [Y, X], trớc hết ta chứng minh

[X, [Y, Z]]f = X([Y, Z]f) – [Y, Z](Xf)

= X(Y(Zf)) – X(Z(Yf)) – Y(Z(Xf)) + Z(Y(Xf))[Y, [Z, X]]f = Y([Z, X]f) – [Z, X](Yf)

= Y(Z(Xf)) – Y(X(Zf)) – Z(X(Yf)) + X(Z(Yf))

[Z,[X, Y]]f = Z([X, Y]f) – [X,Y](Zf)

= Z(X(Yf)) – Z(Y(Xf)) – X(Y(Zf)) + Y(X(Zf))Cộng vế với vế của 3 đẳng thức trên ta có:

[X, [Y, Z]]f + [Y, [Z, X]]f + [Z, [X, Y]]f = 0; f  f G.

 [X, [Y, X]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

Vậy là đại số Lie thực

2.5 Mệnh đề Cho M là đa tạp khả vi n- chiều G là tập con của M

= (Xf)(Y) + f(X(Y)) – f(Y(X))   f G

= f(X(Y) – Y(x)) + (Xf)(Y)   f G

= f[X,Y] -– ((Xf)Y)   f G

= (f[X,Y] – (Xf)Y)   f G

Do đó: [X, fY] = f[X, Y] + (Xf)Y

b Chứng minh tơng tự 

c Phép toán nhóm và phép lấy nghịch đảo là các ánh xạ khả vi.

2 Số chiều của nhóm Lie là số chiều của đa tạp

3.1.2 Ví dụ.

1 R với tôpô tự nhiên và phép cộng lập thành một nhóm Lie

2 (Rn, +) và (Cn, +) là các nhóm Lie n- chiều

3 (GL(n, R), phép nhân ma trận) và (GL(n, C), phép nhân ma trận) là cácnhóm Lie

3.1.3 Định nghĩa ánh xạ La: G  G

g  ga; a GGọi là phép tịnh tiến trái theo a

ánh xạ Ra: G  G

g  ga; a Y

gọi là phép tịnh tiến phải theo a

3.1.4 Định lý (xem [5]) Nhóm con đóng của một nhóm Lie là một nhóm Lie.

3.2 Đại số Lie của nhóm Lie.

3.2.1 Định nghĩa Giả sử f: M  M’ là ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp

M’, X’  BM’

Trờng vectơ X đợc gọi là f- liên hệ với trờng vectơ X’ nếu :

f*p(X(p)) = X’(f(p)), p M

3.2.2 Bổ đề.

Cho f: M  M’ là ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp M’,

trờng vectơ X là f- liên hệ với trờng vectơ X’ Khi đó ta có:

X(go f) = (X’g) o f, với g f M’

Chứng minh: Với p  M và  g f M’.

Ta có ((X’g) o f)(p) = (X’g)(f(p))

= X’(f(p))(g) (1)Vì X là f- liên hệ với X’ nên:

X’(f(p))(g) = f*p(X(p))(g)  p M và  g f M’

= X(p)( go f)  p M và  g f M’

= (X(go f))(p)  p M và  g f M’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: X(go f) = (X’g) o f  g f M’ 

3.2.3 Bổ đề Cho X là f- liên hệ với X’ và Y là f- liên hệ với Y’ Khi đó ta có

[X, Y] là f- liên hệ với [X’,Y’]

= (X’(Y’g))(f(p)) – (Y’(X’g)(f(p)) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

(f*([X, Y](p)))(g) = ([X’, Y’](f(p)))(g);  p M và  g f M’

Do đó ta suy ra: [X, Y] là f- liên hệ với [X’, Y’] 

3.2.4 Định nghĩa Cho nhóm Lie G, trờng vectơ X trên G đợc gọi là trờng

vectơ bất biến trái nếu (La)*X = X,  a G

(Tức là với q = La(p) thì (La)*pXp = Xq).

Tơng tự ta có trờng vectơ bất biến phải

Ta ký hiệu g là tập các trờng vectơ bất biến trái của nhóm Lie G

3.2.5 Nhận xét 1) Nếu X là trờng vectơ bất biến trái thì X là La- liên hệ vớichính nó, với mọi a  G

2) Mỗi trờng vectơ bất biến trái hoàn toàn đợc xác định bởigiá trị của nó tại đơn vị

Thậy vậy,  X g,  a G, ta có:

Xa = (La)*eXe

3.2.6 Mệnh đề Tích Lie của hai trờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G là

một trờng vectơ bất biến trái

Chứng minh: Với  X, Y g.

Do X là La- liên hệ với X và Y là La- liên hệ với Y Từ đó suy ra [X,Y] là

La- liên hệ với [X, Y], do đó:

(La)*p[X, Y]p = [X, Y]q

Vậy [X, Y] là trờng vectơ bất biến trái 

3.2.7 Hệ quả Tập g các trờng vectơ bất biến trái trên G là một đại số con của

đại số Lie B G Nó đợc gọi là đại số Lie của nhóm Lie G.

3.2.8 Nhận xét Về phơng diện không gian vectơ thì g đẳng cấu với TeG (và do

đó đẳng cấu với TpG, với g  G) bởi đẳng cấu:

g  TeG

X  Xe

Do đó ta có thể đồng nhất đại số Lie g với TeG

3.2.9 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Lie, a  G Khi đó ánh xạ

Theo định nghĩa ta suy ra:

b) –  là vectơ tiếp xúc với (t) tại t = 0.

c) c là vectơ tiếp xúc với (t) tại t = 0

Chứng minh Theo định nghĩa ta có :

3.3.2 Mệnh đề Cho : G  K là đồng cấu giữa các nhóm Lie Ký hiệu g và k

theo thứ tự là đại số Lie của nhóm Lie G và K, X g, Y  k sao cho

 *e(Xe) = Ye Khi đó ta có:  *a(Xa) = Y(a), a  G

Chứng minh Ta có Y(a) = (L(a)) * eYe’ (Theo nhận xét 3.3.5)

Từ hai điều trên, suy ra  *a(Xa) = Y(a), a  G

Nhận xét Từ mệnh đề trên suy ra X là  - liên hệ với Y

3.3.3 Mệnh đề Giả sử : G  G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G khi đó

*: BG  BG biến trờng vectơ bất biến trái thành trờng

vectơ bất biến trái

Chứng minh: Ta có  o La = L(a) o  (*), a  G ( Theo mệnh đề 3.3.1)

đặt a = -1(b), b  G Khi đó ta có ( a) = b thay vào (*) ta có:

Vậy * A là trờng vectơ bất biến trái 

3.3.4 Định lý Cho f: G  G’ là đồng cấu giữa các nhóm Lie p, qG;

= f* (qp)(

dt

p t

b) Ta có: f*pq(pv) = f*pq(p

dt

t

d ( )/ t=0)

có nghiệm duy nhất g = g(t) thuộc G; với -  t  +.

3.4.2 Định nghĩa Cho g(t) là nghiệm của phơng trình (*) của bổ đề 3.4.1 Khi

đó ta đặt exp() = g(1) Ta viết exp() = e

chú ý với   g, e  G Do đó ánh xạ mũ là ánh xạ từ đại số Lie G vào nhómLie G

3.4.3 Bổ đề (xem[5]) Nghiệm của phơng trình (*) trong bổ đề 3.4.1 là

là đồng cấu từ nhóm cộng các số thực vào nhóm G khi đó ta có:

exp(s + t)  = exp s.exp t

Chứng minh Cho s0 là số cố định, đặt:

h1(t) = (exp(s0 )-1.exp((s0 + t) ),khi đó h1(0) = e, theo bổ đề 3.4.3 ta có

do đó h1(t) = h(t)  exp t = (exp s0)-1 exp(s0 + t), suy ra

exp(s + t) = exp s exp t 

3.4.5 Định lý Cho f: G  G’ là đồng cấu giữa các nhóm Lie f*e: g  g’ là

đồng cấu giữa các đại số Lie g và g’ Khi đó ta có:

f(e) = ef*e() với   g

4.1 Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie.

Giả sử G là một nhóm Lie, g là đại số Lie của G ký hiệu g* là không gianvectơ đối ngẫu của g gồm các phiếm hàm tuyến tính thực từ g vào R tức là:

g* = HomR(g, R)

4.1.1 Định nghĩa ánh xạ:

Ad: G x g  g (g,X)  Ad(g)X = (Lg o Rg-1)* X,

đợc gọi là biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie G

ánh xạ Ad cảm sinh ánh xạ K: Gx g*  g*

(g,F)  K(g)F,trong đó K(g)F: g  R

X  <K(g)F,X> = <F,Ad(gK(g)F,X> = <K(g)F,X> = <F,Ad(gF,Ad(g-1)X >

F  g*, g  G, X  g, và ký hiệu <K(g)F,X> = <F,Ad(g F, X > chỉ giá trị của phiếm hàm tuyến tính

F tại trờng vectơ bất biến trái X

ánh xạ K đợc gọi là K- biểu diễn (hay biểu diễn đối phụ hợp) của nhómLie G trong không gian vectơ g*

Từ K- biểu diễn, ta xác định đợc một quan hệ tơng đơng trên g* nh sau:hai phần tử F1, F2  g* đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu tồn tại phần tử g  Gsao cho K(g)F1 = F2 Khi đó không gian vectơ g* đợc chia thành các lớp tơng đ-

ơng theo quan hệ tơng đơng nói trên, mỗi lớp tơng đơng nh vậy đợc gọi là mộtK- quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nhóm Lie G trong không gian vectơ

4.1.2 Mệnh đề (xem[3]) Với mỗi F  g*, GF là con đóng của nhóm Lie G và

do đó GF là một nhóm Lie con của G

Ký hiệu gF là đại số Lie của nhóm Lie GF

A  detA.

ánh xạ det là liên tục

Ta có:

det(GL(n, R)\ SL(n, R)) = R\ {0; 1} là tập mở trong R\{0}

 GL(n, R)\SL(n, R) = det-1(R\{0; 1} là tập mở trong GL(n, R), (vì det là

ánh xạ liên tục) Do đó SL(n, R) đóng trong GL(n, R)

Mặt khác SL(n, R) là một nhóm con (đại số) của GL(n, R), vậy SL(n,R)

là nhóm con đóng của nhóm Lie GL(n, R) nên SL(n, R) là một nhóm Lie 

4.2.2 Bổ đề (xem[5]) Cho ánh xạ: GL(n, R)  R

A = (aij)  detAKhi đó ta có:

a) det*I(A) = trA (trong đó trA = 

4.2.3 Mệnh đề Đại số Lie của nhóm Lie SL(n, R) là tập tất cả các ma trận của

Mat(n, R) mà có tổng các phần tử trên đờng chéo chính bằng 0

Chứng minh Lấy (t) là đờng cong bất kỳ của SL(n, R) mà (0) = I, thì det(t) = 1.Theo bổ đề 3.2.2 ta có:

dt

d/t = 0)

Vậy nếu A sl(n, R) thì trA =0

Ngợc lại, nếu A Mat(n, R) mà trA = 0 Xét đờng cong (t) = exp(tA) tacó:

det(exp tA) = exp(tr tA) = exp(t trA) = exp(0) = 1

Do đó (t) là một đờng cong trong SL(n, R), rõ ràng:

(exp tA) = A sl(n, R)

Vậy sl(n, R) = {A  Mat(n, R)\ trA = 0}

4.3 Cấu trúc của quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n, R).