Phép biến đổi fourier rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2BÙI THỊ THẢO PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015... Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Văn Khải,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourierrời rạc” do tôi tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồngốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Thảo

Mục lục

1.1 Một vài khái niệm trong giải tích 5

1.1.1 Một số định lý của lý thuyết tích phân 5

1.1.2 Không gian Lp(1 ≤ p ≤ ∞) 6

1.1.3 Tích chập 8

1.1.4 Tích phân Dirichlet 8

1.2 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 10

1.2.1 Chuỗi Fourier 10

1.2.2 Sự hội tụ 10

1.2.3 Tích phân Fourier 12

2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 13 2.1 Phép biến đổi Fourier trong L1(R) 13

2.1.1 Phép biến đổi Fourier 13

2.1.2 Một số dạng biến đổi Fourier khác 16

2.1.3 Các tính chất 18

2.2 Phép biến đổi Fourier trong L1(Rn) 22

2.2.1 Định nghĩa 22

2.2.2 Tính chất 23

3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 26

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán họccũng như trong toán học tính toán Có nhiều bài toán trong toán học vàtrong thực tiễn khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổiFourier

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi làphép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier chocác tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữuhạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lýtưởng để xử lý thông tin trên các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được

sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phântần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng và

để làm các phép như tích chập Biến đổi này có thể được tính nhanh bởithuật toán biến đổi Fourier nhanh Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụngnhư lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh

Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướngdẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phépbiến đổi Fourier rời rạc"

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourierrời rạc và một vài ứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụngcủa nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier

- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc

- Ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại cácvấn đề liên quan tới đề tài

6 Dự kiến đóng góp

Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổiFourier rời rạc và nêu một số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một vài khái niệm trong giải tích

1.1.1 Một số định lý của lý thuyết tích phân

Mục này nhắc lại một số kết quả về lý thuyết tích phân, được trích dẫnchủ yếu từ tài liệu [1]

Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)

Định lý 1.1.3 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên Ω1× Ω2 Khi đó với

Lp(Ω) = f : Ω → R hoặc C
; f đo được và |f |p khả tích ,

L∞(Ω) = {f : Ω → R hoặc C
; f đo được và ∃C ≥ 0, |f (x)| ≤ C h.k.n}

kf k∞ = infC; |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi

là kfn − f kp → 0, thế thì tồn tại dãy con (fnk)k=1,2, sao cho:

hợp suppf = {x ∈ Ω; f (x) 6= 0} là compact chứa trong Ω Đặt:

Cck(Ω) = Ck(Ω) ∩ Cc(Ω) ,

Cc∞(Ω) = C∞(Ω) ∩ Cc(Ω)

khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của R thì ta có:

[a, b] Ta gọi V (f )là biến phân toàn phần của f trên [a, b] Hàm f gọi là

Tính chất 1.1.1 Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b]

Khi đó:

|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b) , ∀x ∈ [a, b]

Bổ đề 1.1.1 (Tích phân Dirichlet)

Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a,b) thoả mãn mộttrong hai điều kiện Dirichlet sau đây:

tuỳ ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần

1.2 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

1.2.1 Chuỗi Fourier

trên [−π, π] và tuần hoàn với chu kì 2π Khi đó các hệ số an, bn được xácđịnh theo công thức:

x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về 1

Cho f ∈ L1[−π, π] Giả sử f bị chặn, thoả mãn điều kiện Dirichlet trên

(−π, π) và giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π) Khi đó chuỗi

* Sự hội tụ trong L2(R).

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2.1 Phép biến đổi Fourier trong L1(R)

2.1.1 Phép biến đổi Fourier



−αλ

λ2 + α2

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm

2π

2(1 + iλ)3.

hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa

≤ f − fπ/t 1,

Bổ đề 2.1.1 Cho f xác định trên R và với mỗi y ∈ R, đặt fy là tịnh tiến

fy(x) = f (x − y) , ∀x ∈ R

Nếu f ∈ Lp(R) , 1 ≤ p < ∞ thì ánh xạ y 7→ fy từ R vào Lp(R) là liêntục đều

[−A, A] sao cho kf − gkp < ε

(ii) g (x) = f (x) hầu hết trên R.

2.1.2 Một số dạng biến đổi Fourier khác

Định nghĩa 2.1.2 (Biến đổi Fourier ngược)

Nếu f ∈ L1(R) và bf ∈ L1(R) là biến đổi Fourier của f thì ta có

Chú ý 2.1.1 Đối với hàm chỉ xác định với x > 0, ta có công thức biến

x > 0, ta mở rộng hàm f cho giá trị x < 0 bằng định nghĩa f (−x) = f (x)

và thực hiện biến đổi Fourier cho hàm chẵn ta có:

iλx + e−iλx
Đặt F (λ) = f (λ)b khi đó ta có biến đổi

Định nghĩa 2.1.3 (Biến đổi Fourier - cosin)

F (λ) =

r

2π

0

f (x) cosλxdx

Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a, b) ⊂R+

f (x) =

r

2π

0

F (λ) cosλxdλ

f (−x) = −f (x) và thực hiện các bước biến đổi như trên ta cũng có công

Định nghĩa 2.1.4 (Biến đổi Fourier - sin)

φ (λ) =

r

2π

0

f (x) sinλxdx

f (x) =

r

2π

f (λ)b

Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc

Nếu f ∈ L1(R), do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L1(R),

ˆ

f (λ) =