Phép biến đổi laplace rời rạc với phương trình sai phân

Méi ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n kh¡c nhau l¤i câ c¡ch chån nghi»m ri¶ng kh¡c nhau.. To¡n tû Laplace ríi r¤c l mët trong nhúng cæng cö gióp gi£iph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ hi»u qu£.. Cuèi chuìng n

Möc löc

Líi c£m ìn 4

1 CC KHI NI›M BÊ TRÑ 6 1.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n húu h¤n 6

1.1.1 ành ngh¾a v  v½ dö 6

1.1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa sai ph¥n 8

1.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n v  nghi»m cõa nâ 9

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng v  d¤ng biºu di¹n 9

1.2.2 C¡c ành ngh¾a v  c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n 11

1.3 Ph÷ìng ph¡p to¡n tû 12

1.3.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c 12 1.3.2 C¡c ành lþ v  cæng thùc th÷íng dòng 14

1.3.3 T¼m gèc t÷ìng ùng vîi £nh cho tr÷îc 15

1.4 Phö löc ch÷ìng I 21

1.4.1 B£ng èi chi¸u gèc £nh: 21

1.4.2 B i tªp ch÷ìng I 25

2 PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH SAI PH…N 27 2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 27

2.1.1 ành ngh¾a 27

2.1.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 thu¦n nh§t 28

2.1.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t 28

2.1.4 Ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) 28

2.1.5 Ph÷ìng ph¡p chån ( Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành ) 32

2.2 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 38

2.2.1 ành ngh¾a 38

2.2.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai thu¦n nh§t 39

2.2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai khæng thu¦n nh§t 41

2.2.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai khæng thu¦n nh§t 41

2.3 Kh¡i qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p cao 48 2.3.1 ành ngh¾a 48

2.3.2 C¡ch gi£i 49

2.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p to¡n tû 51

2.4.1 C¡c ành lþ v  cæng thùc th÷íng dòng 51

2.4.2 L÷ñc ç gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n b¬ng ph÷ìng ph¡p to¡n tû 54

2.4.3 C¡c v½ dö 55

3 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA SAI PH…N V€ PH’P BI˜N ÊI LAPLACE RÍI R„C TRONG GIƒI TON PHÊ THÆNG 63 3.1 T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè 63

3.2 T½nh têng cõa n sè h¤ng ¦u trong mët d¢y sè 66

3.3 Sai ph¥n vîi vi»c x¡c ành a thùc ho°c gi£i ph÷ìng tr¼nh h m: 69

3.4 B i tªp 72

K¸t luªn 73

T i li»u tham kh£o 74

Mð ¦u

Câ nhi·u b i to¡n v· d¢y sè ho°c h m sè m  gi£ thi¸t ho°c líi gi£i cõachóng câ t½nh ch§t truy hçi nh÷: t¼m cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõa mëtd¢y sè cho b¬ng cæng thùc truy hçi, t½nh têng n sè h¤ng ¦u cõa mët d¢y

sè, gi£i ph÷ìng tr¼nh h m Nhúng b i to¡n â d¨n tîi vi»c ph£i gi£i c¡cph÷ìng tr¼nh sai ph¥n C¡ch thæng th÷íng gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n l düa tr¶n vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng v  t¼m nghi»m ri¶ng Méi ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n kh¡c nhau l¤i câ c¡ch chån nghi»m ri¶ng kh¡c nhau Ta bi¸tr¬ng vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng tø bªc ba trð l¶n g°p khæng ½t khâkh«n

M°t kh¡c, n¸u coi méi d¢y sè nh÷ gi¡ trà cõa mët h m sè t¤i c¡c èi sènguy¶n th¼ vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ thº düa tr¶n c¡c ph²p to¡ncõa h m sè To¡n tû Laplace ríi r¤c l  mët trong nhúng cæng cö gióp gi£iph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ hi»u qu£ Sü kh¡c bi»t khi ta sû döng to¡n tûLaplace l  ta khæng c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng º câ thº tâm t­tc¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n theo c¡ch thæng th÷íng v  bê sung ph÷ìngph¡p to¡n tû Laplace ríi r¤c , th¦y h÷îng d¨n l  PGS.TS Nguy¹n ThõyThanh giao cho tæi · t i

" Ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c vîi ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n "

Luªn v«n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng I.C¡c kh¡i ni»m bê trñ

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  cung c§p c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· saiph¥n, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh, ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§tcõa ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c

Ch÷ìng II Ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh.Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b¦y c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh saiph¥n tuy¸n t½nh c§p mët, c§p hai, c¡c ph÷ìng ph¡p chån nghi»m ri¶ng tòytheo d¤ng cõa v¸ ph£i Cuèi chuìng n y giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p gi£iph÷ìng tr¼nh sai ph¥n b¬ng c¡ch chuyºn qua bi¸n êi Laplace ríi r¤c

Ch÷ìng III Mët sè ùng döng cõa sai ph¥n v  ph²p bi¸n êiLaplace ríi r¤c trong gi£i to¡n phê thæng.

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  ÷a ra mët sè ùng döng cõa sai ph¥ntrong gi£i to¡n phê thæng nh÷ x¡c ành cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõad¢y sè, t½nh têng cõa n sè h¤ng ¦u cõa mët d¢y sè, ùng döng sai ph¥ntrong x¡c ành a thùc, ùng döng sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh h m

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶nkhi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât T¡c gi£ mongnhªn ÷ñc sü gâp þ v  nhúng þ ki¸n ph£n bi»n cõa quþ th¦y cæ v  b¤n åc

Ho n th nh ÷ñc luªn v«n n y, ngo i sü né lüc cõa b£n th¥n, tæi ¢nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o, gióp ï tø nhi·u ph½a cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o, gia ¼nh

v  b¤n b±

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¦y k½nh m¸n

PGS.TS Nguy¹n Thõy Thanh, ng÷íi ¢ trüc ti¸p truy·n thö ki¸nthùc, quy¸t ành h÷îng nghi¶n cùu v  tªn t¼nh h÷îng d¨n cho tæi ho n

th nh b£n luªn v«n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc,Tr÷íng ¤i håc Khoa håc tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi, nhúngng÷íi ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y v  gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤itr÷íng còng to n thº b¤n b± v  ng÷íi th¥n ¢ âng gâp þ ki¸n, gióp ï,

ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n

n y

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶nkhi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât K½nh mongnhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p º b£nluªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn

Xin ch¥n th nh c£m ìn

H  Nëi, ng y 20 th¡ng 11 n«m 2014

Håc vi¶nPh¤m Minh Ti¸n

Ch֓ng 1

CC KHI NI›M BÊ TRÑ

1.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n húu h¤n

yn =f (xn) = f (xn−1 + h) = fn;

K½ hi»u ∆y = f(x + h) − f(x) = ∆f(x) l  sai ph¥n c§p mët cõa h m sè

÷ñc gåi l  sai ph¥n ( húu h¤n ) c§p mët cõa h m sè f(x) t¤i iºm xk.V½ dö 1.1 T¼m t§t c£ c¡c a thùc f(x) ∈ R[x] thäa m¢n c¡c i·u ki»nsau

a)f(x + 1) − f(x) = 0 ∀x

b)(x + 1) − f(x) = x ∀x

Gi£i

a) Cho x = 0, 1, 2 n ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh f(x) = f(0) câ væ sènghi»m M°t kh¡c, f(x) l  a thùc n¶n f(x) = f(0) ∀x

K½ hi¶u ∆nf (xk) l  sai ph¥n c§p n cõa h m sè f(x) t¤i iºm xk

∆nyk = ∆nf (xk) = ∆(∆n−1f (xk)) = ∆n−1f (xk+1) − ∆n−1f (xk)

Do â

∆2yk = ∆2fk = ∆f (xk+1) − ∆f (xk) = f (xk+2) − 2f (xk+1) + f (xk)Vîi h m sè y = f(x) sai ph¥n c¡c c§p cõa nâ t¤i c¡c iºm xk ÷ñc s­p x¸ptheo b£ng sau:

V½ dö 1.2 X¡c ành cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè bi¸t c¡c sèh¤ng trong d¢y l  -1, 2, 13, 44, 107, 214

F (n, yn, yn+1, , yn+k) (1.2)

÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n c§p k, trong â y(n) l  ©n h m

Ta câ thº bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1.1) v· ph÷ìng tr¼nh (1.2) v  ng÷ñc l¤i.Thªt vªy, tø cæng thùc

thay c¡c biºu thùc tr¶n v o ph÷ìng tr¼nh (1.1) ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh(1.2).

N¸u ph÷ìng tr¼nh (1.1) l  tuy¸n t½nh èi vîi yn v  c¡c sai ph¥n cõa ©n

h m th¼ (1.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh

Nhªn x²t Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh n¶n ÷ñc chuyºn v· d¤ng(1.2) º x¡c ành c§p cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ÷ñc ch½nh x¡c

Do â, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh th÷íng ÷ñc x²t ð d¤ng (1.2).Nh÷ vªy, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

ành ngh¾a 1.3 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p k h» sè h¬ng l ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

b0yn+k + b1yn+k−1+ · · · + bnyn = F (n) (1.3)trong â b0, b1, , bn l  c¡c h¬ng sè thäa m¢n b0, bk 6= 0, y(n) l  ©n h m,

F (n) l  biºu thùc chùa n cho tr÷îc

º phò hñp vîi vi»c coi méi sè h¤ng cõa d¢y sè l  gi¡ trà cõa h m sèt¤i c¡c èi sè nguy¶n th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.3) công câ thº vi¸t ð d¤ng

b0f (n + k) + b1f (n + k − 1) + · · · + bnf (n) = F (n)

1.2.2 C¡c ành ngh¾a v  c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

1.2.3.1 T½nh thu¦n nh§t, khæng thu¦n nh§t.

Vîi ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh d¤ng (1.3), n¸u ta câ:

• F (n) = 0 th¼ ta gåi (1.3) l  ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh thu¦nnh§t c§p k vîi h» sè h¬ng

• F (n) 6= 0 th¼ ta gåi (1.3) l  ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh khængthu¦n nh§t c§p k vîi h» sè h¬ng

1.2.3.2 Nghi»m, nghi»m têng qu¡t, nghi»m ri¶ng

• H m sè y(n) (n ∈ N)thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.3) ÷ñc gåi l  nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh (1.3)

• H m sè ˜y(n) phö thuëc k tham sè , thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh sai ph¥ntuy¸n t½nh thu¦n nh§t

b0yn+k + b1yn+k−1 + b2yn+k−2 + · · · + bkyn = 0 (1.4)

÷ñc gåi l  nghi»m têng qu¡t cõa (1.4) n¸u vîi måi tªp gi¡ trà ban

¦u y0, y1, , yk−1 ·u x¡c ành ÷ñc c¡c tham sè C1, C2, C3, , Ck

º nghi»m ˜y(n) trð th nh nghi»m ri¶ng cõa (1.4) tùc l  vøa thäa m¢n(1.4) vøa thäa m¢n ˜y(i) = yi, i = 0, k − 1

• Mët nghi»m y∗(n) khæng phö thuëc tham sè thäa m¢n (1.3) ÷ñc gåi

l  mët nghi»m ri¶ng cõa (1.3)

Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh câ nhi·u iºm chung vîi lþthuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Ch¯ng h¤n nh÷ ành lþ m  ta hay

sû döng l : nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n khæng thu¦nnh§t (1.3) ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng cõa mët nghi»m ri¶ng n o â v nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t t÷ìngùng;

1.3 Ph÷ìng ph¡p to¡n tû

1.3.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c

ành ngh¾a 1.4 Gi£ sû (an) l  d¢y sè thüc ho°c phùc Khi â h m bi¸nphùc F (z) x¡c ành bði chuéi

÷ñc gåi l  ph²p bi¸n êi Laurent hay z-bi¸n êi

N¸u |an| ≤ M eαn ( M > 0, α l  h¬ng sè ) th¼ nhí ph²p so s¡nh vîi chuéic§p sè nh¥n suy ra chuéi (1) hëi tö khi |z| > R = eα v  (1) l  khai triºnLaurent cõa F (z) t¤i l¥n cªn iºm ∞ v  t¤i â h m F (z) ch¿nh h¼nh v 

H m ch§n song thäa m¢n c¡c i·u ki»n â gåi l  gèc ríi r¤c

ành ngh¾a 1.5 N¸u trong z-bi¸n êi (1) thay z bði z = ep, p = s + iθ v k½ hi»u F (z) = F (ep) = F∗(p) th¼

F∗(p) = f0 + f1.e−p + f2.e−2p+ + fn.e−np + = X

n≥0

fne−np (3)

÷ñc gåi l  ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c cõa h m gèc f(n) hay LD bi¸n

êi v  kþ hi»u l 

F∗(p) = LD[f (n)]

ho°c

F∗(p) : f (n)

v  F∗(p) ÷ñc gåi l  £nh cõa cõa f(n) qua LD bi¸n êi

ƒnh F∗(p)l  h m bi¸n phùc tu¦n ho n vîi chu k¼ thu¦n £o 2πi trong b«ng

væ h¤n n¬m ngang −π < Imp ≤ π nâ ch¿nh h¼nh khi Rep > α Tø â v (3) suy ra bi¸n êi ng÷ñc cõa LD bi¸n êi

T½ch ph¥n trong c¡c ành ngh¾a tr¶n câ thº t½nh b¬ng th°ng d÷

V½ dö 1.4 T¼m gèc f(n) theo bi¸n êi Laurent

(z − a)(z − b).Gi£i

n−2

V½ dö 1.5 Sû döng ành ngh¾a º t¼m £nh cõa

f (n) = e−n

+) N¸u F∗(p) l  ph¥n thùc húu t¿ thüc sü th¼ ta câ thº khai triºn th nhc¡c ph¥n thùc cì b£n d¤ng:

A

ep− ep0 : Aep0 (n−1),A

+) N¸u pm l  cüc iºm bëi bªc r th¼:

Res[F∗(p).e(n−1)p; pm] = 1

(r − 1)!p→plimm

dr−1

de(r−1)p[F∗(p)(ep− epm)r.e(n−1)p].-T¼m gèc nhí cæng thùc khai triºn

+) H m F (z) câ c¡c cüc iºm zk l  cüc iºm bëi c§p mk Khi â:

f (n) = X

k

1(mk − 1)!z→zlimk

T¼m 0- iºm cõa m¨u sè

e2p − 3ep+ 2 = 0 ⇔ [eepp=2=1 ⇔ [p2 = ln 2

p1 = 0

Câ p1 = 0 , p2 = ln 2 l  c¡c khæng iºm ìn cõa m¨u sè v  do â chóng l cüc iºm ìn cõa F∗(p) trong b«ng cì b£n Ta câ

Res[F∗(p).e(n−1)p; 0] = lim

p→0[F∗(p)(ep− 1).e(n−1)p] = lim

p→0

epn

ep− 2 = −1Res[F∗(p).e(n−1)p; ln 2] = lim

p→ln 2[F∗(p)(ep− 2).e(n−1)p] = lim

V½ dö 1.7 T¼m gèc t÷ìng ùng vîi £nh

F∗(p) = e

p

e2p − 1.Gi£i

Ta câ c¡c cüc iºm ìn t¤i c¡c iºm p1 = 0 ,p2 = πi trong b«ng cì b£n

Res[F∗(p).e(n−1)p; πi] = lim

p→πi[F∗(p)(ep+ 1).e(n−1)p] = lim

°t z = ep ta câ h m F (z) = z

(z − 1)2(z − 2) F (z) câ cüc iºm ìn z1 = 2

v  cüc iºm bëi c§p hai t¤i z2 = 1

Ta câ

[(z − 2)(z − 1)2]

0

(2) = (2 − 1)3 = 11

4ho°c α = 3π

V½ dö 1.11 T¼m gèc t÷ìng ùng vîi £nh

F∗(p) = 2e

2p

e4p+ 4.Gi£i

Theo B£ng èi chi¸u gèc £nh v  theo ành lþ tuy¸n t½nh ta câ:

n2ea.n : e

p.e(ep+ e)

(ep− e)3 n¶n n2en−1 : e

p(ep+ e)(ep− e)3

n[2]en : 2.e

p.e2(ep− e)3 n¶n 1

2n

[2]en−1 : e

p.e(ep− e)3 V¼ vªy :

e2p

(ep− e)3 =

ep(ep+ e)(ep− e)3 −

epe(ep− e)3 : n2en−1−1

dz2(zn) = n.(n − 1)

n−2

p(e2p + 4ep + 1)(ep− 1)4

p.ea(ep+ ea)(ep− ea)3

p.ea(ep− ea)3

p.eka(ep− ea)k+1

Chùng minh cõa mët sè cæng thùc trong b£ng èi chi¸u gèc £nh.1) Vîi f(n) = E(n) =n0, n < 0

3) Vîi f(n) = n2 = n.g(n) trong â g(n) = n Theo cæng thùc ¤o h m

= e

p(ep+ 1)(ep − 1)3Vªy n2

: e

p(ep+ 1)(ep− 1)3 .4) Vîi f(n) = n3 = n.n2, ¢ câ n2

: e

p(ep+ 1)(ep− 1)3 n¶n theo cæng thùc ¤o

h m £nh ta câ n.n2

: − d

dp(

ep(ep+ 1)(ep− 1)3 ) =ep(e2p + 4ep+ 1)

(ep− 1)4Vªy n3

: e

p(e2p + 4ep+ 1)(ep− 1)4 .5) Sû döng k¸t qu£ cõa (4) v  cæng thùc ¤o h m £nh, ta câ:

n4 = n.n3 : − d

dp(

ep(e2p+ 4ep+ 1)(ep− 1)4 ) =ep(e3p + 11e2p+ 11ep+ 1)

(ep− 1)5 .Vªy n4

: e

p(e3p + 11e2p+ 11ep + 1)

(ep− 1)56) Vîi h m f(n) = n[2] = n(n−1) = n2−n, sû döng c¡c k¸t qu£ cõa 2), 3)

v  ành lþ tuy¸n t½nh, ta câ: n2−n: e

p(ep+ 1)(ep− 1)3 −

ep(ep− 1)2 =

2.ep(ep− 1)3Vªy n[2]

p

(ep− 1)3.

n[k+1] = n(n − 1) (n − k + 1).(n − k) = n[k].n − n[k].k

: − d

dp[

k!.ep(ep− 1)k+1] − k.

k!.ep(ep− 1)k+1 = −k!

p

(ep− 1)k+1.8) Vîi f(n) = ea.n f (n): F∗(p) = P

p.ea(ep− ea)213) º chùng minh cæng thùc 13) ta c¦n chó þ

e−iαn = cos αn − i sin αn (i2 = −1)

14) Theo c¡ch chùng minh cõa cæng thùc 13) ta thu ÷ñc cæng thùc 14)15) Câ

2(e

iα+e−iα)n¶n ta câ: cos(iαn) = 1

2(e

αn+e−αn) = cosh(αn)Vªy cos iα = cosh α, do â:

cosh αn = cos iαn : e

18) Theo ành lþ t­t d¦n v  cæng thùc (14) ta câ:

eancos αn : (e

p−a− cos α)ep−a

e2(p−a)− 2ep−a cos α + 1 =

= k! ep.ak(ep− a)k+1

Vªy n[k]

k! a

n = Cnkan : e

p.ak(ep− a)k+1.21) H m f(n) = nC, n = 0

Ch֓ng 2

PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH SAI PH…N

2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1

2.1.1 ành ngh¾a

Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 vîi h» sè h¬ng câ d¤ng:

a∆f (n) + bf (n) = F (n) (1)Trong â:

2.1.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 thu¦n nh§t

÷ñc gi£i theo c¡c b÷îc sau:

i) T¼m nghi»m f (n)e cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng

ii) T¼m mët nghi»m ri¶ng f∗(n) cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t.iii)Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n khæng thu¦n nh§t câ d¤ng

º t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) , ta xem C bi¸n thi¶n theo n, ngh¾a l  ta câ

Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t f(n = 1) − f(n) = 0

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1

Vªy ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m f (n) = ce

Ta t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) = C(n) thay v o ph÷ìng tr¼nh

Do â, ta t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) = C(n), thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ − 3 = 0 ⇔ λ = 3

Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t f(n + 1) − 3f(n) = 0 câ nghi»m f (n) = C.3e n

Ta t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) = C(n).3n thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ¢cho ta ÷ñc

Nghi»m ri¶ng câ d¤ng f∗(n) = C(n) , thay v o ph÷ìng tr¼nh ¢ cho ta

f (n + 1) − 5f (n) = 15(n2 − 3n + 1).n!Gi£i.

Nghi»m ri¶ng câ d¤ng f∗(n) = C(n).5n thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ta

5n+1.n! n¶n f∗(n) = n

5n+1.n!.5n = n.n!

5 .V½ dö 2.6 T¼m mët nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n :

f (n + 1) − 7f (n) = n

2 − 5n + 17n .n!Gi£i

Nghi»m ri¶ng câ d¤ng f∗(n) = C(n).7n thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ta

∆C(n − 1) = C(n) − C(n − 1) = 1

72n−1.n.n! - 1

72n-2.(n-1).(n-1)!Cëng theo v¸ ta ÷ñc C(n) − C(0) = n−1P

(Trong â C(0) l  h¬ng sè tü do)

Do â nghi»m ri¶ng l : f∗(n) =

Vîi λ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng a.λ + b = 0

Ta chån nghi»m ri¶ng f∗(n) theo c¡c tr÷íng hñp cõa v¸ ph£i F (n)

a) N¸u v¸ ph£i l  F (n) = Pm(n) l  mët a thùc bªc m

èi vîi n

Khi â

- N¸u λ 6= 1 th¼ chån f∗(n) = Qm(n) công l  mët a thùc bªc m èi vîi n

- N¸u λ = 1 th¼ chån f∗(n) = nQm(n) trong â Qm(n) công l  mët athùc bªc m èi vîi n

V½ dö 2.7 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n f(n + 1) − 15f(n) = −14n + 1 vîi

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l : f (n) = C.15e n

Nghi»m têng qu¡t câ d¤ng: f(n) = C.15n+ n

Do f(0) = 7 = C.150nˆen C = 7.

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m: f(n) = 7.15n + n

V½ dö 2.8 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n f(n + 1) − f(n) = −2n − 1 vîi

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l : f (n) = Ce (λ=1)

Nghi»m têng qu¡t câ d¤ng: f(n) = C − n2

Do f(0) = 99 = C − 02 n¶n C = 99

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m f(n) = 99 − n2

V½ dö 2.9 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n f(n+1)−f(n) = 2n2 vîi f(0) = 1.Gi£i

Câ λ = 1 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng , F (n) = 2n2 l  a thùcbªc hai n¶n ta chån nghi»m ri¶ng

Nghi»m têng qu¡t câ d¤ng: f(n) = C+n

3(2n

2−3n+1) Do f(0) = 1 = C+0n¶n C = 1

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m: f(n) = 1 + 2n3 − 3n2 + n

b) N¸u v¸ ph£i l  F (n) = A.Bn (A, B 6= 0)

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l  f (n) = C.2e n (λ=2).

Nghi»m têng qu¡t câ d¤ng f(n) = C.2n + 3n Do f(0) = 8 = C + 1 n¶n

C = 7

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m f(n) = 7.2n+ 3n

V½ dö 2.11 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n f(n + 1) − 7f(n) = 7n+1 vîi

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l  f (n) = C.7e n (λ=7)

Nghi»m têng qu¡t câ d¤ng f(n) = C.7n + n.7n

Do f(0) = 101 = C n¶n C = 7

Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m

f (n) = 101.7n + n.7n = (101 + n)7n.c) N¸u v¸ ph£i l  F (n) = α sin nx + β cos nx

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ nghi»m λ = √ 1

2 n¶n ph÷ìng tr¼nh sai ph¥nthu¦n nh§t câ nghi»m d¤ng f (n) = C(e √1

2)n.V¼ F (n) = − sinnπ

4 n¶n ta chån nghi»m ri¶ng f∗(n) = A sinnπ4 + S cosnπ4thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ta ÷ñc

⇔ √2A sinnπ4 cos π4 + cos nπ4 sin π4
+ B cosnπ4 cos nπ4 − sin nπ4 sinπ4
 −

A sin nπ4 + B cos nπ4
= − sinnπ4

Vªy ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ¢ cho câ nghi»m d¤ng f(n) = cosnπ

4 .V½ dö 2.13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

f∗(n) = A sinnπ

4 + B cos

nπ

4 (A, B ∈ R)thay v o ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ¢ cho ÷ñc

⇔ A.sinnπ

4 + cos

nπ4

f (n) = 2n + sinnπ

4 .d) N¸u v¸ ph£i câ d¤ng F (n) = Pm

n¶n ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m f (n) = C.26e n

Coi v¸ ph£i F (n) = F1(n) + F2(n) vîi

F1(n) = −494.7n, F2(n) = −2475n + 99

X²t ph÷ìng tr¼nh f(n + 1) − 26f(n) = F1(n) (1)

V¼ λ = 26 6= 7 n¶n ta chån nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1) ð d¤ng

f1∗(n) = A.7n

Do F2(n) l  a thùc bªc nh§t v  λ = 26 6= 1 n¶n nghi»m ri¶ng cõa (2)

÷ñc chån ð d¤ng f∗

2(n) = A.n + B, (A, B ∈ R)Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ÷ñc

A.f (n + 1) + B − 26 (A.n + B) = −2475.n + 99Suy ra 25A.n − 25B + A = −2475.n + 99

¢ cho câ nghi»m f(n) = 26.7n+ 99n

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ nghi»m λ = 2 n¶n ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t cânghi»m f (n) = C.2e n

B = − 1

4

C =

712Vªy f∗