Phép biến đổi fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng

Đâychính là các tiền đề quan trọng để các nhà toán học sau này xây dựngthành công không gian L2G và phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu... Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Tấn Nguyện

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn, TS Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả trongsuốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập củakhóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớpToán giải tích K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập tại lớp

Tác giả

Nguyễn Tấn Nguyện

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Lý thuyết nhóm hữu hạn 4

1.2 Không gian Hilbert 8

1.2.1 Tích vô hướng, không gian Hilbert 8

1.2.2 Sự trực giao 11

1.2.3 Cơ sở trực chuẩn 12

1.3 Phép biến đổi Fourier trên R 18

1.3.1 Lớp Schwartz 18

1.3.2 Biến đổi Fourier trên S(R) 20

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN 22

2.1 Không gian Hilbert trên nhóm G 22

2.1.1 Xây dựng không gian Hilbert L2(G) 22

2.1.2 Tích phân trong không gian L2(G) 23

2.1.3 Tích vô hướng trong L2(G) 24

2.2 Phép biến đổi Fourier trên L2(G)c 26

2.2.1 Định nghĩa 26

2.2.2 Tính chất 28

2.3 Biến đổi Fourier trên L2(G) 29

2.3.1 Phép tịnh tiến 29

2.3.3 Tích chập 31

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG 34

3.1 Nguyên lý bất định Heisenberg 34

3.1.1 Nguyên lý bất định trong R 34

3.1.2 Nguyên lý bất định trong G 35

3.2 Hàm "Gaussian" 41

3.2.1 Hàm Gaussian trong R 41

3.2.2 Hàm Gaussian trong G 44

3.3 Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn 50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác đượcFourier đưa ra lần đầu tiên dựa theo các công trình trước đó của Euler,D’Alembert và Daniel Bernoulli Về sau nó được gọi là chuỗi Fourier vàđược xác định như sau:

−π

f (x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2,

bn = 1π

π Z

−π

f (x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3,

Trên cơ sở đó, Fourier đã đưa ra khái niệm phép biến đổi Fourier trên

L1(−π, π) và L2(−π, π) Sau đó, phép biến đổi này được phát triển nhiềulần bởi các nhà toán học như Riemann Cantor và Lebesgue Vào các năm

1807, 1811 Fourier đã công bố các công trình đầu tiên của mình về áp dụngphép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt Cho đến nay phép biếnđổi Fourier đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật

lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dươnghọc, Quang học, Hình học, tần số sóng của Rada, định vị GPS,

Trong các không gian L2 tổng quát ta luôn xây dựng được chuỗi Fouriertrên đó Do vậy, nếu xây dựng được cấu trúc không gian L2 trên nhómhữu hạnG thì ta cũng xây dựng được chuỗi Fourier trên nhóm Năm 1989,Arthus đã tìm thấy một số ví dụ về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn Đâychính là các tiền đề quan trọng để các nhà toán học sau này xây dựngthành công không gian L2(G) và phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu

Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổi Fourier, nên tôi hivọng cũng tìm được các ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier trênnhóm hữu hạn Để làm được điều này cần phải hiểu rõ ràng về phép biếnđổi Fourier trên nhóm hữu hạn nên tôi đã chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔIFOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG ” làm đề tài luậnvăn thạc sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả củaphép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn Ứng dụng các kết quả trên vàogiải quyết phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và Vật lý

3 Đối tượng nghiên cứu

Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn, một số vấn đề trong Vật lý vàGiải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn

5 Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào các kết quả đã biết của phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiêncứu các kết quả tương tự cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng luận văn làm tài liệutham khảo dành cho sinh viên ngành Toán Luận văn cũng là tài liệu thamkhảo tốt cho những người nghiên cứu Vật lý

7 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày theo ba chương Ngoài ra, luận văn cóLời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tàiliệu tham khảo

Chương 1: Trình bày đầy đủ các khái niệm và tính chất liên quan đếnnhóm hữu hạn và không gian Hilbert Giới thiệu về biến đổi Fourier trênlớp Schwartz.

Chương 2: Xây dựng không gian L2(G), đưa ra các định nghĩa, định

lý và tính chất trong không gian L2(G)c và L2(G)

Chương 3: Ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vàochứng minh nguyên lý bất định Heisenberg, nghiên cứu về hàm "Gaus-sians" và giải phương trình trên nhóm Abel hữu hạn

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các nội dung trong chương này tôi đã tham khảo trong các tài liệu: [1],[2] và [5]

1.1 Lý thuyết nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một tập hợp khác rỗng, là phép toán haingôi trên G (G, ) được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau:

Kí hiệu: |G|

Định nghĩa 1.1.4 Một tập con H của nhóm (G, ) được gọi là tập con

ổn định của nhóm G nếu với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H Khi đó phép toánnhân thu hẹp trên H xác định một phép toán trên H mà ta gọi là phéptoán cảm sinh trên H

Định nghĩa 1.1.5 Nhóm con H của nhómG là một tập con ổn định củanhóm G sao cho cùng với phép toán cảm sinh H là một nhóm Kí hiệu

H ≤ G

Định lí 1.1.6 Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm (G, ) Cácmệnh đề sau tương đương:

(i) H ≤ G;

(ii) Với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H và x−1 ∈ H;

(iii) Với mọi x, y ∈ H, x−1y ∈ H

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Trước hết ta chứng minh phần tử đơn vị e0 củanhóm conH cũng chính là phần tử đơn vịecủaG Thật vậy, với mọix ∈ H

ta có e0x = x = ex nên do tính giản ước ta suy ra e0 = e Bây giờ gọi x0

là phần tử nghịch đảo của x trong nhóm con H, ta có x0x = e = x−1x, do

đó x−1 = x0 ∈ H Tính chất xy ∈ H đươc suy từ tính chất nhóm con H

Định nghĩa 1.1.7 Cho S là tập con của nhóm G Nhóm con sinh bởi

S là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được kí hiệu là hSi Tập hợp

S được gọi là tập sinh của nhóm hSi Nếu S hữu hạn: S = {x1, , xn}

thì ta nói hSi là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1, , xn mà tathường kí hiệu nhóm này là hx1, , xni

Định nghĩa 1.1.8 Cho G là một nhóm Nhóm con hai của G sinh bởiphần tử a ∈ G được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a Nếu tồn tại phần

tử a ∈ G sao cho hai = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần

(iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhỏ nhấtsao cho an = e Hơn nữa, khi đó với mọi k ∈ Z, ak = e khi và chỉkhi k là bội số của n.

Định lí 1.1.11 Cho (G, ) là một nhóm và H là một nhóm con của G.Xét quan hệ ∼ trên G như sau:

x ∼ y ⇔ x−1y ∈ H

Khi đó:

(i) ∼ là một quan hệ tương đương trên G

(ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH, trong đó

xH = {xh|h ∈ H}

Ta gọi xH là lớp ghép trái của H Tập hợp thương của G theo quan hệ

∼, kí hiệu là G/H, được gọi là tập thương của G trên H và |G/H| là chỉ

số của nhóm con H trong G, kí hiệu là [G : H]

Chứng minh (i) Tính phản xạ: Với mọi x ∈ G, x ∼ x vì x−1x = e ∈ H.Tính đối xứng: Với mọi x, y ∈ G, nếu x ∼ y thì x−1y ∈ H nên

y−1x = (x−1y)−1 ∈ H, nghĩa là y ∼ x

Tính bắc cầu: Với mọi x, y, z ∈ G, nếu x ∼ y và y ∼ z thì x−1y ∈ H và

y−1z ∈ H nên x−1z = (x−1y)(y−1z) ∈ H, nghĩa là x ∼ z (ii) Ta có

Khi đó ∼0 cũng là một quan hệ tương đương trên G và lớp tương đươngchứa x là x = Hx, trong đó Hx = {hx|h ∈ H} Ta gọi Hx là lớp ghépphải của H.

Định lí 1.1.13 (Định lý Lagrange) Cho G là một nhóm hữu hạn và H

là một nhóm con của G Khi đó:

là một song ánh Thật vậy, ϕ là toàn ánh do định nghĩa của tập hợp xH,

ϕlà đơn ánh nếu xh = xk thìh = k Như vậy số phần tử của các lớp ghéptrái đều bằng nhau và bằng |H|, số lớp ghép là [G : H]

Hệ quả 1.1.14 Cho G là một nhóm hữu hạn Khi đó:

(i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp của nhóm G.(ii) Cấp của mỗi phần tử thuộc G là một ước số của cấp của nhóm G.(iii) Nếu G có cấp nguyên tố thì G là nhóm cyclic và G được sinh bởi mộtphần tử bất kì khác e

Hệ quả 1.1.15 (Định lý nhỏ của Fecma) Nếu p là một số nguyên tố thì

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Tích vô hướng, không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian vectơ trên trường K Tích

vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau:

h., i :H × H → K(x, y) → hx, yi

thỏa mãn các tiên đề sau:

• hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H

• hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H

• hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K

• hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y

Cặp (H, h., i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là khônggian Unita)

i=1

xiyi

xác định một tích vô hướng trên Rn

2 Lấy X = C[0;1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0; 1] nhận giá trịphức với x, y ∈ X, biểu thức

hx, yi =

1 Z

0

x(t)y(t)dt,

xác định một tích vô hướng trênC[0;1] Khi đó không gian này là khônggian tiền Hilbert và thường kí hiệu C[0;1]L

Tính chất 1.1.

(i) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi

(ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2||x||2 + ||y||2

(iii) Nếu lim xn = x0, lim yn = y0 thì lim hxn, yni = hx0, y0i

Chứng minh (i) Với y = 0 bất đẳng thức đúng

Giả sử y 6= 0, với mọi λ ∈ K ta có:

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

(iii) Cho {xn}, {yn} là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần lượthội tụ về x0 và y0 Khi đó, ta có:

|hxn, yni − hx0, y0i ≤ |hxn, yni − hxn, y0i| + |hxn, y0i − hx0, y0i|

= |hxn, yn− y0i| + |hxn− x0, y0i|

≤ kxnk kyn − y0k + kxn − x0k ky0k

Theo giả thiết {xn} hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số

M > 0 sao cho kxnk ≤ M với mọi n ∈ N Vì vậy ta có:

|hxn, yni − hx0, y0i| ≤ M kyn− y0k + kxn− x0k ky0k

Chuyển qua giới hạn ta được:

lim

n→∞|hxn, yni − hx0, y0i| = 0

Suy ra điều phải chứng minh.

Định lí 1.2.3 Cho H là không gian tiền Hilbert Khi đó,

kxk = hx, xi12, x ∈ H

xác định một chuẩn trên H

Chứng minh Từ định nghĩa của tích vô hướng ta suy ra

(i) kxk ≥ 0, với mọi x ∈ H và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0

(ii) Với mọi x ∈ H và α ∈ C ta có kαxk = hαx, xαi12 = |α| kxk

(iii) Với mọi x, y ∈ H ta có

i=1

xiyi,

trong đó x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Cn Khi đó H làmột không gian Hilbert

2) Cho (Ω, B, µ) là một không gian độ đo Kí hiệu:

(i) Ta nói x trực giao với y nếu hx, yi = 0 Kí hiệu: (x ⊥ y)

(ii) Hai tập hợp M, N trong H được gọi là trực giao với nhau nếuhx, yi =

0 với mọi x ∈ M, y ∈ N Kí hiệu: M ⊥ N

(iii) Cho M ⊂ H, tập hợp tất cả các phần tử trong H trực giao với M kíhiệu là M⊥ và gọi là phần bù trực giao của M

Tính chất 1.2

(i) Nếu x ⊥ M thì x ⊥ hM i, (hM i chỉ không gian sinh bởi M)

(ii) Nếu x ⊥ yn, ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y Suy ra nếu x ⊥ M thì

x ⊥ M

(iii) M⊥ là một không gian con đóng

Định lí 1.2.7 Nếu x1, , xn đôi một trực giao thì

kx1 + + xnk2 = kx1k2 + + kxnk2

(Đẳng thức Pythagore)

Chứng minh Ta có:

n X

i=1

xi,

n X

i=1

xii =

n X

i=1

n X

j=1

hxi, xji

n X

i=1

hxi, xii =

n X

i=1

kxik2

Định lí 1.2.8 Nếu M là một không gian đóng của không gian Hilbert

(H, h., i) thì mỗi x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z với

y ∈ M, z ∈ M⊥ Phần tử y gọi là hình chiếu trực giao của x lên M và cótính chất:

kx − yk = inf

y 0 ∈M kx − y0k

1.2.3 Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 1.2.9 Cho không gian Hilbert(H, h., i),S = {e1, e2, , en} ⊂

H Nếu mọi phần tử củaS có chuẩn bằng 1 thìS được gọi là hệ trực chuẩn.Định lí 1.2.10 Cho {en} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

(H, h., i) và {λn} là một dãy số Ta xét chuỗi

∞ X

n=1

Ta có:

(i) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi X∞n=1|λn|2 < ∞

(ii) Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ và có tổng x thì

kxk2 =

∞ X

n=1

|λn|2, hx, eni = λn, ∀n ∈ N∗

Định lí 1.2.11 Giả sử {e1, e2, , en} là hệ gồm n phần tử trực chuẩntrong H Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên khônggian con M sinh bởi hệ {e1, e2, , en} là

y =

n X

i=1

hx, eiiei

Chứng minh Vì M là không gian con hữu hạn chiều nên M đóng trong

H Theo Định lý hình chiếu trực giao, với mỗi x ∈ H được biểu diễn dướidạng x = y + z, trong đó y ∈ M, z ∈ M⊥ Do y ∈ M, ta có y =

n X

i=1

αiei.Với mỗi j = 1, , n ta có

hx, eji = hy + z, eji = h

n X

i=1

αiei, eji

αj kejk2 = αj

Định lí 1.2.12 (Định lý trực giao hóa Schmidt) Giả sử {xn}n∈N là một

hệ độc lập tuyến tính trong không gian tiền Hilbert H Khi đó tồn tại hệtrực chuẩn {en} sao cho lin{e1, e2, , en} = lin{x1, x2, , xn} với mọi

n ∈ N.

Chứng minh Đặt e1 = x1

kx1k Rõ ràng {e1} là hệ trực chuẩn vàlin{e1} = lin{x1}

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp Giả sử có {e1, e2, , en} là

hệ trực chuẩn và lin{e1, e2, , en} = lin{x1, x2, , xn} Ta tìm yn+1 dướidạng:

yn+1 = xn+1 +

n X

n=1

xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

∞ X

n=1

kxnk2 hội tụ và

∞ X

n=1

Đặc biệt, nếu {en} là hệ trực chuẩn, ta có

∞ X

n=1

Chứng minh Với mỗi n ∈ N, đặt

Sn = x1 + x2 + + xn và Tn = kx1k2 + kx2k2 + + kxnk2

Khi đó với n, p ∈ N ta có:

kSn+p − Snk2 =

n+p X

n=1

xn hội tụ

Hơn nữa, từ đẳng thức

∞ X

k=1

kxkk2

cho n → ∞ ta được

∞ X

n=1

kxnk2

Định lí 1.2.14 Giả sử {en}n∈N là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H Khi đó, với mọi x ∈ H chuỗi

∞ X

n=1

hx, enien hội tụ và

∞ X

n=1

|hx, eni|2 ≤ kxk2 (1.4)Chuỗi

|hx, eni|2 hội tụ Với mỗi n ∈N ta đặt Mn = lin{e1, e2, , en} Khi đó

Mn là không gian con đóng của H, theo Định lý hình chiếu trực giao với

x ∈ H có biểu diễn duy nhất dưới dạng x = yn + zn trong đó yn ∈ M và

zn ∈ M⊥ Hơn nữa, ta có

yn =

n X

i=1

|hx, eii|2 + kznk2

Suy ra

n X

Định lí 1.2.15 Cho {en}n∈N là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H Các mệnh đề sau tương đương:

(i) Hệ {en}n∈N là cơ sở trực chuẩn

n=1

hx, enihy, eni

(iv) kxk2 =

∞ X

n=1

|hx, eni|2, ∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval)

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Theo Định lý (1.2.14) ta có chuỗi

∞ X

n=1

hx, enien hội

tụ Đặt y = x −

∞ X

n=1

hx, enien, ta chứng minh y = 0 Với mỗi j ∈ N ta có

hy, eji = hx, eji − h

∞ X

(ii) ⇒ (iii) Với mọi x, y ∈ H theo (ii) ta có

hx, yi = h

∞ X

n=1

hx, enien,

∞ X

n=1

hy, enieni

= limn→∞h

n X

i=1

hx, eiiei,

n X

i=1

n X

i=1

hx, eiihy, eii

=

∞ X

n=1

|hx, eni|2.(iv) ⇒ (i)Ta chứng minhM⊥ = 0 Với mọiz ∈ M ⊥ ta suy ra hz, eni = 0

với mọi n ∈ N Theo (iv) ta có

kzk2 =

∞ X

là một cơ sở trực chuẩn trong L2[0, 2π]

Thật vậy, với mỗi n ∈ N ta có

h√12π,

1

√2πi = Z

[0,2π]

12πdx = 1,

Với mỗi f ∈ L2[0, 2π] và với mỗi ε > 0 tồn tại một hàm g ∈ C[0,2π] saocho

< ε

2.

Vậy kf − hk < ε Do đó hệ trên là cơ sở trực chuẩn của L2[0, 2π] Và từ

đó ta có với mọi f ∈ L2[0, 2π] khai triển được thành chuỗi Fourier nhưsau:

f (x) = √a0

π +

∞ X

n=1

ξnen, kxk2 =

∞ X

n=1

|ξn|2

Chứng minh Theo Định lý (1.2.13) chuỗi

∞ X

n=1

ξnen Với mỗi m ∈ N, ta có

hx, emi = h

∞ X

n=1

ξnen, emi = ξm

Điều này có nghĩa x nhận các số ξn làm hệ số Fourier.

Giả sử có y ∈ H sao cho ξn = hy, eni với mọi n ∈ N Khi đó ta có

Định nghĩa 1.3.1 (Lớp Schwartz) S(R) là tập hợp vô hạn các hàm

f : R →C giảm nhanh và đạo hàm của nó cũng là các hàm giảm nhanh.

Nghĩa là, cho tất cả các số nguyên không âm k và l khi đó

lim

|x|→∞|xk||f(l)(x)| = 0

Bổ đề 1.3.2 Lớp Schwartz là không gian vectơ

Chứng minh Vì ta đang sử dụng các hàm nhận giá trị trong C, ta biết rằngphép cộng của các hàm có tính chất giao hoán, kết hợp và tích vô hướng

có tính kết hợp Vớic1, c2 ∈ C vàf, g : R → C ta có: c1(f + g) = c1f + c1g

và (c1+ c2)f = c1f + c2f Vì thế ta chỉ cần kiểm tra S(R) đóng dưới phéptoán cộng và nhân vô hướng, có hàm đơn vị và hàm đối

Cho f, g ∈ S(R), khi đó, cho h(x) = f (x) + g(x) Lấy đạo hàm bậc n

ta được h(n)(x) = f(n)(x) + g(n)(x) Sau đó bằng Định lý giới hạn và bấtđẳng thức tam giác, ta có

c × f(n)(x) Tiếp tục sử dụng công thức giới hạn, lim

|x|→∞|x|k|cf(l)(x) =

c × lim

|x|→∞|x|k|f(l)(x)| = |c| × 0 = 0, do đó lớp Schwartz đóng dưới phépnhân vô hướng

Cho b : R → C được định nghĩa là b(x) := 0 với mọi x ∈ R Hàm này

nằm trong S(R) do đó lim

|x|→∞|x|k|b(l)(x)| = lim

|x|→∞|x|k × 0 = 0 Khi đó vớimọi f ∈ S(R) thì f (x) + b(x) = f (x) + 0 = f (x) với mọi x ∈ R Do

đó, b(x) là phần tử không của S(R) Tương tự với mọi f ∈ S(R) ta có

1 × f (x) = f (x) với mọi x ∈ R nên 1 là đơn vị trong phép nhân vô hướng.Cho mọi g ∈ S(R), xét hàm −g với −g(x) = (−1) × g(x) với mọi x ∈ R.

Khi đó g(x) + (−g(x)) = 0 với mọi g ∈ S(R), vì vậy tồn tại phần tử đối

Do đó ta có thể kết luận S(R) là một không gian vectơ

Bổ đề 1.3.3 Tích vô hướng trong lớp Schwartz Với mọi f, g ∈ S(R),

cho f (x0) 6= 0 Bằng định nghĩa liên tục, tồn tại δ > 0 mà |x − x0| < δ và

Vậy phương trình (1.5) là định nghĩa tích trong S(R).

Định nghĩa 1.3.4 Chuẩn trong không gian S(R) được định nghĩa:

kf k2 :=

  Z

R

|f (x)|2dx (1.6)

Bổ đề 1.3.5 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Cho f, g ∈ L2(R),

|hf, gi| ≤ kf k2kgk2.1.3.2 Biến đổi Fourier trên S(R)

Bây giờ chúng ta sẽ đi qua một vài định nghĩa cơ bản và Định lý từ giảitích Fourier cổ điển, ta sẽ tìm các tính chất tương tự trong nhóm S(R)

Định nghĩa 1.3.6 Biến đổi Fourier f :“ R → C (hay F [f ]) của một hàmSchwartz với ξ ∈R được định nghĩa

Ta sẽ sử dụng tích phân từng phần với u = e−2πiξx và dv = f0(x)dx

Từ đó du = −2πiξe−2πiξxdx và v = f (x) Do đó ta được

2πiξe−2πiξxf (x)dx = 2πiξf (ξ).“

Định nghĩa 1.3.8 (Tích chập) Tích chập của hai hàm f và g được địnhnghĩa là

(f ∗ g)(x) =

Z

R

f (x − y)g(y)dy

CHƯƠNG2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU

HẠN

Các nội dung của chương này tôi đã tham khảo trong các tài liệu: [5],[4]

và [3]

2.1 Không gian Hilbert trên nhóm G

2.1.1 Xây dựng không gian Hilbert L2(G)

Bây giờ chúng ta sẽ đi xây dựng không gian Hilbert L2(G), tương tựkhông gian L2(R) Ta có không gian L2(R) là không gian gồm các hàm đi

từ G vào C Do đó chúng ta chỉ xét đến các nhóm hữu hạn, vì vậy chúng

ta không cần một không gian đặc biệt, hạn chế của các hàm như với lớpSchwartz trong R Tương tự với S(R) đó là không gian của hàm đi từnhóm được xác định như trên vào tập số phức, L2(G) = f : G → C.

Định nghĩa 2.1.1 Đặt |G| = n, với mỗi a ∈ G ta định nghĩa hàm

n bởi rằng sau đó ta lại xây dựng một tích bên trong L2(G),

δas có thể tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2(G)

Hai bổ đề sau đây sẽ giúp chúng ta chứng minh được rằng δas thực sựtạo thành cơ sở trực chuẩn của L2(G)

Chứng minh Giả sử G = {a1, a2, , x, , an−1, an} Khi đó

Theo định nghĩa về độc lập tuyến tính ta được {δa}a∈G độc lập tuyến

tính

2.1.2 Tích phân trong không gian L2(G)

Định nghĩa 2.1.4 Cho U ⊂ G và f ∈ L2(G), ta định nghĩa tích phân

của hàm f trên tập U như sau:

αf (x) + X

a∈U

βg(x)

= α X a∈U

2.1.3 Tích vô hướng trong L2(G)

Định nghĩa 2.1.7 Định nghĩa ánh xạ h., i : L2(G) × L2(G) → C cho

f (a)f (a) = 0 + 0 + + 0 = 0 Do đó hf, f i = 0 nếu và chỉ nếu

f (a) = 0 với mọi a ∈ G

Vậy h., i là một tích vô hướng trong L2(G)

Định nghĩa 2.1.9 Cho f ∈ L2(G), chuẩn được định nghĩa

Bổ đề 2.1.11 Hệ {δa}a∈G là một cơ sở trực chuẩn của L2(G)

Chứng minh Giả sử aj, ak ∈ G và j 6= k Khi đó

Tiếp theo ta giả sử aj, ak ∈ G và j = k Khi đó

Vậy {δa}a∈G là cơ sở trực chuẩn trong L2(G)

2.2 Phép biến đổi Fourier trên L2(G)c

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu nhóm

χ : G → S1 trong đó S1 là đường tròn đơn vị, xác định như sau:

(χ1χ2)(a) = χ1(a)χ2(a), ∀χ1, χ2 ∈ G, a ∈ G.c

Ví dụ 2.2.4 Xét hai nhóm Zn khi đó nhóm đối ngẫu có thể xác định với

Un là căn bậc n của phần tử Cho n = 3, ta có thể tạo bảng cộng cho Z3

× 1 e2πi/3 e4πi/3

1 1 e2πi/3 e4πi/3

e2πi/3 e2πi/3 e4πi/3 1

e4πi/3 e4πi/3 1 e2πi/3

Ta nhận thấy cả hai bảng cấu trúc giống nhau Thực sự vậy, Z3 ' U3 Tacùng xem đa thức đặc trưng trên từng phần tử của nhóm, ta có bảng đathức đặc trưng:

có thể liên hệ a đến aχa trong Gc Trong trường hợp tổng quát, không cóđẳng cấu chính tắc giữa G và Gc

Bây giờ ta xét một nhóm khác, ta xẽ cần định nghĩa không gian tương

tự đến L2(G), ta gọi là không gian L2(G)c bao gồm các hàm từ G →c C.

Không gian L2(G)c là không gian đối ngẫu của L2(G) Tương tự những gì

ta đã có với không gian L2(G), ta có thể chỉ ra rằng L2(G)c có tích trongkhông gian vectơ

Định nghĩa 2.2.5 Tích trong L2(G)c với f ,“ g ∈b Gc được định nghĩa nhưsau:

χ∈“ G

“

f (χ)f (χ).“

ý sao cho b = a0 + a cho bất kì a ∈ G, thì

Chứng minh Chúng ta để ý rằng: χ(a)χ(b) = χ(a)χ(−b) = χ(a − b)

Ta sẽ xem xét trường hợp a = b Khi đó χ(a)χ(b) = χ(a − b) = χ(0)

Từ Bổ đề (2.2.8) ta được X

χ∈“ G

χ(a)χ(b) = n