Luận văn phép biến đổi fourier rời rạc

Nguyễn Văn Khải, luận văn T hạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier rời rạc” do tôi tự làm.. Lí do chọn đề tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọn

BO GIÂO DUC VÀ DÀO TAO • • • TRlTCÏNG DAI HOC SU* PHAM HÀ NÔI 2 • • • •

BÙI THI THÂO

PHÉP BIEN DÔI FOURIER RÔI RAC

HÀ NQI, 2015

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 _ • _• • _ •

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIÉN ĐỎI FOURIER RỜI RAC

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nh ất tới TS Nguyễn Văn Khải, người đã định hướng chọn đề tài và tậ n tình hướng dẫn để tác giả hoàn

th àn h luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìn h học tậ p và hoàn

th àn h luận văn tố t nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân th àn h tới gia đình, bạn bè, người

th â n đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện th u ận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn th àn h luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải, luận văn T hạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier rời rạc” do tôi tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừ a những

th àn h tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Thảo

Mục lục

M ỏ đ ầ u

1.1 Một vài khái niệm trong giải t í c h

1.1.1 Một số định lỷ của lỷ thuyết tích phân 1.1.2 Không gian L p (1 < p < oo)

1.1.3 Tích chập

1.1.4 Tích phân D i r i c h l e t

1.2 Chuỗi Fourier và tích phân F o u r i e r

1.2.1 Chuỗi F o u r i e r l

1.2.2 Sự hội t ụ

1.2.3 Tích phân F o u r i e r

2 P H É P B I Ế N D Ồ I F O U R I E R 2.1 Phép biến đổi Fourier trong L 1 (K)

2.1.1 Phép biến dối F o u r i e r

2.1.2 Một số dạng biến đỗi Fourier khác 2.1.3 Các tính chất

2.2 Phép biến đổi Fourier trong L 1 (Rn)

2.2.1 Định n g h ĩ a

2.2.2 Tính chất

3

5 5 5

6 8 8

10 10 10 12

13 13 13 16 18

22 22

23

3 P H É P B I Ế N Đ ồ ĩ F O U R I E R R Ờ I R Ạ C

26262727

m a trận

323441

4 M Ộ T V À I Ứ N G D Ụ N G C Ủ A P H É P BĩẾ N đ ỏ i F O U R I E R

R Ò Ĩ R Ạ C

4.1 P h ân tích phổ tín hiệu

46464.2 T ính tín hiệu ra hệ thống rời rạc LTI 51

524.3 Bộ lọc hai chiều dùng F F T

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học cũng như trong toán học tính toán Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn khoa học kỹ th u ậ t dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn, là m ột biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được

sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phân

tầ n số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng và

để làm các phép như tích chập Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi

th u ậ t toán biến đổi Fourier nhanh Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụng như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh

Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép biến đổi Fourier rời rạc"

2 M ục đích ngh iên cứu

Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc và m ột vài ứng dụng của nó

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng của nó

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier

- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc

- ứ n g dụng

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài

6 D ự kiến đóng góp

Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc và nêu m ột số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc

Đ ị n h lý 1.1.1 Cho (f n) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập

íĩ c ~R n sao cho sup f n f n < oo Khi đó, (f n) hội tụ hầu khắp nơi trên íĩ

n

về một hàm f khả tích trên ri và \\fn — / I I : = f n \ fn (X) — / (:r)| d x —»■ 0 khi n —>• 0 0

Đ ị n h lý 1.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)

Cho ( / n) là một dẫy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Q c thoả mãn:

(ỉ) fn bị chặn đều bởi một hàm không âm khả tích trên Í2,

Đ ị n h lý 1.1.3 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên ÍỈ1 X í ỉ 2 Khi đó với

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 Cho p £ R , 1 < p < oo, ta định nghĩa:

ư (íĩ) = { / : íl —> M (hoặc c ) ; f đo được và \ f \ p khả tích} ,

L°° (íỉ) = { / : Q —> M (hoặc c ) ; f đo được và 3 C > 0, I / (a:)| < c h.k.n}

Trong trường hợp p = q = 2 ta có bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f , g £ L 2 thì f g e L 1 và IIý g ị ^ < \\f\\2 \\g\\2

Do đó:

Ưoo \ f { x ) g ( x ) \ d x j < / \ 2 p00 \ f ( x ) \ 2 dx / r oo \ g ( x ) \ 2 dx.

Đ ị n h lý 1.1.5 (Fischer - Riesz)

(i) y L p, ||.||PJ là không gian Banach với 1 < p < oo.

(n) Giả sử ( f n) ỉà dãy hội tụ về Ị trong không gian L p (1 < p < o o ) , tức

là II f n — f \ \ p 0, thế thì tồn tại dãy con (fnk)k=i 2 sao ch ° :

với h là một hàm trong L p.

Với Í2 là tập mở trong ta kí hiệu c k (Í2) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến cấp k và c°° (íỉ) = fifeLi c k ( í ĩ ) Còn C c (íỉ) là không

gian các hàm số / liên tục trên íỉ sao cho giá (support) của / tức là tập

hợp s u p p f = { x £ í}', f (X) Ỷ 0} là compact chứa trong íĩ Đặt:

Đ ị n h lý 1.1.6 Với 1 < p < oo thì C™ trù mật trong ư (íỉ).

Đ ị n h lý 1 1.7 (Rỉemann - Lesbesgue) Cho f G L 1 ( a , ò ) , với (a,ò) là

khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của M thì ta có:

lim / / (a;) c o s N x d x = 0, lim / / (a;) s i n N x d x = 0.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.1.3 Cho / là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, 6]

Giả sử p = {x0, X i , x n} là m ột phân hoạch của đoạn [a,6], nghĩa là

a = x 0 < XI < x 2 < < x n = b Đặt

trong đó A f ị = / ( X ị ) — f (Xj_ 1) , sup lấy trên t ấ t cả các phân hoạch của

[a, 6] Ta gọi V ( / ) là biến phân toàn phần của / trên [a, 6] Hàm / gọi là

có biến phân bị chặn trên [a, 6] nếu V ( / ) < 0 0

T í n h c h ấ t 1.1.1 Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a ,ò ].

(i) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu R e [/] và I m [ f ] , tức phần thực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn.

(ii) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,

(Ui) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, q đơn điệu tăng trên [a, 6] sao cho f (X) = p (a;) — q (X) , Va; e [a, 6] Hơn nữa, nếu f liên tục thì p , q cũng liên tục.

1.2 C huỗi Fourier và tích phân Fourier

1 2 2 S ự h ộ i t ụ

* Sự hội tụ trong L 1 (E).

Đ ị n h lý 1 2.1 Cho / G I 1 [—7T,7r], nếu / thoả m ẫ n đi ều ki ện D i r i c h l e t

tr on g ( —7T,7r) í / l ì ch uỗi F o u r i e r của f s ẽ hội tụ v ề f ( x ) t ại các đ i ể m

X £ ( — 7T, 7r) m à t ạ i đ ó h à m f l i ê n t ụ c , h ộ i t ụ v ề — [ f (a^+ ) + / (a?- )] n ế u X

l à đ i ể m g i á n đ o ạ n t h ô n g t h ư ờ n g , h ộ i t ụ v ề — [f (a^+ ) + / (^c- )] t ạ i X = ±7T

n ếu f ( — 7T+ ) và f (7T_ ) t ồ n tại.

Đ ị n h lý 1.2.2 ( S ự hội tụ đ ều)

Cho f G L 1 [—7T,7r] Giả sử f bị chặn, thoả mãn điều kiện Dirichlet trên

( — 7T, 7r) và gi ả sử f liên tục t rên khoảng ( u : v ) c ( — 7T,7r) K h i đó chuỗi

F o u r i e r của f hội tụ đều v ề f t r ê n m ộ t đoạn bất kỳ [a, b] c ( u , v )

* Sự hội tụ trong L 2 (R).

Xét không gian L 2 các hàm bình phương khả tích trên [—7T,7r] Trong

L 2, dãy hàm {(Pnịn € N} được gọi là một hệ trực giao nếu:

Cho hàm / e L 2, với hệ trực chuẩn {ipn} ta đặt:

Đ ị n h lý 1.2.5 Cho / ẽ L 1 (M), thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi

khoảng mở hữu hạn Giả sử f (æ+ ) và / (x ~ ) tồn tại, thì ta có

1 2 3 T ích p h â n Fourier

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2.1 P h ép biến đổi Fourier tron g L1 (R)

2 1 1 P h é p b i ế n đ ổ i F o u r i e r

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 1 Cho / € L 1 (M), hàm / xác định bởi

ĩ w = 4 r r y / Z 7 ĩ * ' —00 f ^ e~,UẾt í2'1)

được gọi là phép biến đổi Fourier của /

V í d ụ 2 1 1 Cho / (X) = e—“ 1^15 OI > 0 Tìm biến đổi Fourier f của f (X)

Lời giải.

Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:

f (X) = J e~a^ e ~ iXidt = J e- “^ (COSẰX — i si n X x ) dx

Đ ị n h lý 2 1 1 Giả sử f €E L 1 (1R) thì f G c ° với c ° là không gian các

hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa

tới 0 khi n —> 00 Vì vậy / (t n) —»■ / (t ) do định lý hội tụ bị chặn Vậy /

B ổ đ ề 2 1 1 Cho f xác định trên M và với mỗi y Ẽ R , đặt fy là tịnh tiến

[ - A , A ] sao cho II/ - g\\p < £.

Nhận thấy g liên tục đều trên M nên tồn tại ỗ G (o, A) sao cho

Đ ị n h lý 2 1 2 Nếu f , / i , /2, £ L1 (R) và nếu \\fn — / l l j —i► 0 khi n —>

0 0 thì lim f n (æ) = / (æ) đều trên R.

n—>00

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 2 (Biến đổi Fourier ngược)

Nếu / ẽ L 1 (R) và / £ L 1 (E) là biến đổi Fourier của / thì ta có

(2.3)Trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính, tức là

Đ ị n h lý 2 1 3 Giả sử f G L 1 (R) và f G L 1 (M) Dặt

(2.4)

được gọi là biến đổi Fourier ngược của /

C h ú ý 2 1 1 Đối với hàm chỉ xác định với X > 0, ta có công thức biến đổi Fourier dạng sin và dạng cosin Chẳng hạn với hàm f (X) xác định với

cosằx = — (eiAæ + e-iAæ)

Từ đó ta có biến đổi Fourier cũng là một hàm chẵn Do đó:

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 3 (Biến đổi Fourier - cosin)

Cho hàm / ẽ L 1 (M+ ) và / là hàm chẵn ta định nghĩa phép biến đổi

Fourier - cosin của hàm / là hàm

F (À) = J — Ị f (X) cosXxdx.

V 7T J q

Nếu / thoả m ãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a , 6) c K+

và / liên tục tại X thì theo định lý 1.2.5 ta có

C h ú ý 2 1 2 Nếu ta bắt đầu với hàm f được xây dựng bằng hàm lẻ, tức là

f ( —x) = — / (X) và thực hiện các bước biến đổi như trên ta cũng có công thức biến đổi Fourier dạng sin của hàm f ( x )

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 4 (Biến đổi Fourier - sin)

Cho hàm / G L 1 (R + ) và / là hàm lẻ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier

- sin của hàm / là hàm

và / liên tục tại X thì theo định lý 1.2.5 ta có

Nếu / là hàm bậc thang thì / là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng T ừ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có / liên tục và tiến về 0 khi |AỊ —> 00.

Nếu / £ L 1 (K), do tập hợp các hàm bậc thang trù m ật trong L 1 (M),

t a tìm được dãy các hàm bậc thang ( / n) =1 2 hội tụ trong L 1 (R) về /

tục và tiến về 0 khi IAI —> 00

T í n h c h ấ t 2 1 6 Cho f ẽ L 1 (R) thoả mãn tính chất f ' G L 1 (E) và f

liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đó

Chứng minh Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên

Do f E L 1 (M) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi X —> ±0 0

Hơn nữa / G L 1 (M) nên giới hạn đó phải bằng 0.

T í n h c h ấ t 2 1 7 Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L 1 (M) thì f hội

tụ về 0 càng nhanh khi IÀI —> OO; nghĩa là

T í n h c h ấ t 2 1 8 Cho f G L 1 (M) Nếu f " tồn tại và f " e L 1 (M) thì

ỉ € L 1 ( R )

Chứng minh Do f & L 1 (M) nên / bị chặn (theo tính chất 2.1.5) và

/ e L 1 ( R )

T í n h c h ấ t 2 1 9 Cho f & L 1 (R) và thoả mãn I f ẽ L 1 (R), I là ánh xạ

C h ú ý 2 1 3 Tính chất 2.1.9 cho ta thấy nếu f giảm càng nhanh thì /

Chứng minh Cho p , q & N bất kỳ, ta có

A 7 (A) < M.

Hơn nữa, theo tính chất 2.1.9 và tính chất 2.1.6 thì

(¿A)5 (/)<"> (A) = ạ x y [ ( - i x Ỵ f Or)]A

= { - í ) r íỉA)" [a:”/ ( x) Ỵ = ( - t Ỵ ( s r¡ Ỷ " (x)

Suy ra / G s vì {xpf ) ^ (a:) < M và {xpf ) ^ G L 1 (M ).

2.2 P h ép biến đổi Fourier tro n g L1 (M71)

2 2 1 Đ ị n h n g h ĩ a

Đ ị n h n g h ĩ a 2 2 1 Giả sử hàm / G L 1 (Rn) không gian các hàm khả tích

trên Mn, hàm / được định nghĩa như sau

= (27r)_n í í e - ^ - y ^ ý [x - y ) e“iAy£ (y) dydx

= (27r)_n í e ~iXyg (y) ỉ e ~i{x~y)xf (X - y ) d x d y

T í n h c h ấ t 2 2 2 Giả sử hàm / G L 1 (Mn) khi đó nếu f j —> f trong

- v ử r L ịfi {x) - f ^ dx= ự(fcf IIA - 'II* ■

Như vậy f j hội tụ đều về / trên ]Rn.

T í n h c h ấ t 2 2 3 Giả sử hàm f € L 1 (Mn) khi đó hàm T y f , M y f , D af

tương ứng thuộc L 1 ( I ' 1), hơn nữa với X € Mn ta có: