Nội dung của khoá luận chỉ hạn chế xét trong một lĩnh vực hẹp nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Fourier trong việc phát triển t- duy Toán học, Vật lý nh-: - Tính tích phân suy rộng.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
Trang 2Mở đầu
Khi mở rộng tích phân xác định sang tích phân suy rộng (tích phân với cận vô cùng và tích phân của hàm không bị chặn) đã gặp không ít khó khăn
Tr-ớc Fourier, một cách tự nhiên nhiều ng-ời đã nghĩ cách: "Khai triển một
hàm số theo chuỗi hàm l-ợng giác" Song lý thuyết này ch-a đ-ợc hoàn chỉnh
Trong quá trình nghiên cứu và tìm cách giải ph-ơng trình truyền nhịêt, ph-ơng
trình Laplace, Fourier đã hình thành và phát triển lý thuyết trên với đề tài: "Phép
biến đổi Fourier " một cách t-ơng đối hoàn chỉnh vào năm 1870 Tuy nhiên lúc
bấy giờ, do sự hoài nghi của một số nhà toán học lớn nh- Lagrange, Laplace, Poisson, nên mãi 8 năm sau các kết quả của Ông mới đ-ợc công bố Biến đổi Fourier ra đời sớm nhất trong tất cả các biến đổi Laplace, Radon Phép biến đổi Fourier hiện nay đ-ợc mở rộng, phổ biến và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của Toán học Cụ thể là cùng với Fourier một số nhà Toán học đã xây dựng thành lý thuyết chuỗi Fourier Bessel, Fourier Legendre Các kết quả này đã đ-ợc áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu giải các bài toán Cauchy của ph-ơng trình truyền nhiệt, ph-ơng trình Laplace, ph-ơng trình dao động đàn hồi
Nội dung của khoá luận chỉ hạn chế xét trong một lĩnh vực hẹp nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Fourier trong việc phát triển t- duy Toán học, Vật lý nh-:
- Tính tích phân suy rộng
- Giải ph-ơng trình tích phân
Trong khoá luận này chúng tôi trình bày các phép biến đổi Fourier, phép biến
đổi Fourier - cosin và phép biến đổi Fourier - sin Một số ph-ơng pháp, tính chất của phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng của nó
Nội dung của khoá luận đ-ợc trình bày qua các phần nh- sau:
1 Một số khái niệm cơ bản Phần này trình bày các khái niệm cơ bản nh-:
hàm liên tục, hàm khả tích tuyệt đối, p()
L , hàm gamma, hàm beta
Trang 32 Phép biến đổi Fourier Phần này nêu định nghĩa của phép biến đổi tích
phân, phép biến đổi Fourier và các ví dụ tìm phép biến đổi Fourier của một hàm đã cho
3 Phép biến đổi Fourier - cosin và phép biến đổi Fourier - sin Phần này
tr-ớc tiên trình bày định nghĩa của phép biến đổi Fourier - cosin và phép biến đổi Fourier - sin, sau đó nêu một số định lý có liên quan đến phép biến đổi này
4 Một số ph-ơng pháp tìm phép biến đổi Fourier ở phần này trình bày 3
ph-ơng pháp để tìm phép biến đổi Fourier đó là: Phép lấy vi phân d-ới dấu tích phân, khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa và dùng cho chuỗi thặng d-
5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier Trong phần này trình bày 10 tính
chất của phép biến đổi Fourier bao gồm tính chất cơ bản, tính chất tích phân và tính chất đối ngẫu đồng thời nêu một số ví dụ để vận dụng các tính chất đó
6 Một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier
6.1 Giải ph-ơng trình tích phân Tức là tìm hàm f(x) trong ph-ơng trình có chứa
dấu tích phân Ph-ơng pháp giải là dựa trên công thức phép biến đổi Fourier (hay còn gọi là phép biến đổi Fourier thuận) và ng-ợc
6.2 Tính tích phân suy rộng Ngoài các ph-ơng pháp tính tích phân suy rộng đã
biết trong các tài liệu tham khảo thì khoá luận này còn trình bày thêm một ph-ơng pháp khác đó là dựa vào phép biến đổi Fourier
Khoá luận đ-ợc hình thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn
Tự và sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán - Đại học Vinh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Văn Tự, ng-ời đã đặt vấn
đề và dẫn dắt, chỉ ra những sai sót cũng nh- những góp ý chân thành giúp tôi hoàn thành khoá luận này Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán tr-ờng Đại học Vinh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt 5 năm học qua
Mặc dù cố gắng rất nhiều nh-ng do thời gian và hạn chế về mặt trình độ nên khoá luận chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong đ-ợc sự góp ý của các thầy cô và bạn đọc để khoá luận đ-ợc hoàn chỉnh hơn
Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!
Trang 4Vinh, tháng 04 năm 2006
Tác giả
Định nghĩa 1.2 Cho p với 1 p và R n; ta định nghĩa
L p f :R (hoặc C); Fourier đo đ-ợc và f p khả tích
và ký hiệu p f f x p dx p
1)
1
0,
0,
0,
)1()
Trang 5Do đó tích phân Euler loại hai hay hàm beta là hàm số xác định trên (0,)(0,)
1.2 Các tính chất và các công thức quan trọng
1.2.1 Tính chất của tích phân Euler
Giữa các hàm gamma và beta có mối liên hệ sau:
)(
)()(),(
q p
q p q
p B
0
2
R x n
x x
e x
ix ix
ix ix
2sin
,2cos
Trang 62 .phép Biến đổi Fourier
Định nghĩa 2.1 Cho hàm f(x)L1(R) Phép biến đổi tích phân của hàm
F ( ,) ( ) Trong đó K(x,)là hàm hữu hạn và gọi là hàm nhân tử của phép biến đổi tích phân Nếu nhân tử nhận giá trị phức thì F() gọi là hàm phức theo
Để tích phân của phép biến đổi hàm f (x)tồn tại thì cần phải tìm điều kiện của
Ta có công thức phép biến đổi Fourier ng-ợc nếu FL1(R)
e x
2
1)
Trang 7Giải Hàm f (x) thoả mãn điều kiện của công thức (2.1) Vì lấy tích phân tuyệt đối trên toàn bộ trục số ta có:
0 0
dx e dx e dx x
121
11
2
11
11
12
1
1
11
12
12
1
2
1)
(2
1
)
(
2 2
0
) 1 ( 0
) 1 ( 0
) 1 (
0
) 1 (
0 0
i i
e i
e i dx
e dx e
dx e e dx e e dx
x f e F
x i x
i x
i x
i
x x i x
x i x
i
Ví dụ 2.2 Cho hàm f(x) ex cosx
Tìm phép biến đổi Fourier của f
Trang 8v e du
2
11
cos
0sin1
sin
0 0
xdx e
x e
xdx e
1)
Suy ra f (x) liên tục trên các đoạn và trên khoảng ,0, đạo hàm
)sin(cos
2
sincoscos
cos2
1
cos2
1)
(2
1)(
e
xdx x
e i xdx x
e
xdx e
e dx
x f e F
x
x x
x x i x
).(
2
1]
)1cos[(
])1cos[(
2
1
coscos2
2)
(
4 3 0
0
0
J J dx
x e
dx x e
xdx x
e F
x x
Trang 9Trong đó
0
4 0
)1(1
])1sin[(
)1(0])1cos[(
0
0 3
dx x e
x e
J
x
x x
3 2
0 2 0
3
)1(1
1)
1(1
])1cos[(
)1(0])1sin[(
)1(1
)1sin[(
)1
dx x e
x e
xdx e
J
x x
)1(1
)1(1
1)
1(1
12
1)(
,1)
x
1,0
10
12
1)
(2
1)(
1 0
x i x
i x
i
e i
dx e
dx e
x f
Trang 10
2sin
22
21
i i
i
e e
e e
cos2
sin2
Vµ tiÕn dÇn vÒ 0 khi thay
2sin
t¹i c¸c ®iÓm k 2k
2 , (k 0,1,2 ) )
2
12
sin k k , (k 0,1,2, )
Ngoµi ra F 0 khi
Trang 113 Phép biến đổi Fourier - cosin và Phép biến đổi Fourier - sin
2
xdx x
f
Hàm F c đ-ợc gọi là biến đổi Fourier - cosin của hàm f (x)
Hàm F s đ-ợc gọi là biến đổi Fourier - sin của hàm f (x)
Nếu F cL1(R) và F sL1(R) thực hiện phép biến đổi nghịch đảo Fourier - cosin, Fourier - sin của hàm f (x) ta có:
0
cos
2)
F xd
x
Định lý 3.1 Hàm chẵn của phép biến đổi Fourier còn có thể xác định bằng
phép biến đổi Fourier - cosin tức là: F()F c()
Chứng minh
Ta có phép biến đổi Fourier
sin ) ( 2
cos ) ( 2
1
) sin )(cos
( 2
1 )
( 2
1 ) (
f
i dx x x
f
dx x i x x
f dx
x f e
Trang 12( )cos
2
2cos
)(2
(
0 0
cos)(2
1
)sin)(cos
(2
1)
(2
1)(
f
i dx x x
f
dx x i
x x
f dx
x f e
)(
(
0 0
thì ta có phép biến đổi Fourier F()F c()i F s()
F c() là Fourier - cosin của hàm f (x)
Trang 13F s() lµ Fourier - sin cña hµm f (x)
2
xdx x
()
(2
1)
(2
1
))()((2
1)
(2
1)(
x i x
i
x i x
i
F i F
dx e
x f dx
e x f
dx e
x f x f dx
x f e F
2cos
2cos
)(
2
J xdx
e xdx
x f
0sin
1
xdx e
a xdx e
a e
Trang 14
v x du
0cos
1sin
2 2 1
1 0
J a a
xdx e
a e
a dx x e
a
VËy
2 2
2)
12
12sin
2sin
2
2 2 2
2
1 0
a a
J
a xdx
e xdx
x f
,1cos
x x
,1)
1
10
x x
Theo c«ng thøc (3.1) ta cã:
1
0 0
cos1
2cos
)(
2
xdx x
xdx x
Trang 15
sin22cos
112
0
1cos12sin
10
1sin1
2
2
2 2
2 1
sin22
2cos
2)
,1cos
x x
cos
2cos
)(
2
xdx x
xdx x
du u e s
du u e z
s z su z thay z a,s x th× ta cã:
10
u e a
Trang 16cos1
2cos
2
du u
e xdx a
xdx x
1
cos1
2
xdx e
du u a
sinsin
1cos
0cos
J u u
xdx e
u x
du u
u
u a
F
a a
1 2 2
121
(
12
)
v
v a
dv v
v a
F
a a
a a c
dt t
t
b a
Trang 17
áp dụng: t v,b2,a' 1(a1)1
Thay vào ta đ-ợc:
2cos
22
1sin21
0 2
1 1
dv v
22
cos
12
)(
2)(
1 1
a a
F
a a
Định nghĩa 3.3 Hàm f(x) đ-ợc gọi là hàm đối ngẫu từ phép biến đổi tích phân
đã cho nếu sau phép biến đổi không làm thay đổi tính chất của hàm ( chỉ thay đối
số x bằng đối số
Ví dụ 3.4 Chứng minh rằng:
x x
f( ) 1 đối ngẫu với phép biến đổi Fourier - cosin
Ta có
z z
z
sin)1()(
với
2
122
1cos,
)2
1(
2sin
)2
1()2
1(2
)
1 2
f( ) 1 đối ngẫu với phép biến đổi Fourier - cosin
Trang 184 Một số ph-ơng pháp của phép biến đổi Fourier
Để tìm đ-ợc phép biến đổi Fourier trên cơ sở kỹ năng áp dụng tích phân trong nhiều tr-ờng hợp Trong các tr-ờng hợp phức tạp ta có thể nhờ vào các ph-ơng pháp biến đổi đặc biệt ở đây ta xét một số tr-ờng hợp đặc biệt nh- vậy
4.1 Phép lấy vi phân d-ới dấu tích phân
Ta nhận thấy rằng phép biến đổi Fourier F()( hay F s(), F c()) tr-ớc hết là phép lấy vi phân có chứa tham số d-ới dấu tích phân, rồi sau đó tính tích phân hàm
F(), F s(), F c() và xây dựng lại phép tính tích phân bằng tham số Tuy nhiên phép lấy vi phân d-ới dấu tích phân suy rộng không phải khi nào cũng thực hiện
đ-ợc, mà cần phải có điều kiện kèm theo Nh- vậy căn cứ vào điều kiện ta sẽ tìm ra
2)
x
e F
2 0
22
cos
2
c x
1
Trang 19sin2
12)(
(2)(
F
dF F
F
c
c c
)(ln
4ln
122
12
122
Trang 204.2 Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa
Ph-ơng pháp mà chúng ta khảo sát đ-ợc bao gồm cả khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa hay phép biến đổi hàm (nhân tử ) trên các khoảng vô cùng Sau khi lấy tích phân từng phần với chuỗi t-ơng ứng ta sẽ thu đ-ợc chuỗi hội tụ
Ví dụ 4.3 Tìm phép biến đổi Fourier - cosin của hàm hữu hạn
0
1,
10
,)1()
1 2
x
x x
2
xdx x
!21
12
0
1 0
2
1 2 2
2
1
2 2 2
1 2
n n n c
dx x
x n
dx n
x x
2
)2
1()2
1()2
1,2
1(21
12
11
2
11
1 0
1 ) 2 / 1 ( 1
) 2
1 ( 1
0
2 / 1 2
1 1
0
2 2
B
dt t
t dt
t t
dx x x
n n
Trang 21 ( 1)
)2
1()2
1(
!21
22
F
n
n n
mà
.)1(.2
!.2
!)!
2.(
2)!
2.(
2
!)!
12()!
2(
)2
1(
n n
n n
n
n n
n n
1
)1(
)1(
)2
()
1()2
1(2
n
n n
c
n n
2
1
) 2
1 ( 2
) 1 (
) 1 (
) 2
( )
1 ( 2
1 2
) 1 (
) 2
( )
1 (
n
n n
Im f z Thay biến phức z thoả mãn các điều kiện:
* f (z) chính quy trên nửa mặt phẳng Im f(z)0trừ điểm vô hạn Các điểm còn lại thuộc trục thực, không có cực điểm
* max f(z) 0 khi R với CR là nửa đ-ờng tròn bán kính R trong nửa đ-ờng tròn có tâm là z 0
Điều kiện để tính Fc(), Fs( ) là f (x) là hàm quy về chuỗi thặng d-
Trang 22e x
)(
(
)()
(
)()
()
(
0 0
0 0
0 0
f dx
e e
x f
dx e x f dx e
x f
dx e x f dx e x f dx e x f
x i x i
x i x
i
x i x
i x
)(
1)
(
x x
z resf i
41
12
)(
k e
z
n
i Trong sè nh÷ng cùc ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng chØ cã 2 cùc ®iÓm thuéc nöa mÆt ph¼ng trªn lµ: 0 4
i
e
z nªn ta cã:
Trang 231
e res z
e res i F
z i z
z i z c
1
1Im
2
4 0
Nếu F s() là phép biến đổi Fourier - sin của f thì ( ) s s()
F x
1)
1(1
12
1)()
(
,1
12)()
(
2 2
2 2
2 1
f
F x
f
Trang 24Theo tÝnh chÊt 5.1 th× ta thu ®-îc:
1)
1(1
12
11
122
1(1
12
11
122
(2
11
)(2
1)
(2
1)
a
dt t f e
dx ax f e ax
f
t a i
a
t i x
()
*
*
2
11
)
a a
F a ax f
Trang 25VËy 2
2 42
1)()
a F
x f
(2
1)
(2
1
)(2
1)
t f e
dx a x f e a
x
f
a i t
i a
i t
a i
x i
()
1(
Theo tÝnh chÊt 5.2 víi a 2 ta cã:
41
122
122
1))1(2(
e F
e x
f
Trang 26Vậy .
41
122
1)(
2 2
)
ii) F F
i x x
f
2
1sin
x i x
e x
)(2
1)
(2
121
2)
(2
1
cos)(2
1cos
)
(
) ( )
dx x f e
dx x f e
dx e
e x f e
xdx x
f e x
x
f
ix ix
x i x i x
i
x i
ii) Chứng minh hoàn toàn t-ơng tự
Ví dụ 5.4 Tìm phép biến đổi Fourier của g(x)ex cosx
Giải Đặt f(x) ex khi đó g(x) f(x)cosx
12)()
1(1
12
1)
1()1(2
1cos
)(
x x
f
x
Trang 27v x f dx e
i du
dv dx x f e
u
x i
x i
(2
)()
(2
1)
(2
1)
dx x f e i x
f e dx
x f e x
f
x i
x i x
i x
F x
ii) NÕu f'(0) f '()0 th× ''( ) c 2 c()
F x
F x
Trang 28)()
22
)(2
)(2
1
a x f a x f ad
)(2
1)
(2
121
)(2
2
1sin
)(2
1
) ( )
(
a x a
x
d i
F e
d i
F e
d i
e e
F ie d
a F
e
a x i a
x i
a i a i x
i x
2
1)
Trang 29a x
A
a x
A
d f x
f d f d
f a
x a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) Tõ c«ng thøc i) lÊy vi ph©n theo tham sè a ta ®-îc c«ng thøc ii)
2
1)
(2
1cos
)(2
1
a x f a x f a
x
a x f ad
a x
a x
sin)()
(2
d f xd
sin)(2
cos)(20
a x f a x f xd
d f i xd
sin)(20
2
1sin
cos)(20
a x f a x f i xd
Trang 305.3 Tính chất đối ngẫu
i) Nếu ( ) c c()
F x
f thì F c(x)c f() ii) Nếu ( ) s s()
F x
f thì F s(x)s f() Tính chất trên đ-ợc suy ra từ tính chất đối xứng của công thức phép biến đổi
Fourier - cosin, Fourier - sin và công thức phép biến đổi Fourier nghịch đảo
Ví dụ 5.6 Tìm phép biến đổi Fourier - cosin của hàm
x x
Giải Theo kết quả ví dụ 4.1 ta có:
.0,
ln
2)(
1
2
2 2
x
F x
e
ở đây lấy 1 Khi đó ảnh của phép biến đổi Fourier ở vế trái là:
11ln2
11ln
2)(
1
2 2
x
F x
1
.)()(
)(2
1)(
)(2
1)()
()(
) (
ds d e
F s
g
d e ds e
s g F
d e G F
s x i
x i s i x
Trang 3110
,1cos
)(
xdx x
0
10
,1
0 0
2
sin22cos
)1(
2cos
)(
2)
(
x
x xd
xd G
0
10
,1cos
2
sin4
cos2
sin222
cos)(2
0 2
2
2 0
x
dx x x
x
xdx x
g
G c
So s¸nh vÕ tr¸i cña ph-¬ng tr×nh (1) ta thu ®-îc:
Trang 32
2
22
sin4)(
x
x x
0
21
,2
10
,1sin
)(
xdx x
0
21
,2
10
,1
1 0
0
sin2sin
2
sin)(
2)
xd G
x
.2cos2cos121
2cos
20
1cos12
x x
sin2cos2cos12
sin2cos2cos122
sin)(2
xdx x
x x
dx x x
x x
xdx x
0
21
,2
10
,1
Trang 33a x
a x x
f
,0
,21
0,
1)(
Tìm phép biến đổi Fourier - cosin rồi tính
sin12
cos2
cos)(2
0 0
x
dx x
xdx x
f F
a c
a x
a x xd
a
xd a
xdx F
x
,0
,21
0,
1cos
sin2
cossin
22
cos)(
2)
(
0 0 0
sin2
0 0
du u
u
Trang 34
Gi¶i Theo vÝ dô 6.1 ta cã:
2
2
sin1
2
2
sin11
2
sin4
dx x
x dx
x
x dx
2
2
sin2
du u
u du
x b
d a
2
2,
2)
F x
2)
a
d a
a
x F
2)
Trang 35 Nêu một số ph-ơng pháp để tìm phép biến đổi Fourier
Chứng minh đầy đủ các tính chất của phép biến đổi Fourier
Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier
Giải đầy đủ và chi tiết các ví dụ có liên quan đến phép biến đổi Fourier
Một lần nữa cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo cùng các bạn!
Trang 36Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm mở đầu
3 2 Phép biến đổi Fourier 4
3 Phép biến đổi Fourier - cosin và phép biến đổi Fourier -sin 11
4 Một số ph-ơng pháp tìm phép biến đổi Fourier 18
4.1 Phép lấy vi phân d-ới dấu tích phân 18
4.2 Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa 21
4.3 Dùng cho chuỗi thặng d- 22
5 Tính chất của phép biến đổiFourier 24
5.1 Tính chất cơ bản 24
5.2 Tính chất tích phân 30
5.3 Tính chất đối ngẫu 32
6 Một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier 33
6.1 Giải ph-ơng trình tích phân 33
6.2 Tính tích phân suy rộng 35
Kết luận 37
Tài liệu tham khảo 39
Trang 37
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Đình áng - Trần L-u C-ờng - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân, Biến
đổi tích phân, NXB Giáo dục, 2001
[2] Trần Bình, Giải tích II+III, NXB Kĩ thuật 2000
[3] Lê Văn Hạp, Giáo trình ph-ơng trình vi phân và ph-ơng trình đạo hàm riêng,
Huế 1997
[4] Nguyễn Mạnh Hùng, Ph-ơng trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục 2002
[5] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình ph-ơng trình đạo hàm riêng, NXBĐHQG Hà
Nội 2001
[6] Nguyễn Duy Tiến, Bài giảng giải tích, NXBĐHQG Hà Nội 2004