Phép biến đổi tích phân dạng fourier hữu hạn và ứng dụng

Đặc biệt khi giải các phương trình kể trên trongmiền hữu hạn thì các phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn khá hữudụng vì các lý do sau: trước tiên, các phương trình trên được tha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————-VÕ THÀNH VIÊN

TÊN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THÀNH VIÊN

TÊN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kì công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Võ Thành Viên

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướngdẫn TS Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện

để em có thể hoàn thành được luận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đãtận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồng thời cũngxin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Toán Giải Tích khóa 31 đã nhiệttình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Võ Thành Viên

Danh mục các ký hiệu 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER HỮU HẠN5 1.1 Phép biến đổi tích phân fourier hữu hạn 5

1.2 Phép biến đổi tích phân fourier cosine và sine hữu hạn 9

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN 14

2.1 Phép biến đổi tích phân Hartley hữu hạn 14

2.2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn 20

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 26

3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân thường 26

3.2 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng 27

3.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân 29

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài:

Joseph Fourier (1768-1853) là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giácdựa theo các công trình trước đó của Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli.Các công trình đầu tiên của Joseph Fourier được công bố vào các năm 1807 và

1811 là về việc áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt Kể từ đó đếnnay Giải tích Fourier không ngừng phát triển và đã thu hút nhiều nhà toán họcnổi tiếng quan tâm Trong đó phải kể đến Riemann, Cantor, Lebesgue, Cauchy,Hartley, Hankel, Hilbert, Laplace, Mellin,

Giải tích Fourier không những góp phần vào sự phát triển của giải tích cổđiển mà còn được ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác như: vật lý, cơhọc, quang học, hóa học, sinh học, phân tích tín hiệu, kỹ thuật máy tính hiệnđại, Trong giải tích nói riêng, Giải tích Fourier đã khẳng định chỗ đứng củamình thông qua việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

và các phương trình tích phân Đặc biệt khi giải các phương trình kể trên trongmiền hữu hạn thì các phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn khá hữudụng vì các lý do sau: trước tiên, các phương trình trên được thay thế bởi cácphương trình đại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổidạng Fourier của hàm Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thôngqua phép biến đổi ngược Thứ hai, các biến đổi dạng Fourier hữu hạn kết hợpvới định lý tích chập cung cấp một cách biểu diễn nghiệm dưới dạng tường minhcho bài toán biên ban đầu

Các phép biến đổi Fourier, Fourier cosin, Fourier sine và Hartley hữu hạnlần lượt được định nghĩa như sau:

F{ f (x)}(n) = 1

2π

π Z

−π

f(x) sin(nx)dx, n∈ N,

H1{ f (x)}(n) = 1

2π

π Z

−π

f(x) cas(−nx)dx, n∈ Z

, trong đó cas x = cos x + sin x Theo công thức Euler thì các phép biến đổiFourier và Harley đều được biểu diễn tuyến tính qua hai phép biến đổi Fouriercosine và Fourier sine như sau:

F = Tc+ iTs,

H1= Tc+ Ts,

H2= Tc− Ts.Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý tưởng đưa ra phép biến đổi tích phân mới:

Fa,b= aTc+ bTs (a, b ∈ C)gọi là phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn

Với các lí do trên dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn, tôi chọn nghiên

cứu đề tài: Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng.

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu các tính chất của phép biến đổi tíchphân dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng chúng vào giải các phương trình vi -tích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier

co-sine, phép biến đổi Fourier co-sine, các phép biến đổi Hartley và phép biến đổiFourier đối xứng

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu một số tính chất liên quan đến các phép

biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn liên quan đến việc giải các phươngtrình vi - tích phân Ứng dụng các tính chất đã nghiên cứu vào giải phương trình

vi phân, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân

5 Phương pháp nghiên cứu:

Dựa vào những kết quả đã biết của các phép biến đổi tích phân Fourier,phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Fourier sine để nghiên cứu nhữngkết quả tương tự cho các phép biến đổi Hartley và phép biến đổi Fourier đốixứng

6 Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được chiathành ba chương Chương 1, trình bày khái niệm, một số tính chất cơ bản củaphép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine hữu hạn Định lý

về tích chập và ảnh Fourier, Fourier cosine và Fourier sine hữu hạn của f0, f00

Chương 2, trình bày các phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn gồm: Haiphép biến đổi Hartley và phép biến đối dạng Fourier Xây dựng các tích chậpliên kết giữa các phép biến đổi tích phân dạng Fourier kể trên Chương 3, ứngdụng các kết quả của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn vào giảicác phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và phương trìnhtích phân.

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận vănlàm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những người khôngchuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán thực tiễncủa mình

CHƯƠNG1 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER HỮU HẠN

Chương này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của phépbiến đổi tích phân Fourier trên đoạn hữu hạn Đây là một công cụ để tìm nghiệmcủa các bài toán biên với giá trị ban đầu xác định trên miền hữu hạn Phépbiến đổi Fourier sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935) Sau đó, một sốtác giả đã quan tâm và trình bày một cách tổng quát hơn như Kneitz (1938),Koschmieder (1941), Brown (1944) và Roettinger (1947) (xem [4])

1.1 Phép biến đổi tích phân fourier hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1 (biến đổi Fourier hữu hạn, [1]) Biến đổi Fourier hữu

hạn của hàm f (x) được ký hiệu F { f (x)} và xác định bởi

F { f(x)} (n) = 1

2π

π Z

π Z

−π

f(x) cos(nx)dx, n= 0, 1, 2, , (1.3)

bn = 1π

π Z

Ví dụ 1.1.1 Cho hàm f (x) = x với −π ≤ x ≤ π

(i) Nếu n 6= 0 thì hệ số Fourier thứ n của hàm f tính được là

e

f (n) = 1

2π

π Z

−π

xe−inxdx

= 12π

π Z

e

f(0) = 1

2π

π Z

−πxdx= 0 Khi đó chuỗi Fourier của hàm f là

√2πe

−inx: n ∈ Z

chuỗi Fourier của hàm f Khi đó

f(k)eikx

Hệ quả sau đây suy trực tiếp từ Định lý 1.1.2

Hệ quả 1.1.1 (tính duy nhất) Nếu f ∈ L1[ − π, π] và ef(n) = 0 với mọi

n∈ Z thì f = 0 trong L1[−π, π]

Khi f là hàm trơn từng khúc thì Định lý Dirichlet dưới đây cho ta mối liên

hệ giữa hàm f và chuỗi Fourier của nó

Định lý 1.1.3 (Định lý Dirichlet, [1]) Giả sử f là hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π và trơn từng khúc trên đoạn [ − π, π] thì chuỗi Fourier của hàm f hội tụ

−π+ in2π

Z π

−π

f(x)e−inxdx

=in ef(n)

Định lý 1.1.4 (chập Fourier hữu hạn, [1]) Giả sử các hàm f , g xác định

trên R và tuần hoàn với chu kỳ 2π Nếu f , g khả tích Lebesgue trên đoạn [ − π, π]

với đẳng thức nhân tử hóa



f ∗

Fg

(x) = 1

2π

π Z

−π

o(n) = 12π

Z π

−π

 12π

= 12π

= ef (n)ge(n)

Mệnh đề 1.1.2 (xem [1]) Giả sử các hàm f , g và h thỏa mãn các điều

kiện của Định lý 1.1.4 Khi đó

phân Ta đi chứng minh (iii) Do các hàm f , g tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta có

Z x−π x+π

f(t)g(x − t)dt

= 12π

Z π+x

−π+x

f(t)g(x − t)dt

= 12π

Z π

−πg(x − t) f (t)dt

=(g ∗

F f)(x)

Mệnh đề đã được chứng minh

1.2 Phép biến đổi tích phân fourier cosine và sine hữu hạn

−π

f (x) [cos(nx) − i sin(nx)] dx

=1π

π Z

0

f(x) sin(nx)dx

Từ hai trường hợp trên đã gợi ý cho việc đưa ra hai phép biến đổi Fourier cosine

và Fourier sine như sau:

Định nghĩa 1.2.1 (xem [2]) Cho hàm f khả tích Lebesgue trên đoạn

f(n) cos(nx),gọi là chuỗi Fourier cosine của hàm f trên đoạn [0, π]

Định nghĩa 1.2.2 (xem [2]) Cho hàm f khả tích Lebesgue trên đoạn

[0, π] Khi đó

(i) Biến đổi tích phân Fourier sine hữu hạn của hàm f được ký hiệu Fs{ f (x)}

và được xác định bởi

Fs{ f (x)}(n) = 2

π

π Z

f(n) sin(nx),gọi là chuỗi Fourier sine của hàm f trên đoạn [0, π]

Ví dụ 1.2.1 Xét hàm số f (x) = x với 0 ≤ x ≤ π, ta tính được hệ số Fourier

Figure 1.1: f (x) Figure 1.2: S10(x), S10000(x)

Mệnh đề 1.2.1 (xem [2]) Cho hàm f có đạo hàm đến cấp hai khả tích

0

f(x) sin(nx)dx

= 2

π[(−1)nf(π) − f (0)] + n efs(n) Các đẳng thức (1.15), (1.16) được suy trực tiếp từ (1.13) và (1.14) Vậy Mệnh

đề đã được chứng minh

Tích chập trong Định lý 1.1.4 xác định với f , g là hai hàm tuần hoàn với

chu kỳ 2π Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2π cho một hàmxác định trên 0 < x < π như sau:

Định nghĩa 1.2.3 (xem [2]) Hàm f1(x) gọi là mở rộng tuần hoàn lẻ củahàm f (x) với chu kỳ 2π nếu

f1(x) = f (x), 0 < x < π; f1(−x) = − f1(x),và

f1(x + 2π) = f1(x), ∀x ∈ R

Tương tự, hàm mở rộng tuần hoàn chẵn f2(x) của hàm f (x) xác định bởi

f2(x) = f (x), 0 < x < π; f2(−x) = f2(x),và

f2(x + 2π) = f2(x), ∀x ∈ R

Định lý 1.2.1 (xem [2]) Nếu f1, g1 là hai mở rộng tuần hoàn lẻ và f2, g2

là mở rộng tuần hoàn chẵn của f , g trên 0 < x < π thì

fs(n) sin(nu)g(u)du

=2π

Z π

0g(u) [Fc{ f1(x + u) − f1(x − u)}] du

=2π

Z π

0g(u)

Z π

0{ f1(x + u) − f1(x − u)} cos(nx)dx

du

=2π

Z π

0cos(nx)

Z π

0{ f1(x + u) − f1(x − u)}g(u)du

dx

= − 2π

Các đẳng thức còn lại chứng minh tương tự

Nhận xét 1.2.1 Hệ số Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là dãy

số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine của một hàm nhận giá trịthực là một dãy số thực Do đó, khi cần tính toán số thì ta sử dụng chuỗi Fouriercosine, Fourier sine sẽ thuận lời hơn Tuy nhiên, khi sử dụng tích chập hữu hạnthì các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine phải dựa trên các hàm mở

rộng tuần hoàn Nên việc sử dụng phép biến đổi tích phân Fourier hữu hạn haycác phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn là tùy vào từngbài toán.

CHƯƠNG2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU

HẠN

2.1 Phép biến đổi tích phân Hartley hữu hạn

Định nghĩa 2.1.1 (xem [3]) Cho hàm f là hàm khả tích Lebesgue trên

[−π, π] Khi đó

(i) Các biến đổi Hartley hữn hạn của hàm f được ký hiệu H1{ f (x)} , H2{ f (x)}

và được xác định như sau:

H1{ f (x)} (n) = 1

2π

π Z

1 + (−1)n



1 + (−1)n

,

là tổng riêng thứ N của chuỗi Hartley của hàm f Ta có đồ thị minh họa sự hội

tụ của chuỗi Hartley như sau:

Do đó, một số kết quả của chuỗi Fourier vẫn nguyên giá trị với chuỗi Hartleynhư:

Định lý 2.1.1 (bổ đề Riemann-Lebesgue, [3]) Nếu hàm f (x) là hàm khả

tích Lebesgue trên đoạn [ − π, π], thì

limx→∞ef1(n) = lim

x→∞

π Z

−π

Định lý 2.1.2 (định lý duy nhất, [3]) Giả sử f là hàm khả tích Lebesgue

Mệnh đề 2.1.1 (xem [3]) Giả sử f có đạo hàm đến cấp hai khả tích

Lebesgue trên đoạn [ − π, π] Khi đó

π Z

−π

f0(x) cas (nx) dx

= 12π[ f (x) cas (nx)]

π

−π

− n2π

π Z

−π

f(x) cas (−nx) dx

= (−1)

n2π [ f (π) − f (−π)] − nH2{ f (x)}

Vậy, đẳng thức (2.6) được chứng minh Tưng tự ta chứng minh đẳng thức (2.7)

−π

f0(x) cas (−nx) dx

= 12π[ f (x) cas (−nx)]

... (2.17),(2.18), (2.19), chứng minh tương tự Vậy hệ chứng minh

2.2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn< /b>

Định nghĩa 2.2.1 (xem [3]) Cho hàm f hàm khả tích Lebesgue trên... chứng minh Đẳng thức (2.11) chứng minh tương

tự Vậy bổ đề chứng minh

Định lý 2.1.3 (chập Hartley hữu hạn, [3]) Giả sử hàm f xác định R

đối với phép biến đổi. .. kết với các

biến đổi Hartley hữu hạn với đẳng thức nhân tử hóa tương ứng.



= H1{ f (x)} H1{g (x)} Thay x −x vào đẳng thức ta thu (2.16),