Luận văn phép biến đổi fourier rời rạc

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt

BO GIÂO DUC VÀ DÀO TAO TRlTCÏNG DAI HOC SU* PHAM HÀ NÔI 2

BÙI THI THÂO

PHÉP BIEN DÔI FOURIER RÔI RAC

LUÂN VAN THAC SI TOÂN HOC

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

5 LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của

TS Nguyễn Văn Khải

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Văn Khải, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả

Bùi Thị Thảo

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier rời rạc” do tôi tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả

Bùi Thị Thả

oMục lục

Mỏ

đ ầu

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một vài khái niệm trong giải tích

1.1.1 Một số đ ịnh lỷ của lỷ thuyết tích phân

7

1.1.3 Tích chập .

1.1.4 Tích phân Dirichlet

1.2 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

1.2.1 Chuỗi Fourierl

8

1.2.2 Sự hội tụ

1.2.3 Tích phân Fourier

2 PHÉP BIẾN DỒI FOURIER

2.1 Phép biến đổi Fourier trong L1 (K)

2.1.1 Phép biến dối Fourier

9

2.2.3 PHÉP BIẾ N Đ ồĩ FOURIER RỜI RẠC

26

26

27

11

2.3 Chuỗi Fourier ròi rạc

2.4 Phép biế n đ ối Fourier ròi rạc

Đ

ịnh nghĩa

2.4.1 Biểu diên phép biế n đ ối Fourier ròi rạ c dư ổi dạng

12

34

41

ma trận

4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BĨẾ N Đ ỎI FOURIER

46

46

RÒĨRẠC

4.1 Phân tích phổ tín hiệu

4.2 Tính tín hiệu ra hệ thống rời rạc LTI 51

Lí do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học cũng như trong toán học tính toán Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phân tần số chứa trong một tín hiệ u, để giải phương trình đạo hàm riêng và để làm các phép như tích chập Biến đổi này

có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụng như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh

Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép biến đổi Fourier rời rạc".

Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc

và một vài ứng dụng của nó

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng của

- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier.

- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc

- ứng dụng

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn

đề liên quan tới đề tài

Mục này nhắc lại một số kết quả về lý thuyết tích phân, được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [1].

Định lý 1.1.1 Cho (fn) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập íĩ c

~R N sao cho sup fn fn < oo Khi đó, (fn) hội tụ hầu khắp nơi trên íĩ

n

về một hàm f khả tích trên ri và \\fn — /II: = f n \ fn (X) — / (:r)| dx —»■ 0 khi n —>• 00

Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)

Cho (/n) là một dẫy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Q c thoả

n Định lý 1.1.3 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên ÍỈ1 X íỉ2 Khi đó với hầu

hế t X € rỉi t a c ó

F (X,.) :i—>■ F (X, y) khả tích trên ÍỈ2

Jn 2 Kết luận tương tự khi đổi vai trò X cho y, ÍỈ1 cho ÍỈ2- Hơn nữa ta

có: dx F(x,y)dy= dy F(x,y)dx= / F(x,y)dxdy.

J Ĩ 1 1 ' * 0.2 fì 2 ÍÌ 1 J n 1 x í i 2

1.1.1 Không gian L p (1 < p < oo)

Định nghĩa 1.1.1 Cho p £ R , 1 < p < o o , ta định nghĩa:

L°° (íỉ) = {/ : Q —> M (hoặc c) ; f đo được và 3C > 0, I/ (a:)| < c h.k.n}

và ký hiệu:

1

\\f\\p = {/ \ỉ{x)\ p dx}p ll/lloo = i n f {C 1 ; I/ 0*01 ^ c hầu khắ P nơi ) •

Nhận xét 1.1.1 Nếu f G L°° (íỉ) thì I/ (x)| < ll/ll^ với hầu hết X G

Trong trường hợp p = q = 2 ta có bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f,g £ L 2 thì f.g e L 1 và IIýgị^ < \\f\\2

oo), tức là II f n — f\\ p 0, thế thì tồn tại dãy con (fn k)k=i 2 h°

f U k (X) —¥ f (X) hầu khắp nơi

VA:, I fn k (a:)| < h (a:) hầu khắp nơi,

với h là một hàm trong L p

Với Í2 là tập mở trong ta kí hiệu c k (Í2) là không gian các hàm số khả vi liên tụ c

đến cấp k và c°° (íỉ) = fifeLi c k (íĩ) Còn C c (íỉ) là không gian các hàm số / liên

tục trên íỉ sao cho giá (support) của / tức là tập hợp suppf = {x £ í}', f (X) Ỷ 0}

là compact chứa trong íĩ Đặt:

c\ (Q) = c k (Q) n Cc (íì),

Định lý 1.1.6 Với 1 < p < oo thì C™ trù mật trong ư (íỉ).

Định lý 1.1.7 (Rỉemann - Lesbesgue) Cho f G L 1 (a,ò), với (a,ò) là khoảng

hữu hạn hoặc vô hạn của M thì ta có:

lim / / (a;) cosNxdx = 0, lim / / (a;) sinNxdx = 0.

N-¥00 J a N—>0o J a

Định lý 1.1.8 Cho /i, /2, ẽ L p

: nếu f n —y f trên M và

(giả thiết tích phân ở trên tồn tại) được gọi là tích chập của / và g.

Định lý 1.1.11 Giả sử f e L 1 (RN) và g G ư (W N ) với 1 < p < 00 Khi đó, với

mỗi X ẽ R N , hàm số y —ì f (x — y) g (y) khả tích trên R N và Ị * g e ư (Rw).

H ơ n n ữ a II/ * pll < ll/lli llsllp.

Tích phân Dirichlet

p = {x0, X i , x n } là một phân hoạch của đoạn [a,6], nghĩa là a = x 0 < X I < x 2

< < x n = b Đặt

n

v ự ) = v ự ; a , b ) = supE |A/j|,

p i=i

trong đó A f ị = / ( X ị ) — f (Xj_ 1), sup lấy trên tất cả các phân hoạch của [a, 6]

Ta gọi V (/) là biến phân toàn phần của / trên [a, 6] Hàm / gọi là có biến phân

bị chặn trên [a, 6] nếu V (/) < 00

(ii) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,

I/ (z)| < I/ (a)I + V (/;a,6) ,Vz G [ a , b ]

(Ui) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, q đơn điệu tăng trên [a, 6] sao cho f (X) = p (a;) — q (X), Va; e [a, 6] Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục.

Bổ đề 1.1.1 (Tích phân Dirichỉet).

Cho f là hàm số (thực hoặc phứ c) xác định trên (a,b) thoả mẫn mộ t trong hai điều kiện Dirichlet sau đây:

(i) Tồn tại f (a+) ,/(6_) và / có biến phân bị chặ n trên [a,b], ta xem như /

xác định trên [a,b] với giá trị tại biên ỉà f (a+) và f (b~).

(ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tuỳ ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a, tíị; hơn nữa f £ L 1 (a, b) Khi đó, ta có:

Nếu 0 = a < b, 3f (0+) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận

[0, ố] c ủ a 0 ( ỗ < 0) t h ì

Nếu 0 < a < b thì

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử / G L 1 [—7T,7r], nghĩa là / khả tích Lebesgue trên [—

7T, 7T] và tuần hoàn với chu kì 27T Khi đó các hệ số a n , b n được xác định theo công thức:

/7T

/0*0

được gọi là chuỗi Fourier của hàm /.

Sự hội tụ

* Sự hội tụ trong L1 (E)

Định lý 1.2.1 Cho / G I1 [—7T,7r], nếu / thoả mẫn điều kiện Dirichlet trong ( — 7T,7r ) í / l ì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tạ i các điểm X £ (—7T, 7r) m à t ạ i đó hàm f l i ê n t ục , hội t ụ v ề — [f (a^+ ) + / (a? -)] nế u X

l à đi ể m gi án đo ạ n t hông t hư ờng, hội t ụ v ề — [f (a^+ ) + / (^c -)] t ại X = ±7T nếu f ( —7T + ) và

f ( 7T _ ) tồn tại.

Định lý 1.2.2 (Sự hội tụ đều)

Cho f G L 1 [—7T,7r] Giả sử f bị chặn, thoả mã n điều kiện Dirichlet

trên ( —7T, 7r) và giả sử f liên tục trên khoảng ( u : v ) c ( —7T,7r) Khi đó chuỗi

* Sự hội tụ trong L2 (R).

Xét không gian L 2 các hàm bình phương khả tích trên [—7T,7r] Trong L 2 ,

dãy hàm {(Pnịn € N} được gọi là một hệ trực giao nếu:

Cho hàm / e L 2 , với hệ trực chuẩn {ipn } ta đặt:

-Định nghĩa 1.2.2 Hệ trực chuẩn {í^n} được gọi là đầy đủ trong L 2 nghĩa là:

dx = 0.

Định lý 1.2.4 Chuỗi Fourier của hàm / ẽ L 2 [—7T,7t] sẽ hội tụ trung bình về

f theo nghĩa:

lim // (X) — Ị — + (dỵcoskx + bỵSỈnkx) ]

1.2.3 Tích phân Fourier

Định lý 1.2.5 Cho / ẽ L 1 (M), thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi

khoảng mở hữu hạn Giả sử f (æ+) và / (x~) tồn tại, thì ta có f 00 1

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Phép biến đổi Fourier trong L1 (R)

2.1 Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 2.1.1 Cho / € L 1 (M), hàm / xác định bởi

ĩ w = 4 r r f ^ e ~ , U Ế t í2'1)

y / Z 7 ĩ *'—00

được gọi là phép biến đổi Fourier của /

Ví dụ 2.1.1 Cho / (X) = e—“1^15 OI > 0 Tìm biến đổi Fourier f của f (X) Lời giải.

Áp dụng công thức biế n đổi Fourier ta có:

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm

Lời giải Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm

Định lý 2.1.1 Giả sử f €E L 1 (1R) thì f G c° với c° là không gian các

hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cự c Hơn nữa

/

1

1 •

(2.2)

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm

Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 I/ (:r)| và hội tụ từ ng điểm tới 0

[/ (®) - Ẩ/í (®)] e~ ỉ t x dx < II/ - A/ílli ,

-00

suy ra / tiến đến 0 khi t —¥ oo.

e~ i t n X - e~ i t x \dx.

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm

Nếu f & L p (R) , 1 < p < oo thì ánh xạ y I—>■ fy từR vào L p ( R) là liên t ụ c

đ ề u.

Chứng minh Cho £ > 0 bất kỳ Ta đã biết C c (R) trù mật trong L1 (R) nên

tồn tại hàm g liên tục trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn [ - A ,

A] sao cho II/ - g\\ p < £.

Nhận thấy g liên tục đều trên M nên tồn tại ỗ G (o, A) sao cho

\ g (s) - g { t)I < (3A) _1 e,Vs,í € R, Ịs - t \ < ỗ,

vì vậy dẫn đến

\ \ 9 s - 9 t \ \ p < e Với h G L p (M) ta có

0 thì lim f n (æ) = / (æ) đều trên R.

(ii) g ịx) = / (a:) hầu hết trên M.

(iii) Một số dạng biến đổi Fourier khác

Định nghĩa 2.1.2 (Biến đổi Fourier ngược)

được gọi là biến đổi Fourier ngược của /.

Nếu / ẽ L 1 (R) và / £ L 1 (E) là biến đổi Fourier của / thì ta có

COSẰX = — (eiAæ + e-iAæ)

Từ đó ta có biến đổi Fourier cũng là một hàm chẵn Do đó:

1

/w = 4=/ í ( X ) e ^ d \

V

V Æ ■/»

— / (A) Ải/iỉ đó ta có biến đổi

V Định nghĩa 2.1.3 (Biến đổi Fourier - cosin)

V Cho hàm / ẽ L 1 (M+) và / là hàm chẵn ta định nghĩa phép biến đổi Fourier - cosin của hàm / là hàm

khoảng hữu hạn (a, 6) c K+ và / liên tục tại X thì theo định lý 1.2.5 ta có

V / (X) = J — ị F (À)

cosXxdX V 7T J Q

V Định nghĩa 2.1.4 (Biến đổi Fourier - sin)

V Cho hàm / G L 1 (R+) và / là hàm lẻ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier

Chứng minh.

V / giải tích trên c.

VTính chất 2.1.4 CTio d ã y ( f n ) n =12 hội tụ trong L1 (M) Khi đó, dãy (frì)

hội tụ đều trên R.

Chứng minh.

V và là hàm liên tục tiến về 0 khi Ị A Ị —¥ oo.Nếu / là hàm bậc thang thì

/ là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng Từ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có / liên tục và tiến về 0 khi |AỊ —> 00

bậc thang trù mật trong L1 (M), ta tìm được dãy các hàm bậc thang (/n) =1 2

hội tụ trong L 1 (R) về / Theo tính chất 2.1.4, dãy hội tụ đều về / trên M, suy ra / liên

V tục và tiến về 0 khi IAI —> 00

V Tính chất 2.1.6 Cho f ẽ L 1 (R) thoả mãn tính chất f' G L 1 (E) và f

liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạ n Khi đó

V Chứng minh Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên

(0) + f f (í) d t J ữ

65

±00 Hơn nữa / G L 1 (M) nên giới hạn đó phải bằng 0.

V Tính chất 2.1.8 Cho f G L 1 (M) Nếu f" tồn tại và f" e L1 (M) thì

V ỉ € L 1 ( R)

V Chứng minh Do f & L 1 (M) nên / bị chặn (theo

tính chất 2.1.5) và giảm về 0 nhanh hơn khi IAI —¥ oo theo tính chất 2.1.7

Chứng minh Cho p , q & N bất kỳ, ta có

V Vì G L1 (M) ,Vợ € N nên / giảm nhanh hơn — q khi |A| — > 00, với

V mọi g G N (áp dụng tính chất 2.1.7) Do đó

V Hơn nữa, theo tính chất 2.1.9 và tính chất 2.1.6 thì

V (¿A) 5 (/)<"> (A) = ạxy [(-ixỴ f Or)]A

V = { - í ) r íỉA)" [a:”/ ( x ) Ỵ = (-tỴ (s r ¡Ỷ" (x)

70

Chứng minh Cho p , q & N bất kỳ, ta có

V được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm / trong Rn

72

V 2.2.2 Tính chất

V Tính chất 2.2.1 G i ả s ử f , g ẽ L1 (Mn) k h i đ ó

V Như vậy fj hội tụ đều về / trên ]Rn.

trong

V L1 ( ] R n ) thì fj hội tụ đều về / ír ể n ]R n

mọi

V = (27r)'n/2 ( í e ~ i X y g (y) V) / (A) = g ( X ) ỉ (A).

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

V Chứng minh Theo định nghĩa ta có:

V ( Ty f ) ( x ) = f ( x - y )

V ( M y f ) ( x ) = efav { x )

V (.D a f ) (x) = / (oa;)

78

V = f ( x ) g ( x ) d x

V • ' R"

84

V Chương 3

V PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI

RẠC

V Định nghĩa 3.1.1 Cho hàm số X (n ) xác định với n e {0,1, N — 1} Ta định

nghĩa chuỗi Fourier rời rạc X (n ) như sau

V

V Vậy X tuần hoàn, xác định trên z với chu kỳ N

V Ví dụ 3.1.1 Cho d ẫ y tuần hoàn X (n);

85

86

V JV-1

V X { k ) = J2 x ( n ) w k n ’ k = 0 , l , N - 1.

89

V Dãy xung đơn vị

96

98

V Ví dụ 3.2.5 Hãy xác định X (k) của dẫy

V

V =► X(fc) = XI z ( n ) H )f c n

102

V V V

V Ký hiệu X, X ị lần lượt là biến đổi Fourier rời rạc

của X, X ị(chúng là

V các hàm xác định trên {0,N — 1}).

rời rạc, trong đó, vếphải

106

V của ký hiệu là biến đổi Fourier của vế trái.Tính chất 3.2.1.

V Chứng minh Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược

V - k ( n — i

i l ( n ) Khi đó

(3.9) trở thành

V £ [ R M -

V — 1 /■

VVVVV

lẻ Từ X (k) là hàm tuần hoàn với chu kỳ N thì

V oivếìí X (&) là hàm lẻ thì phần thực của biế n đổi

của nó là chẵn còn phần ảo của biế n đổi của nó

là lẻ.

V Ví dụ trên cho thấy, tích chập vòng của dãy

bất kỳ vớidãyxung đơn vị

V Phép biến đổi Fourier nhanh thường được dùng với tên gọi Thuật toán FFT.

V Với N = 4 thì (3.14) có thể được viết như

sau:

V

V Các phương trình trên có thể viết ở dạng ma trận

(3.15)

Ta viết lại (3.15) như sau

.6

Từ (3.16)ta có

(3.18)

Từ (3.20) ta có:

X^O) = z(0) + wữx{ 2)

(3.22)

=> AT2(0) = ATi(O) H- V^°Jfi(l) X2{ l ) = X1{ 0 ) + W2Xl( ĩ ) X 2 { 3 ) =

X 1 { 2 ) + W 3 X 1 { 3 )

Mà w ữ = - w 2 nên x2(l) = Xi(o) - W0Xi(l)

Theo phương trình (3.18) số phép tính của x(k) là một tổng của 4 phép nhân phức và 8 phép cộng phức, số phép tính của X ( k ) theo (3.15) là một

tổng của 16 phép nhân phức và 12 phép cộng phức Từ đấy ta có thể thấy tính hiệu quả của thuật toán FFT

Thuật toán FFT Ta sẽ dùng các tính chất sau đây của w