Một số tính chất của hệ số nhị thức

B ăGIỄOăD CăVẨă ẨOăT O NGUY NăTH ăTHUăGIANG M TăS ăTÍNHăCH TăC AăH ăS ăNH ăTH C LU NăV NăTH CăS TOỄNăH C MĩăS 60460113... B ăGIỄOăD CăVẨă ẨOăT O NGUY NăTH ăTHUăGIANG M TăS ăTÍNHăCH T

B ăGIỄOăD CăVẨă ẨOăT O

NGUY NăTH ăTHUăGIANG

M TăS ăTÍNHăCH TăC AăH ăS ăNH ăTH C

LU NăV NăTH CăS TOỄNăH C

MĩăS 60460113

B ăGIỄOăD CăVẨă ẨOăT O

NGUY NăTH ăTHUăGIANG

M TăS ăTÍNHăCH TăC AăH ăS ăNH ăTH C

LU NăV NăTH CăS TOỄNăH C

MĩăS 60460113

NG IăH NGăD NăKHOAăH Că:ăPGS.TSăV ăTH ăKHỌI

L IăCAMă OAN

Tôi xin cam đoan đơy lƠ công trình nghiên c u riêng c a tôi

Các s li u nêu trong lu n v n lƠ trung th c vƠ ch a đ c ai công b trong b t kì công trình nƠo khác

Tácăgi ălu năv n NGUY NăTH ăTHUăGIANG

M CăL C

M ă U 1

CH NGă1: GI IăTHI UăV ăH ăS ăNH ăTH C VẨăKI NăTH CăCHU NăB 4

1.1 L CH S TOÁN T H P TRONG C P THCS: 4

1.2 GI I THI U V H S NH TH C: 5

1.2.1 nh ngh a: 5

1.2.2 Công th c: 5

1.3 K THU T M: 6

1.3.1 M t s ki n th c c b n c a t h p: 6

1.3.2 Công th c bao hƠm vƠ lo i tr : 9

1.3.3 Hai quy t c c b n c a phép đ m: 11

1.3.4 Hoán v : 13

1.3.5 Ch nh h p: 16

1.3.6 T h p: 18

1.3.7 Tính s ph n t c a m t t p h p các t p h p: 21

CH NGă2:ăCỄCă NGăNH TăTH CăC AăH ăS ăNH ăTH C 24

2.1 CÁC NG NH T TH C C B N 24

2.1.1 ng nh t th c 1 24

2.1.2 ng nh t th c 2 25

2.1.3 ng nh t th c 3 26

2.1.4 ng nh t th c 4 27

2.1.5 ng nh t th c 5 28

2.1.6 ng nh t th c 6 29

2.1.7 ng nh t th c 7 30

2.1.8 ng nh t th c 8 31

2.1.9 ng nh t th c 9 32

2.2 CÁC NG NH T TH C NÂNG CAO 33

2.2.2 ng nh t th c 11 34

2.2.3 ng nh t th c 12 36

2.2.4 ng nh t th c 13 37

2.2.5 ng nh t th c 14 38

2.2.6 ng nh t th c 15 39

K TăLU N 41

TẨIăLI UăTHAMăKH O 42

M ă U

1.ăLỦădoăch năđ ătƠi:ă

Trong nh ng n m h c trên gh nhƠ tr ng vƠ quá trình gi ng d y, tôi

nh n th y r ng đ i v i đa s h c sinh vi c ti p thu ki n th c ch ng t h p xác su t lƠ r t khó kh n ơy lƠ ph n ki n th c m i trong ch ng trình sách giáo khoa Ch y u các ki n th c chuyên sơu v xác su t t p trung ch ng trình cao đ ng - đ i h c nên đó c ng lƠ m t khó kh n cho các th y cô giáo

gi ng d y l a tu i THPT - THCS trong vi c áp d ng ph ng pháp gi ng d y cho phù h p

Các em th ng r t máy móc, n u g p toán l lƠ không bi t cách gi i quy t hay ch a đ t ra h ng gi i quy t H c sinh thi u tính ch đ ng trong

vi c ti p thu ki n th c Vì v y ki n th c d quên vƠ k t qu h c t p ch a cao Hay h c sinh ti p nh n ki n th c m t cách th đ ng, ch y u theo l i đ c chép hay thi u tính t duy logic

“V y lƠm th nƠo đ h c sinh h c t t ph n ki n th c nƠy?”

ó chính lƠ m t trong nh ng lý do thôi thúc chúng tôi th c hi n đ tƠi

“M t s tính ch t c a h s nh th c”

Không gi ng nh nh ng cách ch ng minh thông th ng trong sách giáo

khoa, đơy chúng tôi s ch ng minh các đ ng nh t th c b ng ph ng pháp m i,

đó lƠ ph ng pháp đ t ra các cơu h i vƠ tr l i b ng hai cách hoƠn toƠn theo toán

t h p thu n túy

ơy lƠ ph ng pháp ti p c n khá m i t i Vi t Nam nh ng đã đ c s

d ng r ng rãi trên toƠn th gi i vƠ đ t nhi u thƠnh t u cao

2 L chăs ănghiênăc u:

N i dung toán t h p đ a vƠo gi ng d y t c p trung h c ph thông h u

h t các n c trên th gi i Tuy nhiên, Vi t Nam n i dung toán t h p đ c

đ a vƠo sách giáo khoa l p 11 n m 2000 v i l ng ki n th c còn h n ch D y

h c phát hi n vƠ gi i quy t v n đ lƠ ph ng pháp d y h c tích c c đáp ng yêu

c u xã h i Xong áp d ng ph ng pháp nƠy đ gi ng d y hi u qu n i dung khó

nh toán t h p thì c n s đóng góp c a các th y cô giáo vƠ các nhƠ khoa h c

3 M căđíchănghiênăc u:

D y h c sinh ch ng minh h s nh th c, các đ ng nh t th c b ng đ nh ngh a t h p thu n túy mƠ không s d ng ph ng pháp quy n p

Rèn luy n cho h c sinh t duy m t cách logic, t duy tr u t ng trong toán t h p

4 Ph măviăvƠăđ iăt ngănghiênăc u:

- i t ng nghiên c u: H c sinh trung h c c s vƠ giáo viên toán c p trung h c c s

7.ăGi ăthuy tănghiênăc u:

Khi h c sinh đ c h c ch ng t h p xác su t theo ph ng pháp d y

h c m i lƠ ph ng pháp t h p đ m, đ t cơu h i vƠ tr l i hoƠn toƠn theo toán

t h p thu n túy Các em s ti p thu bƠi t t h n, ngoƠi ra các em có th m

r ng bƠi toán vƠ có nh ng sáng t o toán h c

8 Ph ngăphápănghiênăc u:

Nghiên c u sách giáo khoa toán trung h c c s , đ c bi t các kh i 6, 7,

8, 9 Các đ tƠi tham kh o, k t h p vi c nghiên c u vƠ th c hƠnh ch ng minh toán t h p S d ng ph ng pháp d y h c truy n th ng vƠ hi n đ i m t cách đan xen

9 Cácălu năc thuănh păđ c:

9.1.ăLu năc ălíăthuy t:

- Lý thuy t d y h c phát hi n vƠ gi i quy t v n đ

- Th c tr ng d y vƠ h c tr ng trung h c c s

- D y h c phát hi n vƠ gi i quy t v n đ trong toán

9.2.ăLu năc ăth căt :

K t qu th c nghi m v n ng l c h c t p c a h c sinh sau quá trình

gi ng d y c a giáo viên l p th c nghi m

10 C uătrúcălu năv n:

NgoƠi ph n m đ u, k t lu n khuy n ngh , tƠi li u tham kh o, ph l c,

n i dung chính c a lu n v n đ c trình bƠy trong 2 ch ng

Ch ng 1: Gi i thi u v h s nh th c

Ch ng 2: Các đ ng nh t th c c a h s nh th c

CH NGă1

GI I THI U V H S NH TH C

VẨăKI N TH C CHU N B

ch ng 1, chúng tôi xin trình bƠy khái quát v l ch s toán t h p

trong c p trung h c c s , gi i thi u v h s nh th c Nh ng ki n th c

chu n v k thu t đ m, các nguyên lý đ m c b n, các khái ni m c b n hƠm toán h c s đ c chúng tôi gi i thi u theo ph ng pháp đ m

Ki n th c chính trong ch ng 1 nƠy, chúng tôi s d ng m t s tƠi li u tham kh o sau:

1 Nguy n H u Anh, Toán r i r c, NXB i h c Qu c Gia TP H Chí

vƠ các công th c đ n gi n nh t c a lí thuy t xác su t, m t l nh v c quan tr ng

c a Toán h c, có nhi u ng d ng th c t

Trong nh ng n m 80 c a th k tr c, i s t h p đ a vƠo ch ng trình sách giáo khoa vƠ mang tính ch t gi i thi u n n m 1994 - 1995, trong ch ng trình thí đi m chuyên ban, i s t h p đ c đ a vƠo d y cùng xác su t

M c tiêu d y h c ph n nƠy lƠ hình thƠnh khái ni m ban đ u v i s

su t c đi n, đ ng th i bi t công th c khai tri n nh th c Niu-t n vƠ s d ng

công th c đó vƠo vi c gi i toán

1.2 GI IăTHI UăV ăH ăS ăNH ăTH C:

nk

1.3.ăK ăTHU Tă M:

Trong lý thuy t t h p các phép đ m luôn chi m m t ph n vô cùng quan tr ng vƠ có ng d ng vô cùng đa d ng Các ph ng pháp đ m s l ng

ph n t c a m t t p h p đóng vai trò quan tr ng trong m t s môn khoa h c,

đ c bi t lƠ Tin h c vƠ Toán h c ng d ng i v i ch ng trình toán ph thông các ph ng pháp đ m luôn lƠ chuyên đ quan tr ng vƠ h t s c c n thi t trong vi c b i d ng h c sinh gi i Toán b c h c ph thông, đ ng th i các

ng d ng đa d ng c a nó c ng luôn đem l i s h p d n đ i v i nhi u đ i

t ng h c sinh vƠ giáo viên khi nghiên c u v n đ nƠy

M c tiêu c a ph n 1.3 lƠ ki n th c chu n b nƠy nh m trình bƠy m t s phép đ m c b n nh t vƠ nh ng ng d ng c a nó nh m t o ra đ c m t đ tƠi phù h p cho vi c gi ng d y, b i d ng h c sinh trung h c ph thông

m b ng hai cách lƠ m t k thu t đ m thông d ng đ t o ra các

ph ng trình, đ ng th c, các m i liên h giúp chúng ta gi i quy t các bƠi toán

ph ng trình, tính toán hình h c, b t ph ng trình vƠ đ c bi t lƠ các bƠi toán

t h p trong đó có bƠi toán đ m

1.3.1 M tăs ăki năth căc ăb năc aăt ăh p:

a T p h p:

* Khái ni m v t p h p:

T p h p (còn g i lƠ t p) lƠ m t khái ni m c b n c a toán h c, không

đ nh ngh a Gi s cho t p h p A ch a lƠ m t ph n t c a t p h p A , ta

vi t aA (đ c lƠ a thu c A ) ch a không lƠ m t ph n t c a t p h p A ,

ta vi t aA (đ c lƠ a không thu c aA)

g i lƠ t p con c a t p A vƠ vi t B A

- Tr ng h p BA vƠ B A thì B đ c g i lƠ t p con không t m

th ng (hay t p con th c s ) c a t p A vƠ vi t B A

g i lƠ giao c a t p A vƠ t p B ký hi u lƠ A B ho c A B

- T p h p g m các ph n t thu c t p A vƠ không thu c t p B đ c

g i lƠ hi u c a t p A vƠ t p B Ký hi u lƠ A \ B

- Tr ng h p t p B lƠ t p con c a t pA Hi u c a t p A vƠ t p B

đ c g i lƠ t p ph n bù (hay ph n bù) c a t p B (đ i v i t p A ) vƠ ký hi u

T ng quát v i các t p tùy ý V , V , , V1 2 n b ng ph ng pháp quy n p

theo n (n , ta có công th c: 2)

1 1

l p sau đơy lƠ sai:

“L p có 45 h c sinh trong đó có 30 em nam L p có 30 em đ t lo i gi i

vƠ trong s nƠy có 16 nam L p có 25 em ch i th thao vƠ trong s nƠy có 18

em nam vƠ 17 em đ t lo i gi i Có 15 em nam v a đ t lo i gi i vƠ ch i th thao”

V1

V2

V3

1.3.2.ăCôngăth căbaoăhƠmăvƠălo iătr :

Cho V lƠ t p h p h u h n vƠ V1V Ta s có V1V\V1

Víăd ă2:

( Chuyên đ ch n l c t h p vƠ toán r i r c - Nguy n V n M u) M t

cu c H i th o c p Th xã có 4 môn thi: C u lông, bóng bƠn, ch y vƠ c t ng

Có 100 v n đ ng viên tham gia Khi t ng k t, Ban t ch c nh n th y r ng: Môn c u lông có 18 v n đ ng viên tham gia, môn bóng bƠn có 26 v n đ ng viên tham gia, môn ch y có 19 v n đ ng viên tham gia, môn c t ng có 24

v n đ ng viên tham gia; trong đó 5 ng i tham gia c c u lông vƠ bóng bƠn; 2

ng i tham gia c u lông vƠ ch y; 3 ng i tham gia c u lông vƠ c t ng; 5

ng i tham gia bóng bƠn vƠ ch y; 4 ng i tham gia bóng bƠn vƠ c t ng; 3

ng i tham gia ch y vƠ c t ng; 2 ng i tham gia đ ng th i c u lông, bóng bƠn, vƠ ch y; 3 ng i tham gia c u lông, bóng bƠn vƠ c t ng; 2 ng i tham gia c u lông, ch y vƠ c t ng; 4 ng i tham gia bóng bƠn, ch y vƠ c t ng;

1 ng i tham gia đ ng th i c 4 môn c a H i thao

H i có bao nhiêu v n đ ng viên không tham gia thi đ u m t b môn nƠo c a H i thao?

V t p h p các v n đ ng viên tham gia môn c t ng

Khi đó s v n đ ng viên không tham gia môn nƠo c a H i thao chính

1.3.3 Hai quy t căc ăb n c aăphépăđ m:

a Quy t c c ng:

Víăd :

Ho c lƠ m t gi ng viên c a khoa Toán, ho c lƠ m t sinh viên c a khoa Toán s lƠ đ i di n c a tr ng Nh v y n u có 24 gi ng viên, 310 sinh viên thì có bao nhiêu cách ch n l a đ i di n ?

L iăgi i:

Ch n đ i di n t gi ng viên thì có 24 cách, ch n đ i di n t sinh viên thì có 310 cách Nh v y ta có 24 310 350 cách l a ch n đ i đi n

Gi thi t: Công vi c 1 có th lƠm b ng n1 cách, công vi c 2 có th lƠm

b ng n2 cách N u hai công vi c không th lƠm đ ng th i thì có n1n2 cách lƠm m t trong hai công vi c

T ng quát hóa quy t c c ng:

T ng quát lên m công vi c không th lƠm đ ng th i vƠ s cách lƠm chúng t ng ng lƠ n n1, 2, ,nm S cách lƠm m t trong m công vi c lƠ

P = mi 1 ni

Víăd :

M t sinh viên ch n đ án môn h c trong 5 nhóm: Khoa h c máy tính,

c s d li u, công ngh ph n m m, h th ng & m ng máy tính, k thu t máy tính M i nhóm có s l ng đ tƠi t ng ng lƠ: 10, 15, 14, 16, 11 Có bao nhiêu cách ch n?

L iăgi i:

10+15+14+16+11 = 66 cách

M t trung tơm máy tính có 32 máy vi tính M t máy có 12 c ng Nh

v y trung tơm có bao nhiêu c ng?

Gi thi t: M t nhi m v đ c tách lƠm hai vi c: Vi c 1 lƠm b ng n1

cách, vi c 2 lƠm n2 cách khi vi c 1 đã đ c lƠm Khi đó s có n1n2 cách

th c hi n nhi m v

T ng quát quy t c nhân:

Gi thi t m t nhi m v có m công vi c ph i th c hi n T , ,T1 m N u

2 128 Ví d : Có bao nhiêu hƠm đ n ánh xác đ nh trên t p

h u h n A có m ph n t vƠ nh n giá tr trên t p B có n ph n t ?

ph n t nƠy theo m t th t nƠo đó (m i ph n t có m t đúng m t l n) đ c

g i lƠ m t hoán v c a n ph n t đã cho Kí hi u s hoán v c a n ph n t

Víăd :

(Chuyên đ ch n l c t h p vƠ toán r i r c - Nguy n V n M u) Cho

t p S1,2, ,n v i n1 vƠ f lƠ m t hoán v c a t p S Ph n t i c a S

đ c g i lƠ m t đi m c đ nh n u ( )f i i G i P ( )n k lƠ s hoán v c a t p S

có đúng k đi m c đ nh Hãy ch ng minh r ng:

0

P ( ) !n

n k

n k

Dùng  f i , đ kí hi u c p g m hoán v f tùy ý c a n ph n t v i k đi m c

đ nh vƠ i lƠ đi m tùy ý trong k đi m c đ nh đó (t c ( )f i  ) i

Th a nh n P (0) 10 

lý gi i quan h (1.11), ta hãy tính s N các c p  f i , b ng hai cách

M t m t, i ch y qua đi m k c đ nh đã xác đ nh, nên m i hoán v trong

!P( , , , )

! ! !k

( tuy n sinh vƠo tr ng H - Kh i D - 2001) T các ch s 0, 1, 2,

3, 4 có th l p đ c bao nhiêu s có b y ch s trong đó ch s 4 có m t đúng ba l n, còn các ch s khác có m t đúng m t l n

S các ch nh h p lƠ:

3 25

ph n t c a t p X, mƠ m i ph n t có th l p l i nhi u l n vƠ đ c s p x p theo m t th t nh t đ nh đ c g i lƠ m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n

a b c d thu c t p 1, 2, 3, 5 lƠ s ch n khi vƠ ch khi d b ng 2

M t khác 1, ,b c có th b ng nhau, nên y abc lƠ m t ch nh h p l p

ch p 3 c a b n ph n t 1, 2, 3, 5

thƠnh l p s x ta ch c n l y m t s y nƠo đó r i thêm 2 vƠo cu i

B i v y, s các s x abc 2 b ng các s y abc vƠ b ng 3 3

A  

Ch ng h n 1112, 1122, 1132, 1152, , 5542, 5552

Víăd :

(BƠi toán đ m s các hƠm t m t t p h u h n vƠo m t t p h u h n)

Gi s N vƠ M lƠ hai t p h u h n v i N n vƠ M m Hãy xác đ nh các hƠm f: N M

ph n t thu c A đ c g i lƠ t h p ch p k c a n ph n t đã cho

* Nh n xét: Hai t h p đ c coi lƠ khác nhau khi vƠ ch khi có ít nh t m t

nh t thi t ph i nh h n n) c a n ph n t thu c A lƠ m t b g m m ph n t ,

mƠ m i ph n t nƠy lƠ m t trong nh ng ph n t c a A

Ta s d ng

*nk

 

 

nk

A a a, , ,a M i cách ch n 5 máy vi tính có th coi lƠ m t t h p ch p

10 c a 5 vƠ t ng s các t h p đ c tính theo công th c

Hai b bóng đ c xem lƠ khác nhau, n u có ít nh t m t mƠu v i s

l ng thu c hai b khác nhau

Li u có bao nhiêu cách ch n ra các b 6 (qu bóng) khác nhau

1.3.7.ăTínhăs ăph năt ăc aăm tăt păh p cácăt păh p:

Víăd :

L p 12A ph i lƠm m t bƠi ki m tra Toán g m có ba bƠi toán Bi t r ng

m i em trong l p đ u gi i đ c ít nh t m t bƠi, trong l p có 20 em gi i đ c bƠi toán th nh t, 14 em gi i đ c bƠi toán th hai, 10 em gi i đ c bƠi toán

th ba, 6 em gi i đ c c hai bƠi th hai vƠ th ba, 2 em gi i đ c hai bƠi th

nh t vƠ th hai, mƠ có m t em đ c 10 đi m vì đã gi i đ c c 3 bƠi toán

H i r ng l p h c có bao nhiêu em t t c ?

Gi i:

G i A lƠ t p h p các em h c sinh gi i đ c bƠi toán th nh t

B lƠ t p h p các em h c sinh gi i đ c bƠi toán th 2

C lƠ t p h p các em h c sinh gi i đ c bƠi toán th 3

Ta ph i tính s ph n t c a t p h p A B C  Không khó kh n ta có th th y đ c công th c sau lƠ đúng:

Ch ngăminh:

nh lý nƠy có th đ c ch ng minh b ng hai cách:

Cáchă1: Ch ng minh b ng quy n p theo n V i n1 hi n nhiên đ ng

Cáchă2: Ta xét m t ph n t a   V1 V2 Vn b t kì Gi s r ng a

thu c vƠo r (1  t p h p trong s các t p h p nƠy r n)

S l n xu t hi n c a a trong Công th c 1.12 trên lƠ:

Trong m t đ i ki m tra s c kh e hƠng n m c a tr ng THCS

danh sách đ đi khám b nh (không theo th t , tên bƠn, sao cho cách

s p x p lƠ ng u nhiên vƠ b t k )

Có bao nhiêu cách s p x p n h c sinh vƠo danh sách khám s c kh e?

Theo quy t c nhơn, s cách ch n lƠ n k n! k!

Trong đ t k ni m thƠnh l p oƠn 26 - 3, cô Bí th oƠn mu n ch n ra

k b n h c sinh t m t chi đoƠn có n h c sinh đ đi th m ng i giƠ neo đ n vƠ lƠm tình nguy n

Có bao nhiêu cách ch n ra k h c sinh t m t chi đoƠm có n h c sinh đ tham gia tình nguy n?

2.1.4.ă ngănh tăth că4:ă  

nk

Hay bác ch t ch xã có 2n (cách) l a ch n s ng i đi tham quan

V y chúng tôi đã gi i bƠi toán đ t ra theo hai cách

0

2nk

nk