Một số tính chất của hệ số nhị thực

Chủ yếu các kiến thức chuyên sâu về xác suất tập trung ở chươngtrình cao đẳng - đại học nên đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo giảng dạy lứa tuổi THPT - THCS trong việc áp dụng

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi

Các số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bốtrong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận vănNGUYỄN THỊ THU GIANG

Trang 4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 LỊCH SỬ TOÁN TỔ HỢP TRONG CẤP THCS: 4

1.2 GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC: 5

1.2.1 Định nghĩa: 5

1.2.2 Công thức: 5

1.3 KỸ THUẬT ĐẾM: 6

1.3.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp: 6

1.3.2 Công thức bao hàm và loại trừ: 9

1.3.3 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm: 11

1.3.4 Hoán vị: 13

1.3.5 Chỉnh hợp: 16

1.3.6 Tổ hợp: 18

1.3.7 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp: 21

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC 24

2.1 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CƠ BẢN 24

2.1.1 Đồng nhất thức 1 24

2.2 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC NÂNG CAO 33

Thang Long University Libraty

Trang 5

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong những năm học trên ghế nhà trường và quá trình giảng dạy, tôinhận thấy rằng đối với đa số học sinh việc tiếp thu kiến thức chương tổ hợpxác suất là rất khó khăn Đây là phần kiến thức mới trong chương trình sáchgiáo khoa Chủ yếu các kiến thức chuyên sâu về xác suất tập trung ở chươngtrình cao đẳng - đại học nên đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo

giảng dạy lứa tuổi THPT - THCS trong việc áp dụng phương pháp giảng dạycho phù hợp

Các em thường rất máy móc, nếu gặp toán lạ là không biết cách giảiquyết hay chưa đặt ra hướng giải quyết Học sinh thiếu tính chủ động trongviệc tiếp thu kiến thức Vì vậy kiến thức dễ quên và kết quả học tập chưa cao.Hay học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động, chủ yếu theo lối đọc

chép hay thiếu tính tư duy logic

“Vậy làm thế nào để học sinh học tốt phần kiến thức này?”

Đó chính là một trong những lý do thôi thúc chúng tôi thực hiện đề tài

1

Trang 7

cầu xã hội Xong áp dụng phương pháp này để giảng dạy hiệu quả nội dung khónhư toán tổ hợp thì cần sự đóng góp của các thầy cô giáo và các nhà khoa học.

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trung học cơ sở và giáo viên toán cấptrung học cơ sở

- Phạm vi nghiên cứu: Các trường cấp trung học cơ sở

5 Mẫu khảo sát:

Xem xét việc áp dụng dạy học chứng minh các đồng nhất thức bằngphương pháp tổ hợp đếm

6 Câu hỏi nghiên cứu:

Vận dụng phương pháp tổ hợp đếm để tiếp thu tốt hơn kiến thức cũ vàlối chứng minh cũ các đồng nhất thức

7 Giả thuyết nghiên cứu:

Khi học sinh được học chương tổ hợp xác suất theo phương pháp dạyhọc mới là phương pháp tổ hợp đếm, đặt câu hỏi và trả lời hoàn toàn theo toán

tổ hợp thuần túy Các em sẽ tiếp thu bài tốt hơn, ngoài ra các em có thể mởrộng bài toán và có những sáng tạo toán học

8 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sách giáo khoa toán trung học cơ sở, đặc biệt các khối 6, 7,

8, 9 Các đề tài tham khảo, kết hợp việc nghiên cứu và thực hành chứng minhtoán tổ hợp Sử dụng phương pháp dạy học truyền thống và hiện đại một cáchđan xen

Trang 8

9 Các luận cứ thu nhập được:

9.1 Luận cứ lí thuyết:

- Lý thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Thực trạng dạy và học ở trường trung học cơ sở

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán

9.2 Luận cứ thực tế:

Kết quả thực nghiệm về năng lực học tập của học sinh sau quá trìnhgiảng dạy của giáo viên lớp thực nghiệm

10 Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,nội dung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương

Chương 1: Giới thiệu về hệ số nhị thức

Chương 2: Các đồng nhất thức của hệ số nhị thức

3

Trang 9

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC

VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ở chương 1, chúng tôi xin trình bày khái quát về lịch sử toán tổ hợptrong cấp trung học cơ sở, giới thiệu về hệ số nhị thức Những kiến thứcchuẩn về kĩ thuật đếm, các nguyên lý đếm cơ bản, các khái niệm cơ bản hàmtoán học sẽ được chúng tôi giới thiệu theo phương pháp đếm

Kiến thức chính trong chương 1 này, chúng tôi sử dụng một số tài liệutham khảo sau:

1 Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ ChíMinh, 2001

2 Trần Ngọc Danh, Toán rời rạc nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia

TP Hồ Minh

3 Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977

1.1 LỊCH SỬ TOÁN TỔ HỢP TRONG CẤP THCS:

Nội dung: “Đại số tổ hợp” cung cấp kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp

và lý thuyết sác xuất Đại số tổ hợp, còn giới thiệu về hai quy tắc đếm cơ bản,các khái niệm, các công thức về hoán vị, chính hợp, tổ hợp, công thức khaitriển nhị thức Niu-tơn và áp dụng của nó Nó còn cung cấp khái niệm mở đầu

và các công thức đơn giản nhất của lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọngcủa Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế

Trong những năm 80 của thế kỷ trước, Đại số tổ hợp đưa vào chươngtrình sách giáo khoa và mang tính chất giới thiệu Đến năm 1994 - 1995,trong chương trình thí điểm chuyên ban, Đại số tổ hợp được đưa vào dạy cùngxác suất

Mục tiêu dạy học phần này là hình thành khái niệm ban đầu về Đại số

tổ hợp, học sinh cần nắm được các quy tắc đếm, cách tính số hoán vị, chínhhợp, tổ hợp, biết cách áp dụng vào các bài toán, đơn giản của thực tiễn và xác

Trang 10

suất cổ điển, đồng thời biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn và sử dụngcông thức đó vào việc giải toán.

1.2 GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC:

1.2.1 Định nghĩa:

* Định nghĩa:

xnxChúng ta định nghĩa x x là số tập con có k phần tử ( k phần tử khác

xk xnhau và không phân biệt thứ tự) lấy từ tập gồm n phần tử Nói một cách

xnx

x k x đọc là tổ hợp n chập k

x xLưu ý rằng, ở một số quốc gia châu Á trong đó có Việt Nam thường ký

khiệu tổ hợp n chập k là Cn

xnxToàn bộ luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu quốc tế là x x

xk x

5

Trang 11

1.3 KỸ THUẬT ĐẾM:

Trong lý thuyết tổ hợp các phép đếm luôn chiếm một phần vô cùngquan trọng và có ứng dụng vô cùng đa dạng Các phương pháp đếm số lượngphần tử của một tập hợp đóng vai trò quan trọng trong một số môn khoa học,đặc biệt là Tin học và Toán học ứng dụng Đối với chương trình toán phổthông các phương pháp đếm luôn là chuyên đề quan trọng và hết sức cần thiếttrong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời cácứng dụng đa dạng của nó cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đốitượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này

Mục tiêu của phần 1.3 là kiến thức chuẩn bị này nhằm trình bày một sốphép đếm cơ bản nhất và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tàiphù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông

Đếm bằng hai cách là một kỹ thuật đếm thông dụng để tạo ra cácphương trình, đẳng thức, các mối liên hệ giúp chúng ta giải quyết các bài toánphương trình, tính toán hình học, bất phương trình và đặc biệt là các bài toán

tổ hợp trong đó có bài toán đếm

1.3.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp:

a Tập hợp:

* Khái niệm về tập hợp:

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, khôngđịnh nghĩa Giả sử cho tập hợp A Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A , taviết a x A (đọc là a thuộc A ) Để chỉ a không là một phần tử của tập hợp A ,

ta viết a x A (đọc là a không thuộc a x A )

Một tập hợp được coi là xác định nếu ta có thể chỉ ra được tất cả cácphần tử của nó

Các cách xác định tập hợp:

Tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau:

- Liệt kê chúng (thường dùng để biểu thị các tập hữu hạn) Ví dụ: Tậpcác số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10

A x x0,2,4,6,8x

Trang 12

- Quy ước tập rỗng là con của bất kỳ tập hợp nào

* Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp:

Trang 13

Tổng quát với các tập tùy ý V1 ,V2 , ,Vn bằng phương pháp quy nạptheo n (n x 2) , ta có công thức:

n

i x1

Vi x x Vi x x Vi x Vj x V1 x V2 x V3 x V1 x V2 x V4

i x1 ix j n

x x Vnx2 x Vnx1 x Vn x x (x1) n V1 x V2 x x Vn

Ví dụ 1:

(Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên trường THPT

Chuyên - 2012) Chứng minh rằng bản báo cáo thành tích cuối năm của mộtlớp sau đây là sai:

“Lớp có 45 học sinh trong đó có 30 em nam Lớp có 30 em đạt loại giỏi

và trong số này có 16 nam Lớp có 25 em chơi thể thao và trong số này có 18

em nam và 17 em đạt loại giỏi Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi và chơi thểthao”

Trang 14

1.3.2 Công thức bao hàm và loại trừ:

Cho V là tập hợp hữu hạn và V1 x V Ta sẽ có V1 x V\V1 .Khi đó: V1 = V - V1

Trang 15

1 người tham gia đồng thời cả 4 môn của Hội thao.

Hỏi có bao nhiêu vận động viên không tham gia thi đấu một bộ mônnào của Hội thao?

Giải:

Dùng V để ký hiệu tập hợp các vận động viên tham gia hội thao

V1 tập hợp các vận động viên tham gia môn cầu lông

V2 tập hợp các vận động viên tham gia môn bóng bàn

V3 tập hợp các vận động viên tham gia môn chạy

V4 tập hợp các vận động viên tham gia môn cờ tướng

Khi đó số vận động viên không tham gia môn nào của Hội thao chínhbằng lực lượng của tập V1 x V2 x V3 x V4 :

V1 x V2 x V3 x V4 x 100 x x18 x 26 x 19 x 24 x

x x 5 x 2 x 3 x 5 x 4 x 3x x x 2 x 3 x 2 x 4 x x 1 x 25Vậy có 25 người không tham gia thi đấu môn nào của Hội thao

Trang 16

1.3.3 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm:

a Quy tắc cộng:

Ví dụ:

Hoặc là một giảng viên của khoa Toán, hoặc là một sinh viên của khoaToán sẽ là đại diện của trường Như vậy nếu có 24 giảng viên, 310 sinh viênthì có bao nhiêu cách chọn lựa đại diện ?

Tổng quát hóa quy tắc cộng:

Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời và số cách làmchúng tương ứng là n1 , n2 , , nm Số cách làm một trong m công việc là

P = mi x 1 ni

Ví dụ:

Một sinh viên chọn đồ án môn học trong 5 nhóm: Khoa học máy tính,

cơ sở dữ liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy tính, kỹ thuật máytính Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương ứng là: 10, 15, 14, 16, 11 Có baonhiêu cách chọn?

Trang 17

Giả thiết: Một nhiệm vụ được tách làm hai việc: Việc 1 làm bằng n1

cách, việc 2 làm n2 cách khi việc 1 đã được làm Khi đó sẽ có n1 x n2 cáchthực hiện nhiệm vụ

Tổng quát quy tắc nhân:

Giả thiết một nhiệm vụ có m công việc phải thực hiện T1 , ,Tm Nếuviệc Ti có ni cách thực hiện Khi đó ta có n1 x x n m cách thực hiện nhiệmvụ

Trang 19

Ví dụ:

(Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu) Cho

tập S x x1,2, , nx với n x 1 và f là một hoán vị của tập S Phần tử i của S

được gọi là một điểm cố định nếu f (i) x i Gọi Pn (k ) là số hoán vị của tập S

có đúng k điểm cố định Hãy chứng minh rằng:

x kP (k ) x n!x

k x0 nn

Giải:

1 Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0,1,2, ,n điểm cố định

bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n !, nên có đẳng thức:

x P ( k ) x n!

k x0 nn

2 Ta chứng minh rằng: xk (1 x k x n) đều có kPn (k ) x nPnx1 (k x 1)

Dùng x f , i x để kí hiệu cặp gồm hoán vị f tùy ý của n phần tử với k điểm cố

định và i là điểm tùy ý trong k điểm cố định đó (tức f (i) x i )

Thừa nhận P0 (0) x 1

Để lý giải quan hệ (1.11), ta hãy tính số N các cặp x f , i x bằng hai cách

Một mặt, i chạy qua điểm k cố định đã xác định, nên mỗi hoán vị trong

Pn (k ) hoán vị đó có mặt trong k cặp x f , i x Bởi vậyN=k.Pn x k x Mặt khác,nếu f (i) x i , thì trên tập gồm x n x 1x phần tử còn lại (tức các phần tử khác i )

hoán vị có f có x k x 1x điểm cố định, nên mỗi một trong n phần tử i có mặt

trong Pnx1 (k x 1) cặp Do đó N x n.Pnx1 (k x 1) , nên đẳng thức (1.11) được

Trang 20

b Hoán vị có lặp:

* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n x n x 1x phần tử Mỗi cách sắp xếp nphần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt ít nhất một lần) đượcgọi là hoán vị lặp

Số hoàn vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loạii(1 x i x k ) xuất hiện ni lần được ký hiệu là P(n1 , n2 , , nk ) và được tính bằngcông thức:

P(n1, n2 , , nk ) x

Ví dụ:

n!

n!n2 ! nk !

(Đề tuyển sinh vào trường ĐH - Khối D - 2001) Từ các chữ số 0, 1, 2,

3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 4 có mặtđúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần

6!

3!

7! 6!

- = 720 số3! 3!

Trang 21

1, 2, 3, 4.

Bởi vậy số khả năng lập phần đầu độ dài 10a1a2a3 a10 của số n bằng

số hoán vị lặp của 10 phần tử thuộc 4 loại chữ số: 1, 2, 3, 4 với 1 xuất hiện 4lần, 2 xuất hiện 3 lần, 3 xuất hiện 2 lần và 4 xuất hiện 1 lần, sẽ bằng

P x1,2,3,4 x Ngoài ra a11 lại có thể nhận giá trị 0 hoặc 5 nên số cần tìm sẽ là:

2P x1,2,3,4 x x 10!

2 x 252001!2!3!4!

1.3.5 Chỉnh hợp:

a Chỉnh hợp không lặp:

* Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (0 x k x n)

phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của

n phần tử thuộc A

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng Ak Số chỉnh hợp n

chập k của n phần tử được tính bởi công thức:

A k x n x n x 1x x n x k x1x n!xn

x n x k x!

Ví dụ:

Một lớp học có 25 học sinh Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó

và một thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?Giải:

Mỗi các chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là mộtchỉnh hợp chập 3 của tập 25 phần tử

Trang 22

Số các chỉnh hợp là:

3

A25 x 25! x13800

x 25 x 3x!Vậy có 13800 cách chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủquỹ trong lớp học có 25 học sinh

b Chỉnh hợp có lặp:

* Định nghĩa: Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k cácphần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếptheo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần

Vì tập 1, 2, 3, 5 chỉ có duy nhất một chữ số chẵn là 2, nên x x abcd với

a, b, c, d thuộc tập 1, 2, 3, 5 là số chẵn khi và chỉ khi d bằng 2

Mặt khác 1, b, c có thể bằng nhau, nên y x abc là một chỉnh hợp lặpchập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5

Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối

Trang 23

Ví dụ:

(Bài toán đếm số các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn)

Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với N x n và M x m Hãy xác định các

* Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k x 0 x k x n x

phần tử thuộc A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

* Nhận xét: Hai tổ hợp được coi là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một

Trang 25

Ví dụ:

(Lý thuyết tổ hợp và đồ thị - Ngô Đắc Tân) Tại Việt Nam hiện đang cóbán 10 loại máy vi tính khác nhau mà ta gọi là loại máy 1, , loại máy 10.Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính Hỏi cơ quan có bao nhiêu sự lựa chọnkhác nhau?

Giải:

Giả sử a1 là một máy vi tính thuộc loại máy 1; a2 là một máy vi tínhthuộc loại máy 2, ,a10 là một máy vi tính thuộc loại máy 10, và

A xxa1, a2 , , a10x Mỗi cách chọn 5 máy vi tính có thể coi là một tổ hợp chập

10 của 5 và tổng số các tổ hợp được tính theo công thức

x 5 x x10 x 5 x 1x x14 x14!

xxxx x xx10 xx 55x x xx x x 5!x14 x 5 x!

10 x 11 x 12 x 13 x 14 xx11 x 13 x 14 x 2002

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	2,17 MB