Phương pháp monte carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HOA PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ VẬT LIỆU TỪ VỚI MÔ HÌNH HUBBARD Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60440

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HOA

PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

HỆ VẬT LIỆU TỪ VỚI MÔ HÌNH

HUBBARD

Chuyên ngành: Vật lí chất rắn

Mã số: 60440104

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thế Lâm

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự cố gắng nỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến TS Nguyễn Thế Lâm, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô giảng dạy chuyên ngành Vật lí chất rắn và quý Thầy Cô trong trường Đại học Sư phạm

Hà nội 2 đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người

đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện luận văn của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót hoặc có phần nghiên cứu chưa sâu Rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy, các Cô

Tôi xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn thạc sĩ “Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard”, chuyên ngành Vật lí chất rắn là

công trình của riêng tôi Luận văn đã sử dụng thông tin từ nhiều nguồn dữ liệu khác nhau, các thông tin có sẵn đã được trích rõ nguồn gốc

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và chưa được sử dụng để bảo vệ một học

vị nào

Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc

Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2013

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoa

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ……… 1

Lời cảm ơn……… 2

Lời cam đoan……… 3

Mục lục……… 4

Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt……… 6

MỞ ĐẦU……… 7

NỘI DUNG………

Chương 1: Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……… 9

1.1 Giới thiệu……… 9

1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……… 9

Chương 2: Phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử 13

2.1 Cơ sở hình thành phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử……… 13

2.2 Vấn đề về dấu của hàm sóng……… 19

2.3 Sự không ổn định tại nhiệt độ thấp……… 26

2.3.1 Sự kết hợp không gian – thời gian……… 27

2.3.2 Sự ổn định ma trận phân hủy…….……… 30

Chương 3: Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……… 34

3.1 Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……… 34

3.2 Kết quả và thảo luận……… ……… 40

3.2.1 Sự phụ thuộc của mô men từ vào nhiệt độ - chuyển pha sắt từ thuận từ……… ……… 40 3.2.2 Sự phụ thuộc của năng lượng tương tác lân cận vào nhiệt độ 41

3.2.3 Sự phụ thuộc của năng lượng của hệ vào nhiệt độ………… 43

3.2.4 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ……… 44

3.2.5 Sự phụ thuộc của tổng thống kê Z vào nhiệt độ……… 45

KẾT LUẬN……… 47

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 48

PHỤ LỤC……… 51

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BCS: Mô tả lí thuyết thông thường

CPU: Máy tính

HS: Hamiltonian – Stratonovich

HST: Khai triển Hubbard – Stratonovich

QMC: Monte Carlo lượng tử

Ref: Tài liệu tham khảo

Tr: Trace

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lịch sử nghiên cứu Vật lý con người đã sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu như: phương pháp vật lý lý thuyết, phương pháp thực nghiệm, phương pháp mô hình hóa,…trong đó phương pháp mô hình hoá là phương pháp được xây dựng để mô tả hệ Vật lý bằng máy tính có mức chi phí

và thời gian tiết kiệm đáng kể

Trong quá trình nghiên cứu Vật lý, chúng ta gặp phải rất nhiều hệ hạt vật

lý mà đặc biệt là các tính chất của hệ hạt Chúng ta có thể nghiên cứu bằng các phương pháp ở trên nhưng phương pháp mô hình hoá đưa ra kết quả bằng

mô hình phù hợp tốt với thực nghiệm Trước đây, phương pháp mô hình hoá

đã được áp dụng cho nghiên cứu các hệ hạt theo mô hình cổ điển đã mô tả khá tốt các tính chất điện, từ và các tính chất nhiệt động của hệ hạt

Trên thế giới, phương pháp trên đã được sử dụng tuy nhiên còn rất ít, còn đối với Việt Nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và hầu hết các tài liệu được viết bằng tiếng Anh Phương pháp mô hình hoá trên thế giới đã nhiều năm tiếp cận với hệ cổ điển, nhưng với lý thuyết trường lượng tử còn rất ít Do đó tôi đã chọn phương pháp mô hình hoá các tính chất của hệ hạt Vật lý theo mô hình lý thuyết trường lượng tử làm đề tài nghiên cứu chuyên ngành của mình Trên cơ sở đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu

“Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ

với mô hình Hubbard ”

Phương pháp Monte Carlo là một lớp thuật toán để giải quyết nhiều bài toán trên máy tính và thường sử dụng các số ngẫu nhiên Phương pháp này tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp khác, chẳng hạn bằng tính

tích phân Kết quả của phương pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả đúng) khi số lượng lặp các bước tăng

- Trên cơ sở các kết quả tìm được, sẽ mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát mà lý thuyết và thực nghiệm có thể chưa thực hiện được do tính phức tạp trong lý thuyết hoặc tốn kém về chi phí khi thực hiện nghiên

cứu bằng thực nghiệm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất từ và các tính chất nhiệt động của hệ sắt từ bằng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

- Xây dựng chương trình mô hình tính toán để mô tả các tính chất nói

trên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các chuyển pha trong hệ sắt từ

5 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1: MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ VẬT LIỆU TỪ

1.1 Giới thiệu

Chúng tôi xem xét và quyết định phương pháp Monte Carlo lượng tử cho hệ fermionic, sử dụng mô hình Hubbard như một trường hợp nghiên cứu Bắt đầu với thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo cho hệ cổ điển Chúng ta giới thiệu các khía cạnh như tầm quan trọng của việc lấy mẫu, nguyên nhân lỗi, và giới hạn kích thước Sau đó, chúng ta thiết lập các bước

sơ bộ để chuẩn bị cho các mô phỏng, thực sự chúng được thực hiện bằng việc lấy mẫu rời rạc của trường Hubbard – Stratonovich Trong phương pháp này hàm Green xuất hiện như một công cụ cơ bản, từ khi hàm Green được sử dụng trong cập nhật các quá trình, và, trong cùng một thời điểm, hàm Green trực tiếp liên quan các đại lượng như từ, điện, kim loại và siêu dẫn Chúng ta cũng thảo luận việc chưa được giải quyết đó là vấn đề về dấu của hàm sóng,

và hai cách để ổn định các thuật toán tại nhiệt độ thấp

1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ

Trong việc xử lí với hệ nhiều fermion tương tác, nói chung ta sẽ thấy thú

vị trong một số tính chất tập thể, điều này là phù hợp được mô tả trong cơ học thống kê Không giống như nam châm điện, mà bậc tự do của spin được chỉ

ra, tương tác giữa điện và spin tương ứng cho một hiện tượng thú vị (trong đó

số bậc tự do của quỹ đạo cũng có thể được tính đến, nhưng chúng kèm theo

vô cùng những phức tạp, và không được xem xét ở đây) Những câu hỏi bình thường về một hệ có liên quan đến trạng thái từ tính của nó (Nó có từ tính không? Nếu có, sắp xếp như thế nào?), đến phân bố điện tích, và liệu nó là điện môi, kim loại hay siêu dẫn

Một cách hiểu sâu hơn của tương tác giữa spin và các bậc tự do điện tích có thể đạt được thông qua các mô hình, trong khi đó để có cơ chế vật lí

cơ bản tương ứng với cái quan sát được, nên để đơn giản để cho việc tính toán đại lượng có thể so sánh với thực nghiệm Mô hình đơn giản nhất được mô tả trong các tương tác fermion trên một mạng tinh thể là mô hình Hubbard đơn nhánh [16], được xác định bằng Hamiltonian lớn kinh điển

U là lực đẩy Coulomb tại các nút,

 là thế hóa học được kiểm soát bằng mật độ fermion,

i chạy từ vị trí của một mạng không gian d – chiều;

Tiếp theo, chúng ta xem xét tương tác giữa các lân cận gần nhất, như được kí hiệu bằng Toán tử c i và c i tương ứng là toán tử sinh và hủy một fermion với spin  trên (đơn) orbital trung tâm tại i, khi đó n i c c i i

Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa xu hướng đối lập của lưu động (điều khiển bằng các đại lượng tương tác) và định xứ hóa (điều khiển bằng lực đẩy tại các nút mạng) Đối với miền năng lượng điền đầy một nửa (một fermion trên một nguyên tử), nó có thể được làm rõ ở [36], trong giới hạn của lực đẩy mạnh thì Hubbard Hamiltonian trở thành mô hình Heisenberg phản sắt từ đẳng hướng với một năng lượng tương tác J  4t U2

Nếu chúng ta cho năng lượng tương tác U một giá trị âm thì ta có một

mô hình Hubbard hút Về mặt vật lí, lực hút địa phương có thể là nguồn gốc

trong kết cặp fermion (thông qua hình thành polaron) hoặc các phonon địa phương (như mô hình dao động của các phức hóa học) [23] Trong giới hạn liên kết cặp yếu tố mô tả lý thuyết BCS thông thường, và kết cặp trong không gian thực thuận lợi hơn để tính toán bằng số, mô hình này rất hiệu quả để làm sáng tỏ nhiều tính chất ở cả siêu dẫn nhiệt độ thường và siêu dẫn nhiệt độ cao [23]

Mô hình Hubbard [là công thức đơn giản nhất, phương trình (1.1)] chỉ

có thể giải được chính xác trong không gian một chiều, thông qua vành Bethe; hàm tương quan, tuy nhiên, không có tác dụng trực tiếp Ở bài toán nhiều chiều ta phải dùng đến phương pháp gần đúng, và kĩ thuật tính số, giống như mô phỏng Monte Carlo lượng tử (QMC) đã được chứng minh là quan trọng trong việc giải quyết những thông tin về các fermion tương tác mạnh

Kể từ lần đầu tiên phương pháp Monte Carlo của hệ cổ điển được phát minh sớm vào năm 1950 [18, 31, 17], nhiều thuật toán QMC đã được đề xuất Các thuật toán này khác nhau và phụ thuộc vào các tính chất mà ta mong muốn chương trình đưa ra Ví dụ, chúng có thể được phân loại theo bậc tự do trong không gian liên tục, hoặc trên một mạng tinh thể, hoặc nó là một trạng thái cơ bản hoặc một bài toán nhiệt độ hữu hạn; hay nó là biến hay là hàm; hoặc thậm chí theo cách thực hiện của chúng như nếu một trường ngoài được đặt vào, hoặc nếu hàm Green được xây dựng bằng phương pháp lũy thừa Tuyệt vời để mở rộng các thuật toán một cách có hiệu quả trong ngôn ngữ như [20, 37], vì vậy ở đây chúng ta tập trung trên các chi tiết thực tế là việc kết hợp công thức lớn kinh điển với trường phụ trợ để tạo nên định thức fermion [21] Chúng ta sẽ phải đặc biệt chú ý đến các khai triển và các cải tiến đã đạt được trong nhiều năm qua [13, 14, 15, 32, 6] Chúng ta cũng sẽ có

lưu ý chủ yếu của mô hình Hubbard, nhưng sẽ không thảo luận nhiều về kết quả thu được; thay vì, tài liệu tham khảo sẽ cho người đọc những phân tích chi tiết và chúng tôi xin lỗi về việc đưa ra nhiều giấy tờ có liên quan, mà nó được kể đến cho việc cần phải giữ tập trung thảo luận trong thực hiện QMC đặc biệt này, và không phải mô hình Hubbard (hoặc bất kì mô hình khác)

Để phù hợp với mục đích hướng dẫn của bài viết này, chúng tôi giới thiệu thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo, hình ảnh cho spin “cổ điển” Trong cách này, chúng ta có cơ hội để kéo dài sự chú ý của người đọc thiếu kinh nghiệm để thấy được tầm quan trọng của việc phân tích dữ liệu đầy

đủ, bình thường cả hai hệ cổ điển và lượng tử, trước khi bắt tay vào nghiên cứu công thức lượng tử Việc đầu tiên, kể cả gần đúng, là sự xuất hiện của hàm Green trong nội dung này được thảo luận Chúng ta mô tả cập nhật các quá trình, cũng như mở rộng phạm vi của các đại lượng trung bình đã có để tìm hiểu các tính chất vật lí khác nhau của hệ Sau đó chúng ta xác định hai khó khăn chính được giới thiệu theo thuật toán đơn giản được trình bày, và cho đến nay: vấn đề này vẫn chưa giải quyết được đó là vấn đề dấu trừ, và những bất ổn tại nhiệt độ thấp với vấn đề này cho hai giải pháp thành công được thảo luận Sau đó các kết luận và một số tổng quan được trình bày trong phần cuối

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO CHO LÝ THUYẾT

ta một cách nhìn đơn giản cho thiết lập công thức của định thức QMC

Tổng quát của một tích phân Gaussian một chiều

nó được cho bởi dạng bậc 2 từ x A xT

Chúng ta biết làm thế nào để tính tích phân này khi tích phân bao gồm các chiều của x i

1 2

Nhắc lại kí hiệu x x i j nhấn mạnh một giải thích thống kê khả dĩ cho tỉ

Trong khi có thể là khả năng để tính tích phân này với những đa thức tuỳ ý như một phần tử tích phân, ở đây ta không thể làm được khi bậc xuất hiện các đại lượng bậc 2 trong hàm mũ Chúng ta sẽ xem những tương tự của những vấn đề khác nhau cho một số trace của toán tử fermion Hamiltonian

Dạng cơ bản của định thức QMC Để giải quyết mô hình Hubbard, chúng tôi muốn tính những biểu thức như

ˆ 1

Tr là trace trên không gian Hilbert 4N chiều, trong đó N là số vị trí

Tương tự tích phân Gaussian nhiều chiều, chúng ta có thể thực hiện trace làm tương tự nếu chúng có dạng bậc 2 của toán tử fermion

Giả sử:

Chú ý rằng trong khi “Tr” ban đầu là trong không gian Hilbert 4N

chiều của cơ học lượng tử Thì “det” là một định thức của ma trận NxN “I”

ma trận đồng nhất N chiều và h là ma trận số đầu vào định nghĩa toán tử Hˆ Điều đó nhấn mạnh rằng bởi vì chúng ta đang thực hiện Trace theo không gian Hilbert 4N chiều đầy đủ, bao gồm tất cả các trạng thái của số lấp đầy Chính phương pháp định thức QMC như được tính toán thực hiện trong chính tắc lớn Mật độ hạt được điều khiển bằng sự biến đổi của thế hoá

Đó là cho phép kiểm tra thông thường (phương trình 2.8) viết cho một bậc tự do fermion đơn Với toán tử H e c cˆ   Có hai trạng thái không gian Hilbert và

Z  e   e   e (2.9)

Nói một cách rộng hơn (phương trình cho nhiều hơn một bậc tự do của fermion) phương trình (2.8) có thể xác định bởi ô cơ sở trong đó h là đường chéo Phương trình có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân Gaussian

Có một đặc trưng lớn hơn Nếu có một tập hợp các Hamiltonian bậc 2

Hàm Green Fermion vừa là một phần tử nghịch đảo của ma trận NxN

mà định thức của nó đưa ra được hàm phân bố

Công thức ở trên đã mô tả khá tốt cách thực hiện Trace cho dạng bậc 2 của các bậc tự do fermion Không may là Hubbard Hamiltonian có một đại lượng tương tác Un n i i Uc c c c i i i i

Để xử lí các đại lượng này chúng ta sử dụng khai triển Hubbard – Stratonovich (rời rạc hoá)

e là bậc 2 trong các toán tử fermion Chúng ta đặt một đối số l trên toán tử Vˆ và nhấn mạnh rằng trong khi toán tử Kˆ tất cả là đồng nhất, toán tử

tử bây giờ đã được điều biến như một bài toán Monte Carlo cổ điển Chúng ta cần tính tổng trên cấu hình có thể thực, cổ điển, biến s , i l với trọng số

“Boltzmann” là tích của hai định thức fermion Chú ý rằng như mã QMC trên thế giới, biến cổ điển được tính bằng tổng một chỉ số bổ sung l biểu thị cho thời gian ảo

Phương trình ma trận động năng và ma trận năng lượng tương tác có thể được hiểu như việc đến từ việc đồng nhất toán tử tổng quát của phương trình (2.10 – 2.11) tương tác Vˆ có dạng bậc 2 bằng việc sử dụng phương trình (2.13)

Thuật toán như đã nói, thì trong thời gian tính CPU như tỉ lệ với N L4

Lý do là việc tính lại định thức của M  mất N3 hoạt động, và chúng ta phải thực hiện NL lần bước tính qua tất cả các biến của trường Hubbard – Stratonovich (nếu như là được thực hiện bình thường, chúng ta vừa thay đổi tại một thời điểm) Thời gian có thể giảm tới N L3 (như sau đây nếu ta sẽ bỏ các chỉ số spin) Ý tưởng đó là viết M M dM và tỉ lệ định thức là:

detM detM  det M M   det M M dM  det I G dM (2.17)

Với định nghĩa G M 1 Nó chỉ ra rằng dM là rất đơn giản bởi vì khi một trường Hubbard – Stratonovich lật trạng thái, một đầu vào chéo đơn trong v l  sẽ thay đổi Bởi vì dM là rất nhỏ, nên việc tính của det I G dM  

nếu thời gian cpu tính toán không phụ thuộc N và L! Trong thực tế, suy nghĩ một chút sẽ thuận lợi rằng phương trình update trường Hubbard – Stratonovich xuất hiện từ phương trình (2.19) và dạng của dM

Tuy nhiên, chúng ta cần biết G M  1 cho phép tính này, và một khi trường Hubbard – Stratonovich biến đổi được thực hiện, thì cần cập nhật G Việc tính toán G này không mất N3 tương tác, như dự đoán của một nghịch đảo ma trận, nhưng có thể thực hiện chỉ trong N2 thao tác Một lần nữa kết quả đơn giản là sự biến đổi của dM Việc này liên quan giữa   1

new

G  M dM 

old

G M là một ứng dụng của công thức “Sherman – Morrison” đã cho, ví

dụ trong xử lí số liệu số Press Nếu bạn thực hiện với công thức Sherman –

Morrison, áp dụng cho vấn đề của chúng ta, kết thúc với phương trình cập nhật hàm Green

Một nhận xét cuối cùng liên quan đến sự cần thiết (Wrapping) đóng gói

C cho phương trình đóng gói hàm Green Việc sử dụng phương trình (2.19)

để nhận được phương trình update trường Hubbard – Stratonovich và công thức Sherman – Morrison để nhận được phương trình cập nhật hàm Green yêu cầu rằng thời điểm ảo cho biến Hubbard – Stratonovich được cập nhật ở cuối của tích trong phương trình (2.16) Quá trình đóng gói C chuyển ma trận tương tác gần đúng tới cuối của tích thông qua một giao hoán tuần hoàn Đó

i il

s l n K

Trong đó, các nét nghiêng biểu thị các giá trị biến lỗ Do đó,

det   det    0, cho n 1,U 0 (2.23)

Hình 2.1: Dấu trung bình của tích định thức fermionic như một hàm của miền năng lượng điền đầy, của mô hình Hubbard với U  : 4  a 4 4  mạng vuông, cho nghịch đảo nhiệt độ   (vòng tròn), 8 (hình vuông), và 10 (tam giác); được chuyển thể từ Refs 6 [37] và [32] (b) 6 6  (vòng tròn) và 8 8  (hình vuông) mạng vuông, cố định được nghịch đảo nhiệt độ,  ; được chuyển thể từ Ref [32] (c) 6 4 4 4   (vòng tròn) và 6 6 6   (hình vuông) mạng lập phương đơn giản, cố định nghịch đảo nhiệt độ,  Đường nối 7 các điểm được nhìn bằng mắt cho tất cả các trường hợp

Cho mô hình Hubbard hấp dẫn, phụ thuộc  trong khai triển Hamiltonian Stratonovich rời rạc dẫn đến    s     s , nhưng tích của định thức là dương   với tất cả các hàm

Tương tự đối số được áp dụng để biểu thị định thức fermionic là luôn luôn dương cho mô hình Holstein của tương tác electron – phonon [7, 22]

Trong một số trường hợp khác, định thức fermionic trở thành âm của một vài cấu hình Để phá vỡ vấn đề này, nhớ lại rằng hàm riêng có thể được viết bằng một tổng của các cấu hình, c s , của „trọng số Boltzmann‟,

p c

p c s c A c

p c A c A

vuông 4 4  với U 4, và cho ba nhiệt độ khác nhau Ta thấy rằng, từ n 1,

sign chỉ các điều kiện tại điền đầy nhất định, tương ứng để đóng cấu hình; như vậy trạng thái cơ bản của hệ là không suy biến [32] Đối với một số trường hợp, các hàm đặc biệt là 2 và 10 fermion trên 4 4  vị trí, tương ứng, dẫn đến n 0.125 và 0.625 Tại bất kì hàm không đặc biệt, sign bị suy giảm dần giống như nhiệt độ giảm, thể hiện mô phỏng trong một số trường hợp

Hình 2.1b làm rõ rằng đối với một nhiệt độ cho trước, nhưng trong sign

được làm sâu hơn giống như kích thước hệ tăng lên Ta nên chú ý, tuy nhiên,

vị trí chung nhỏ nhất không phụ thuộc vào khoảng kích thước hệ, mà, các hàm cho phép ta kiểm tra an toàn hiệu ứng kích thước trong các tính chất

Thực sự mô hình không gian ba chiều ít nhiều được làm rõ trong hình 2.1c:

cho 0.3  n 1, sign không bao giờ lớn hơn 0.5 ở các hàm như nhau cho cả hai kích thước hệ

Đó cũng là bài học để thảo luận về sự phụ thuộc của dấu sign vào nhiệt

độ, giữ cố định cả hai kích thước hệ và miền năng lượng của hàm Trong hình 2.2 chúng ta thể hiện ln sign với  của mạng 4 4  tại n 0.625 Thực sự, các

dữ liệu đã thu được trong Ref [7] bởi thuật toán của một trạng thái cơ bản, nhưng chúng theo xu hướng giống nhau để thu được từ thuật toán định thức

để thảo luận ở đây U tăng, dấu bị suy giảm ngay cả đối với các hàm đặc biệt Cho các hàm khác dấu trung bình cũng giảm với U, và có những khẳng định tổng quát [7] là

s

N

sign e  (2.25)

Trong đó:  phụ thuộc vào n và U Trong khi cho n,  phụ thuộc vào U

là đơn điệu, cho U,  nhỏ hơn ở các hàm đặc biệt so với các hàm khác

Câu hỏi căn bản là làm thế nào để ngăn chặn, hoặc giảm đến mức nhỏ nhất vấn đề về dấu của hàm sóng Trong khi chúng ta có thể bị thu hút bởi đặc tính của trọng số âm của các cấu hình để lựa chọn khai triển Hubbard – Stratonovich đặc biệt (HST) thường được dùng, nó cho lập luận [8] rằng ngay

cả các dạng tổng quát nhất của khai triển Hubbard – Stratonovich không thể loại bỏ được vấn đề về dấu của hàm sóng Do đó có vẻ như vấn đề này có tính chất cơ bản

Hình 2.2: Đối số của dấu trung bình của tích các định thức fermionic như một hàm

nghịch đảo của nhiệt độ, cho mạng tinh thể vuông 4 4  của mô hình Hubbard, với 0.625

n  và cho giá trị lực đẩy Coulomb khác nhau: U  (vòng tròn) và 8 (hình 4 vuông) Đường nối là đường nối thông qua các điểm được chuyển thể từ Ref [7]

Để tìm hiểu nguồn gốc của vấn đề, chúng ta hãy thay đổi kí hiệu nhỏ và viết hàm phân bố là

lát cắt thời gian tại một thời điểm, ta cần áp dụng nó cho mỗi lát cắt thời gian

kế tiếp và thu thập các kết quả từ một cấu hình Hamiltonian – Stratonovich cho lát cắt thời gian l đầu tiên trong phần đường dẫn [34]

HS dẫn đến showers của 2N s giá trị của P l xuất hiện từ P l1 Trong hình 2.3,

chúng chỉ chạy theo hai đường dẫn đại diện: đường trên luôn luôn là dương

  trong khi đường dưới cắt trục l tại l0 Trong các trường hợp sau này, các shower tiếp theo dẫn đến cả hai giá trị   và   của phần đường dẫn Nội dung được thảo luận trong phần mô tả cập nhật các quá trình, các mô phỏng được thực hiện sau khi thực hiện khai triển Hubbard Stratonovich trên tất cả các vị trí của tất cả các lát cắt thời gian Trong trường hợp này, số lượng lấy mẫu là giao của tất cả các phần dương   với đường dọc tại l M ; xem hình 2.3 Nếu ta tính tổng trên tất cả cấu hình Hamiltonian – Stratonovich, chúng

ta có thể tìm được số P M dương   sẽ thừa ra số P M âm bằng một số ở tại nhiệt độ thấp, theo cấp số nhân nhỏ Trong thực tế chỉ có một số giới hạn của cấu hình Hamiltonian Stratonovich được lấy mẫu, điều này không ngạc nhiên rằng ta tìm thấy các trường mà cấu hình đưa đến trọng số âm nhiều hơn những trường cấu hình đưa đến trọng số dương Quan điểm này giúp chúng ta hiểu tại sao chỉ đơn giản là loại bỏ những cấu hình trọng số âm là không

đúng: những đóng góp tổng thể của cấu hình trọng số dương sẽ được đánh giá trong tổng các giá trị trung bình

Hình 2.3: Sơ đồ điều kiện của phần đường dẫn (xem hình) như một hàm của chiều dài

Chỉ hai đường đại diện từ „shower‟ tại l  được thể hiện: một đường nét liền đưa đến 0 một phần tử   khi nó đạt tại l M , trong khi đường nét đứt đạt P  tại 0 l0

Phân tích phần đường dẫn này của một đề nghị gần đây [34] để giải quyết vấn đề về dấu của hàm sóng Nó đưa ra thực tế rằng khi phần đường dẫn chạm đến trục P 0, đưa đến showers, khi tổng trên tất cả các trường HS tiếp

theo, cho một biến; xem hình 2.3 Nói cách khác, thay thế tất cả B trong phương trình bởi s l01 B S l01 không thay đổi thực tế rằng P  l0 0 Do

đó, nếu ta có thể theo „thời gian‟ nét vẽ của đường dẫn, và loại bỏ những biến tại đó l M , chỉ cấu hình trọng số dương kết thúc tại l M Tuy nhiên, mặc

dù về nguyên tắc rất đơn giản, nhưng chương trình này thực sự khá khó để thực hiện do cần phải xử lí hệ số B mà không sử dụng một khai triển HS Zhang [34] đã đề nghị sử dụng hệ số B thử nghiệm và kết quả dường như được khuyến khích sơ bộ Rõ ràng, điều này là cần thiết để đánh giá đầy đủ hiệu quả và mạnh mẽ của phương pháp

Hơn nữa, những đề xuất gần đây thú vị để giải quyết vấn đề về dấu của hàm sóng cần được xem xét triệt để và kĩ lưỡng Trong phương pháp tiếp cận của nhóm Meron [30], các trường HS được đặt vào trong tất cả các vị trí như

thường lệ, nhưng trong quá trình lấy mẫu (1) các cấu hình được phân theo từng nhóm mà có thể được lật một cách độc lập, và (2) phù hợp giữa cấu hình

có trọng số dương   và âm   ; xem Ref [30] cho chi tiết, và Ref [4] cho các trạng thái cơ bản khác [38] Phương pháp khác, cho đến nay đã phát minh

ra hàm thuật toán của trạng thái cơ bản, bao gồm một quyết định dựa vào bước tiếp để hướng dẫn người đi bộ hủy bỏ cấu hình tạo nên trọng số không;

Nó sẽ có giá trị để kiểm tra xem liệu các ý tưởng sau này thích nghi với việc lấy mẫu phương pháp cũng có thể được áp dụng cho thuật toán nhiệt độ hữu hạn Trong lĩnh vực này ta cần chú ý đến phương pháp Zhang có liên quan chặt chẽ đến phương pháp Monte Carlo lượng tử Constrained Path [33], mà năng lượng ở trạng thái cơ bản và các hàm tương quan thu được bằng việc triệt tiêu các cấu hình làm chồng chéo phần âm với một trạng thái thử nghiệm

Trong bản tóm tắt, các mô phỏng QMC vẫn gặp khó khăn bởi vấn đề về dấu   của hàm sóng Nhiều ý tưởng để giải được vấn đề đã được thử nghiệm trong nhiều năm qua, và chúng yêu cầu hoặc có một khuynh hướng (thông qua các trạng thái thử nghiệm) hoặc một số thuật toán khá phức tạp (vẽ lại các mô phỏng của các hệ lớn tại nhiệt độ thấp trong các đại lượng thời gian CPU), hoặc cả hai Gần đây chúng ta hi vọng những đề xuất có thể được thực hiện một cách tối ưu nhất

2.3 Sự không ổn định tại nhiệt độ thấp

Khi nội dung được thảo luận cho đến nay được thực hiện trong các mô phỏng thực tế, ta phải đối mặt với vấn đề khác, cụ thể là, thực tế rằng, các phép tính của hàm Green trở nên không ổn định tại nhiệt độ thấp Như đã đề cập các hàm Green có thể được lặp khoảng l 10 lát cắt thời gian, sau đó

chúng phải được tính lại từ đầu Tuy nhiên, khi nhiệt độ giảm, khoảng  4,

l phải giảm do những lỗi lớn trong quá trình lặp hàm Green (như được so sánh với một phép tính từ đầu) Ta sớm tính đến hàm Green phải được tính lại

từ đầu tại mọi lát cắt thời gian (l 1) Cần chú ý rằng việc loại bỏ này chỉ xuất hiện trong một quá trình lặp ở một lát cắt thời gian khác, và không trong trạng thái cập nhật ở một lát cắt thời gian nhất định Tệ hơn nữa là một thực tế rằng khi nhiệt độ hạ thấp hơn nữa, hàm Green không thể được tính lại từ đầu,

từ    1 A l   ta có điều kiện rằng nhiệt độ không thể nghịch đảo bằng các phương pháp đơn giản Ví dụ, trong không gian hai chiều và cho U 0, giá trị riêng của   trong khoảng 1 đến e4, cho U 0 chúng ta có tỉ số giữa giá trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất của   phát triển theo cấp số nhân M , do đó trở thành số ít ở nhiệt độ thấp

Vấn đề đã được đưa ra, có hai giải pháp được đề xuất, mà chúng ta lần lượt thảo luận

2.3.1 Sự kết hợp không gian – thời gian

Phương pháp được sử dụng cho đến nay có thể được các đại lượng của một kết hợp không gian, từ các thành phần cơ bản, hàm Green, hoặc, tương ứng, các ma trận A và  , là một ma trận kích thước N sN s Tuy nhiên, trong nội dung của lý thuyết trường, nếu không gian được rời rạc trong tích hợp bậc tự do fermionic [21], ma trận   được

Với một ma trận kích thước N M s   N M s  (vì mỗi phần M M chính

là một ma trận kích thước N sN s); ta vẫn có [21]

1

ˆ det   det 1  B M B (2.29)

Và

det det 2

s

N M khai triển để cập nhật, 3 2

s

N M khai triển lát cắt thời gian, và cuối cùng,  3

s

N M khai triển để quét mạng không gian – thời gian Quét thông qua mạng không gian – thời gian với ˆg sau một thành phần của M2 chậm hơn quét với g

Một giải pháp thỏa hiệp giữa hai kết hợp này đã được đề xuất bởi Hirsch [15] Thay vì sử dụng một lát cắt thời gian như một mục mới trong  ˆ [phương trình (2.28)], chúng biến M0 M lát cắt thời gian trong một mục