Một số tính chất của hệ số nhị thức

Chủ yếu các kiến thức chuyên sâu về xác suất tập trung ở chương trình cao đẳng - đại học nên đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo giảng dạy lứa tuổi THPT - THCS trong việc áp dụn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi

Các số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ THU GIANG

Footer Page 3 of 126.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 LỊCH SỬ TOÁN TỔ HỢP TRONG CẤP THCS: 4

1.2 GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC: 5

1.2.1 Định nghĩa: 5

1.2.2 Công thức: 5

1.3 KỸ THUẬT ĐẾM: 6

1.3.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp: 6

1.3.2 Công thức bao hàm và loại trừ: 9

1.3.3 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm: 11

1.3.4 Hoán vị: 13

1.3.5 Chỉnh hợp: 16

1.3.6 Tổ hợp: 18

1.3.7 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp: 21

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC 24

2.1 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CƠ BẢN 24

2.1.1 Đồng nhất thức 1 24

2.1.2 Đồng nhất thức 2 25

2.1.3 Đồng nhất thức 3 26

2.1.4 Đồng nhất thức 4 27

2.1.5 Đồng nhất thức 5 28

2.1.6 Đồng nhất thức 6 29

2.1.7 Đồng nhất thức 7 30

2.1.8 Đồng nhất thức 8 31

2.1.9 Đồng nhất thức 9 32

2.2 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC NÂNG CAO 33

2.2.2 Đồng nhất thức 11 34

2.2.3 Đồng nhất thức 12 36

2.2.4 Đồng nhất thức 13 37

2.2.5 Đồng nhất thức 14 38

2.2.6 Đồng nhất thức 15 39

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

Footer Page 5 of 126.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong những năm học trên ghế nhà trường và quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng đối với đa số học sinh việc tiếp thu kiến thức chương tổ hợp xác suất là rất khó khăn Đây là phần kiến thức mới trong chương trình sách giáo khoa Chủ yếu các kiến thức chuyên sâu về xác suất tập trung ở chương trình cao đẳng - đại học nên đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo giảng dạy lứa tuổi THPT - THCS trong việc áp dụng phương pháp giảng dạy cho phù hợp

Các em thường rất máy móc, nếu gặp toán lạ là không biết cách giải quyết hay chưa đặt ra hướng giải quyết Học sinh thiếu tính chủ động trong việc tiếp thu kiến thức Vì vậy kiến thức dễ quên và kết quả học tập chưa cao Hay học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động, chủ yếu theo lối đọc chép hay thiếu tính tư duy logic

“Vậy làm thế nào để học sinh học tốt phần kiến thức này?”

Đó chính là một trong những lý do thôi thúc chúng tôi thực hiện đề tài

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trung học cơ sở và giáo viên toán cấp trung học cơ sở

- Phạm vi nghiên cứu: Các trường cấp trung học cơ sở

5 Mẫu khảo sát:

Xem xét việc áp dụng dạy học chứng minh các đồng nhất thức bằng phương pháp tổ hợp đếm

6 Câu hỏi nghiên cứu:

Vận dụng phương pháp tổ hợp đếm để tiếp thu tốt hơn kiến thức cũ và lối chứng minh cũ các đồng nhất thức

7 Giả thuyết nghiên cứu:

Khi học sinh được học chương tổ hợp xác suất theo phương pháp dạy học mới là phương pháp tổ hợp đếm, đặt câu hỏi và trả lời hoàn toàn theo toán

tổ hợp thuần túy Các em sẽ tiếp thu bài tốt hơn, ngoài ra các em có thể mở rộng bài toán và có những sáng tạo toán học

8 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sách giáo khoa toán trung học cơ sở, đặc biệt các khối 6, 7,

8, 9 Các đề tài tham khảo, kết hợp việc nghiên cứu và thực hành chứng minh toán tổ hợp Sử dụng phương pháp dạy học truyền thống và hiện đại một cách đan xen

Footer Page 7 of 126.

9 Các luận cứ thu nhập được:

9.1 Luận cứ lí thuyết:

- Lý thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Thực trạng dạy và học ở trường trung học cơ sở

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán

9.2 Luận cứ thực tế:

Kết quả thực nghiệm về năng lực học tập của học sinh sau quá trình giảng dạy của giáo viên lớp thực nghiệm

10 Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương

Chương 1: Giới thiệu về hệ số nhị thức

Chương 2: Các đồng nhất thức của hệ số nhị thức

4

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC

VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ở chương 1, chúng tôi xin trình bày khái quát về lịch sử toán tổ hợp trong cấp trung học cơ sở, giới thiệu về hệ số nhị thức Những kiến thức chuẩn về kĩ thuật đếm, các nguyên lý đếm cơ bản, các khái niệm cơ bản hàm toán học sẽ được chúng tôi giới thiệu theo phương pháp đếm

Kiến thức chính trong chương 1 này, chúng tôi sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:

1 Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí

Nội dung: “Đại số tổ hợp” cung cấp kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp

và lý thuyết sác xuất Đại số tổ hợp, còn giới thiệu về hai quy tắc đếm cơ bản, các khái niệm, các công thức về hoán vị, chính hợp, tổ hợp, công thức khai triển nhị thức Niu-tơn và áp dụng của nó Nó còn cung cấp khái niệm mở đầu

và các công thức đơn giản nhất của lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọng của Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế

Trong những năm 80 của thế kỷ trước, Đại số tổ hợp đưa vào chương trình sách giáo khoa và mang tính chất giới thiệu Đến năm 1994 - 1995, trong chương trình thí điểm chuyên ban, Đại số tổ hợp được đưa vào dạy cùng xác suất

Mục tiêu dạy học phần này là hình thành khái niệm ban đầu về Đại số

tổ hợp, học sinh cần nắm được các quy tắc đếm, cách tính số hoán vị, chính hợp, tổ hợp, biết cách áp dụng vào các bài toán, đơn giản của thực tiễn và xác Footer Page 9 of 126.

suất cổ điển, đồng thời biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn và sử dụng công thức đó vào việc giải toán

6

1.3 KỸ THUẬT ĐẾM:

Trong lý thuyết tổ hợp các phép đếm luôn chiếm một phần vô cùng quan trọng và có ứng dụng vô cùng đa dạng Các phương pháp đếm số lượng phần tử của một tập hợp đóng vai trò quan trọng trong một số môn khoa học, đặc biệt là Tin học và Toán học ứng dụng Đối với chương trình toán phổ thông các phương pháp đếm luôn là chuyên đề quan trọng và hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời các ứng dụng đa dạng của nó cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này

Mục tiêu của phần 1.3 là kiến thức chuẩn bị này nhằm trình bày một số phép đếm cơ bản nhất và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông

Đếm bằng hai cách là một kỹ thuật đếm thông dụng để tạo ra các phương trình, đẳng thức, các mối liên hệ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phương trình, tính toán hình học, bất phương trình và đặc biệt là các bài toán

tổ hợp trong đó có bài toán đếm

1.3.1 Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp:

a Tập hợp:

* Khái niệm về tập hợp:

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa Giả sử cho tập hợp A Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A , ta viết aA (đọc là a thuộc A ) Để chỉ a không là một phần tử của tập hợp A ,

ta viết aA (đọc là a không thuộc aA)

Một tập hợp được coi là xác định nếu ta có thể chỉ ra được tất cả các phần tử của nó

Các cách xác định tập hợp:

Tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau:

- Liệt kê chúng (thường dùng để biểu thị các tập hữu hạn) Ví dụ: Tập các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10





Footer Page 11 of 126.

- Quy ước tập rỗng là con của bất kỳ tập hợp nào

* Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp:

Giả sử có các tập A, B

- Tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc tập A hoặc thuộc tập B được gọi là hợp của tập A và tập B và ký hiệu là A B hoặc AB

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời cả tập A và tập B được

gọi là giao của tập A và tập B ký hiệu là A B hoặc AB

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập A và không thuộc tập B được

gọi là hiệu của tập A và tập B Ký hiệu là A \ B

- Trường hợp tập B là tập con của tập A Hiệu của tập A và tập B được gọi là tập phần bù (hay phần bù) của tập B (đối với tập A ) và ký hiệu

V V V  V + V + V  V V  V V  V V  V V V

“Lớp có 45 học sinh trong đó có 30 em nam Lớp có 30 em đạt loại giỏi

và trong số này có 16 nam Lớp có 25 em chơi thể thao và trong số này có 18

em nam và 17 em đạt loại giỏi Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi và chơi thể thao”

1 người tham gia đồng thời cả 4 môn của Hội thao

Hỏi có bao nhiêu vận động viên không tham gia thi đấu một bộ môn nào của Hội thao?

V tập hợp các vận động viên tham gia môn cờ tướng

Khi đó số vận động viên không tham gia môn nào của Hội thao chính bằng lực lượng của tập V1V2V3V4 :

1.3.3 Hai quy tắc cơ bản của phép đếm:

a Quy tắc cộng:

Ví dụ:

Hoặc là một giảng viên của khoa Toán, hoặc là một sinh viên của khoa Toán sẽ là đại diện của trường Như vậy nếu có 24 giảng viên, 310 sinh viên thì có bao nhiêu cách chọn lựa đại diện ?

Tổng quát hóa quy tắc cộng:

Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời và số cách làm chúng tương ứng là n n1, 2, ,n m Số cách làm một trong m công việc là

P = m i 1 n i

Ví dụ:

Một sinh viên chọn đồ án môn học trong 5 nhóm: Khoa học máy tính,

cơ sở dữ liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy tính, kỹ thuật máy tính Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương ứng là: 10, 15, 14, 16, 11 Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

10+15+14+16+11 = 66 cách

Giả thiết: Một nhiệm vụ được tách làm hai việc: Việc 1 làm bằng n1

cách, việc 2 làm n2 cách khi việc 1 đã được làm Khi đó sẽ có n1n2 cách thực hiện nhiệm vụ

Tổng quát quy tắc nhân:

Giả thiết một nhiệm vụ có m công việc phải thực hiện T , ,T1 m Nếu việc Ti có n i cách thực hiện Khi đó ta có n1  nm cách thực hiện nhiệm

14

Ví dụ:

(Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu) Cho tập S 1,2, ,n với n1 và f là một hoán vị của tập S Phần tử i của S

được gọi là một điểm cố định nếu ( )f i i Gọi P ( )n k là số hoán vị của tập S

có đúng k điểm cố định Hãy chứng minh rằng:

0

P ( ) !

n n k

1 Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0,1,2, ,n điểm cố định

bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n!, nên có đẳng thức:

0

P ( ) !

n n k

định và i là điểm tùy ý trong k điểm cố định đó (tức ( )f i i)

Thừa nhận P (0) 10 

Để lý giải quan hệ (1.11), ta hãy tính số N các cặp  f i bằng hai cách ,

Một mặt, i chạy qua điểm k cố định đã xác định, nên mỗi hoán vị trong

P ( )n k hoán vị đó có mặt trong k cặp  f i Bởi vậy , N= Pk n k Mặt khác,

nếu ( )f i i, thì trên tập gồm n1 phần tử còn lại (tức các phần tử khác i ) hoán vị có f có k1 điểm cố định, nên mỗi một trong n phần tử i có mặt

trong P (n1 k 1) cặp Do đó Nn.P (n1 k 1), nên đẳng thức (1.11) được chứng minh

Tính tổng các đẳng thức ở (1.11) theo k1,2, ,n và dựa vào đẳng thức (1.10) bằng cách thay n bằng n1 ta có:

b Hoán vị có lặp:

* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n n 1 phần tử Mỗi cách sắp xếp n

phần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt ít nhất một lần) được gọi là hoán vị lặp

Số hoàn vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại

(Đề tuyển sinh vào trường ĐH - Khối D - 2001) Từ các chữ số 0, 1, 2,

3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần

1, 2, 3, 4

Bởi vậy số khả năng lập phần đầu độ dài 10a a a1 2 3 a10 của số n bằng

số hoán vị lặp của 10 phần tử thuộc 4 loại chữ số: 1, 2, 3, 4 với 1 xuất hiện 4 lần, 2 xuất hiện 3 lần, 3 xuất hiện 2 lần và 4 xuất hiện 1 lần, sẽ bằng

!

k n

Một lớp học có 25 học sinh Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó

và một thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Mỗi các chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là một chỉnh hợp chập 3 của tập 25 phần tử

Footer Page 21 of 126.

Số các chỉnh hợp là:

3 25

b Chỉnh hợp có lặp:

* Định nghĩa: Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần

a b c d thuộc tập 1, 2, 3, 5 là số chẵn khi và chỉ khi d bằng 2

Mặt khác 1, ,b c có thể bằng nhau, nên y abc là một chỉnh hợp lặp chập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5

Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối Bởi vậy, số các số x abc 2 bằng các số y abc và bằng A43 43 64

Chẳng hạn 1112, 1122, 1132, 1152, , 5542, 5552

18

Ví dụ:

(Bài toán đếm số các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn)

Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với N n và M m Hãy xác định các

 

 

n k

20

Ví dụ:

(Lý thuyết tổ hợp và đồ thị - Ngô Đắc Tân) Tại Việt Nam hiện đang có bán 10 loại máy vi tính khác nhau mà ta gọi là loại máy 1, , loại máy 10 Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính Hỏi cơ quan có bao nhiêu sự lựa chọn khác nhau?

Giải:

Giả sử a1 là một máy vi tính thuộc loại máy 1; a2 là một máy vi tính thuộc loại máy 2, , a10 là một máy vi tính thuộc loại máy 10, và

A a a, , ,a Mỗi cách chọn 5 máy vi tính có thể coi là một tổ hợp chập

10 của 5 và tổng số các tổ hợp được tính theo công thức

1.3.7 Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp:

Ví dụ:

Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm có ba bài toán Biết rằng mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài, trong lớp có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được cả hai bài thứ hai và thứ ba, 2 em giải được hai bài thứ nhất và thứ hai, mà có một em được 10 điểm vì đã giải được cả 3 bài toán Hỏi rằng lớp học có bao nhiêu em tất cả?

Giải:

Gọi A là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ nhất

B là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ 2

C là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ 3

Ta phải tính số phần tử của tập hợp A B C  Không khó khăn ta có thể thấy được công thức sau là đúng:

A             B C A B C A B B C C A A B CTheo công thức trên, số học sinh trong lớp sẽ là:

22

Chứng minh:

Định lý này có thể được chứng minh bằng hai cách:

Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp theo n Với n1 hiển nhiên đẳng thức đúng

Với n2 ta cũng dễ kiểm tra để thấy rằng đẳng thức đúng

Ta giả sử (1.14) đúng cho n2 tập hợp tùy ý

Cách 2: Ta xét một phần tử a   V1 V2 Vn bất kì Giả sử rằng a

thuộc vào r (1 r n) tập hợp trong số các tập hợp này

Số lần xuất hiện của a trong Công thức 1.12 trên là:

24

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

Nội dung chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh các đồng nhất thức bằng phương pháp đếm

Hệ thống kiến thức trong chương 2 này, chúng tôi viết dựa theo các tài liệu tham khảo sau:

1 Benjamin Arthur T., and Jennifer J Quinn, Proofs that really count:

the art of combinatorial proof No 27 MAA, 2003

Có bao nhiêu cách sắp xếp n học sinh vào danh sách khám sức khỏe?

Điền tên các học sinh này vào k vị trí đầu tiên có k! cách

Số học sinh còn lại có n k ! cách sắp xếp vào các vị trí còn lại

Footer Page 29 of 126.