CHƯƠNG 7 compatibility mode

- Phân tích mạch dưới tác động của tín hiệu tuần hoàn không sin : dựa trên khai triển chuỗi Fourier của tín hiệu... Ý nghĩa xếp chồng : tín hiệu tuần hoàn không sin là tổng của tín hiệu

Trang 1

CHƯƠNG 7

PHÂN TÍCH MẠCH TRONG

MIỀN TẦN SỐ

Trang 3

7.1 TÍN HIỆU TUẦN HOÀN

KHÔNG SIN

Trang 4

7.1 Tín hiệu tuần hoàn không sin

f(t) T

t 0

f(t) T

t 0

- Tín hiệu tuần hoàn : f(t) = f(t + nT)

- Chia thành 2 loại : tuần hoàn sin (điều hòa)

và tín hiệu tuần hoàn không sin.

- Phân tích mạch dưới tác động của tín hiệu tuần hoàn không sin : dựa trên khai triển chuỗi Fourier của tín hiệu.

Trang 5

7.2 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI

FOURIER

Trang 6

7 2 2 1 1 Chuỗi Chuỗi Fourier Fourier dạng dạng lượng lượng giác giác

7.2.2 Tính đx và các hskhai triển chuỗi F 7.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ (dạng phức) 7.2.4 Phổ tần số

7.2.5 Truyền t.hiệu t.hoàn qua mạch t.tính 7.2.6 Công suất ở mạch không sin

7.2.7 Các đặc trưng của t.hiệu tuần hoàn

Trang 7

7.2.1 Chuỗi Fourier dạng lượng giác:

- Chuỗi Fourier dạng lượng giác của tín

hiệu tuần hoàn không sin f(t) thoả điều kiện

Dirichlet (đơn điệu và bị chặc trên một chu

kỳ) có dạng:

 a cos n ω t b sin n ω t  (7.1) a

f(t)

1

n

0n

Trang 8

- Các hệ số khai triển Fourier:

t0

0

f(t)dt T

1 a

t

0n

0

dt t

ω n

f(t).cos T

2 a

t

0n

0

dt t

ω n

f(t).sin T

2 b

Trang 9

+ Tín hiệu có chu kỳ 2 (rad):





π20

0 f( ω t)d( ω t)

π 2

1 a





π20

0

n f( ω t).cos n ω t d( ω t)

π

1 a





π20

0

n f( ω t).sin n ω t d( ω t)

π 1 b

Trang 10

- Chuỗi Fourier và hài (harmonic): Từ phương trình (7.1), ta biến đổi :

 n ω t φ  (7.2) cos

D d

f(t)

1

n

n0

φ

-; b a

D

; a

d

n

nn

2n

2nn

Trang 11

- Ứng dụng chuỗi Fourier:

1 Ý nghĩa xếp chồng : tín hiệu tuần hoàn không sin là tổng của tín hiệu DC và các điều hòa, có tần số là bội số của tần số cơ bản.

2 Tín hiệu tuần hoàn không sin f(t) có thể tạo ra từ các tín hiệu: tín hiệu DC và các tín hiệu điều hòa, có tần số là bội số của tần số tín hiệu muốn tạo.

(7.3)

har

Trang 12

- Tạo tín hiệu không sin từ các hài :

Trang 13

7.2.2 Tính đối xứng của hàm và các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

0

n f(t).sin n ω t dt

T

4 b

- Hàm chẵn f(t) = f(-t) : Tín hiệu nhận trục tung làm trục đối xứng, suy ra b n = 0 và





T/20

0

n f(t).cos n ω t dt

T 4 a

Trang 14

* Lưu ý: Diện tích 2 hình bất kỳ = nhau thì

a 0 =0.

Trang 15

VD: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) như hình vẽ.

Xác định tín hiệu chuổi Fourier lượng giác

0

π

π 3

π 2 -

π

2 3 π 4 π 10

10 -

t f(t)

Trang 16

Giải: Ta có:

+ Tín hiệu có chu kỳ và tần số góc cơ bản là:

0 10dt

-10dt π

2

1 a

π2π

π0

t π

khi

10

-π

t 0

khi

10 f(t)

(rad/s) 1

ω );

rad π(

2

Trang 17

0 t

10cos(nt)d -

t

10cos(nt)d π

1 a

π2π

π0

cos -

(1 π

n

20

t 10sin(nt)d -

t

10sin(nt)d π

1 b

π2π

π0n

0

bn

Khi : n chẵn Khi : n lẻ

Trang 18

Vậy chuổi Fourier lượng giác của tín hiệu là:

 2n - 1 t 

sin π

1) - (2n

40 f(t)

Trang 19

0

2

π 2

π -

10

10 -

t

f(t)

2

π 3

2

π 5

2

π 7 2

π

7 -

2

π

3 - 2

π 5 -

Trang 20

Giải: Ta có:

0 10dt

-10dt π

2

1 a

2π/

3

2π/

π khi

10

-2

π

t 2

π - khi

10 f(t)

(rad/s) 1

ω );

rad π(

2

Trang 21

   

2

π

n sin

π n

40

dt nt

10cos -

dt nt

10cos π

1 a

2π/

n

0

an

Lưu ý: a n , b n là biên độ của các thành phần cosin và sin

Trang 22

  nt dt - 10sin   nt dt 0

10sin π

1 b

2π/

3

2π/

1) - (2n

40 f(t)

Trang 23

0 2

π 2

π -

20

t f(t)

2

π 3

2

π 5

2

π 7 2

π

7 -

2

π

3 - 2

π 5 -

Trang 24

20dt π

2

1 a

2π/

π khi

0

2

π

t 2

π - khi

20 f(t)

  nt dt 0

20sin π

1 b

;

2π/

Trang 25

40 dt

nt

20cos π

1 a

2π/

n

-Vậy chuổi Fourier lượng giác của tín hiệu là:

 2n - 1 t 

cos π

1) -

(2n

40 10

0

an

Trang 26

0 π

π 3

- - 2 π - π 2 π 3 π 4 π

20

t f(t)

Trang 27

1 a

π0

t π

khi

0

π

t 0

khi

20 f(t)

(rad/s) 1

ω );

rad π(

2

0 t

20cos(nt)d π

1 a

π0

n   

Trang 28

Vậy chuổi Fourier lượng giác của tín hiệu là:

n) π

cos -

(1 π

n

20 t

20sin(nt)d π

1 b

0

bn

 2n - 1 t 

sin π

1) - (2n

40 10

Trang 29

f(t)

π

π -

Trang 30

1 a

π0

0

π-

khi

π

t

π

t 0

khi

t

f(t)

-(rad/s) 1

ω );

rad π(

0

π-

n t π cos(nt)dt tcos(nt).d t

π 1 a

Trang 31

π) cosn 1

( π n

1 t

tsin(nt).d sin(nt)dt

π

t π

1 b

π 0

0

π -

2 -

t 1 - 2n

cos π

1) - (2n

4 f(t)

1

n 1

Trang 32

- Tính đối xứng của hàm: Hàm đối xứng nửa sóng: f(t) = - f(t  T/2 ):

0

n f(t).cos n ω t dt

T

4 a





T/20

0

n f(t).sin n ω t dt

T 4 b

Trang 33

Trang 34

- Nếu hàm không đối xứng : dời trục

+ Dời tín hiệu theo trục tung : thay đổi Thành phần DC của tín hiệu

Trang 35

0 π

π 3

- - 2 π - π 2 π 3 π 4 π

20

t f(t)

Trang 36

π 2 -

π

2 3 π 4 π 10

10 -

t g(t)

Trang 37

 

 2n - 1 t 

sin π

1) - (2n

40 g(t)

1) - (2n

40 10

Trang 38

+ Dời tín hiệu theo trục hoành : thay đổi góc pha của các hài.

t g

Trang 39

0

2

π 2

π -

10

10 -

t

f(t)

2

π 3

2

π 5

2

π 7 2

π

7 -

2

π

3 - 2

π 5 -

Trang 40

Giải: Ta có:

+ Dời tín hiệu theo trục hoành:

0

π π

3

π 2 -

π

10

10 -

t

π

t g

Trang 41

 

 2n - 1 t 

sin π

1) - (2n

40 g(t)

2n

-sin π

1) - (2n

40 f(t)

1) - (2n

40 f(t)

Trang 42

0 2

π -

100

0 1

2

π 7 2

π

2

π 3

2

π 5 2

π 3 -

Trang 43

- Nếu hàm không đối xứng:

2

f(-t) -

f(t) (t)

f0 

+ Hàm f(-t) xác định bằng đồ thị : a 0 = a 0e ;

a n = a ne ; b n = b no

Trang 44

π

π -

Hình 1

Trang 45

f(t)

π

π -

Trang 46

f(-t)

f(t) 

π

π -

f(t)

π

π -

π

t

Trang 47

/2 π -

π -

π

t

Trang 48

2

f(-t) -

f(t) (t)

f0 

+ a 0 = a 0e ; a n = a ne ; b n = b no

+ Xét hàm f e (t):

Trang 49

/2 π -

π

t -

0

t π

2

-π

t (t)

fe

cos(nt)dt 2

π

t

cos(nt)dt 2

π

t π

1 a

π0

0

π-

Trang 50

π) cosn

1

-( n π

2 a

an  ne 



+ Xét hàm f 0 (t): f0 (t)

/2 π

/2 π -

π -

0

t π

2

-π (t)

f0

sin(nt)dt 2

π sin(nt)dt

2

π π

1 b

π0

0

π-

Trang 51

) 1 - π cosn

( n

1 b

2 -

t 1 - 2n

cos π

1) - (2n

4 f(t)

1

n 1

Trang 52

- Một số ví dụ chuỗi Fourier:

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Trang 56

7.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ (dạng phức) :

- Nếu sử dụng các công thức biến đổi Euler vào phương trình (7.1), ta nhận được chuỗi Fourier dạng số mũ (dạng số phức) như sau:

(7.4)

e

t

tωjn-n

1 C

00

Tt

t

T

1 C

Trang 57

7.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ (dạng phức) :

- Quan hệ chuỗi dạng mũ và chuỗi lượng giác:

(7.5)

φ 2

D

a

b arctg

2

-b a

2

jb -

a C

nn

n

2n

2nn

nn

C 2 C

f(t)

1

n

n0

Trang 58

Xác định tín hiệu chuổi Fourier phức.

0

π

π 3

π 2 -

π

2 3 π 4 π 10

10 -

t f(t)

Trang 59

Giải: Ta có:

0 10dt

-10dt π

2

1 C

π2π

π0

t π

khi

10

-π

t 0

khi

10 f(t)

(rad/s) 1

ω );

rad π(

jnt-π

0

jnt-

n 10e dt - 10e dt

π 2 1 C

Trang 60

n (1 - cos π n) 90

π n

10

n) π

cos -

(1 π

0

Cn

 (2n - 1)t 90 

cos π

1) - (2n

40 f(t)

Trang 61

7.2.4 Phổ tần số:

- Phổ tần số của tín hiệu bao gồm đồ thị biểu diễn độ lớn biên độ (phổ biên độ) và đồ thị biểu diễn độ lớn góc pha (phổ pha) các hài theo tần số.

- Độ lớn biên độ hay pha được minh họa bằng các đoạn thẳng : gọi là phổ vạch Phổ tần số của tín hiệu tuần hoàn là rời rạc.

Trang 62

7.2.4 Phổ tần số:

+ Phổ biên độ:

Trang 63

7.2.4 Phổ tần số:

+ Phổ pha:

Trang 64

7.2.4 Phổ tần số:

- Xác định và vẽ phổ tần số :

(7.7)

φ 2

Trang 65

7.2.4 Phổ tần số:

+ Phổ biên độ: đối xứng qua trục tung

n

D

Trang 66

7.2.4 Phổ tần số:

+ Phổ pha: đối xứng qua gốc toạ độ

φn

Trang 67

Xác định phổ biên độ và phổ pha của f(t).

0

π

π 3

π 2 -

π

2 3 π 4 π 10

10 -

t f(t)

Trang 68

Giải: Ta có chuổi Fourier phức của tín hiệu là:

+ Phổ biên độ là:

 (2n - 1)t 90 

cos π

1) - (2n

40 f(t)

-π 40

n

C

π 3

40

π 5

40

π 7 40 π

40

π 3

40 π

Trang 69

+ Phổ pha:

3

- - 1 5

7

n

φ 2

π

2 π -

Trang 70

e

C )

t -

f(t

-n

)t-(tωjnn

0

0 0

t -

f(t

-n

tωjnt

ωjn-n0

0 0

Trang 71

7.2.5 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính:

x(t)

- Giả sử ta có tín hiệu x(t) là 1 tín hiệu tuần hoàn và y(t) là đáp ứng ngỏ ra sau khi x(t) truyền qua mạch tuyến tính cụ thể được thể hiện qua sơ đồ như sau:

Trang 72

- Ta áp dụng nguyên lý xếp chồng trong miền tần số:

+ Tìm chuỗi Fourier của x(t).

 n ω t φ  cos

D d

x(t)

1

n

n0

Trang 73

+ khi đó đáp ứng có dạng :

 n ω t ψ  cos

Y Y

y(t)

1

n

n0

Trang 74

K(jn) )

Y0 +Yncos(n0t + n)

Trang 75

VD: Cho mạch điện như hình vẽ.

Xác định i(t) và u C (t) Biết : tần số f = 50Hz;

10  0,2H

0,002F

i(t)



(V)

) 60

t ω sin(3 120

- ) 30 -

t ω sin(

190 200

Trang 76

Giải: Ta áp dụng nguyên lý xếp chồng:

+ TP DC: E =200V;

200V U

190

2

1 j

-ZC

A 91,48

-9,1 Z

Z R

E I

CL

Trang 77

A ) 91,48 -

t ω sin(

9,1 (t)



+ TP hài thứ 3: tương tự:

V 178,5

14,5

E Z

Z R

Z

CL

t ω sin(

14,5 (t)



A ) 16,97 -

t ω sin(3 0,63

(t)



V ) 63,05

t ω sin(3 0,34

6 120

-E  3   0



 - j 0,53 Z

; C

Trang 78

Vậy kết quả là:

A ) 16,97 -

t ω sin(3 0,63

) 91,48 -

t ω sin(

9,1

V ) 63,05

t ω sin(3 0,34

) 178,5

t ω sin(

14,5 200

Trang 79

7.2.6 Công suất ở mạch không sin:

- Cho một nhánh có áp, dòng là tín hiệu không sin :

- Trị hiệu dụng (RMS value):

 n ω t φ  (7.10) cos

U U

u(t)

1

n

un0

I I

i(t)

1m

im0

2

U U

U

1

n

2n

2DC

Trang 80

1 Công suất tác dụng P(W): P=P DC +(P hài )

2 Công suất phản kháng Q(VAr)= (Q hài ) :

 φ - φ  (7.14) cos

I

U 2

1 I

nnDC

I

U 2

1 Q

1

n

inun

nn

t

u(t).i(t)d T

1 P

T0





Trang 81

3 Công suất biểu kiến S(VA):

4 Công suất méo dạng T(VA): có một số hài chỉ tồn tại ở u(t) hay i(t), mà khi thay đổi biên độ của chúng, S thay đổi nhưng P và

Q không đổi Người ta đưa ra khái niệm công suất méo dạng:

(7.17)

Q

P - S

Trang 82

VD: Cho mạch điện như hình vẽ.

a/ Tính : i(t); i 1 (t); i 2 (t) và u C (t).

b/ Tính trị hiệu dụng của e(t) và i(t)

c/ Tính P; Q; S; T của nguồn Biết: f = 50Hz;

(V)

) 60

t ω sin(3 120

- ) 30 -

t ω sin(

190 220

10  0,2H

F 500 1

i(t)



10 



 (t)

i2(t)

i1

Trang 83

Giải: a/Ta áp dụng nguyên lý xếp chồng:

+ TP DC: E =220V;

0V 11

U 0A;

I 11A;

190

-E  1   0



 - j 1,6 Z

; C

A ,5

110 -

3,1 I

 

A ) 110,5 -

t ω sin(

3,1



A 168,6

0,48 I

; 1   0

A ) 168,6

t ω sin(

0,48 (t)



A 101,4

3,02



Trang 84

A ) 101,4 -

t ω sin(

3,02 (t)

i2 



V 168,6

4,8

 

V ) 168,6

t ω sin(

4,8 (t)

6 120

-E  3   0



 - j 0,53 Z

; C

A ) 153,1

t ω sin(3 0,64



A ) 66,1

t ω sin(3 0,034

(t)



A ) 156,1

t ω sin(3 0,63

(t)



V ) 63,1

t ω sin(3 0,34

(t)



Trang 85

Vậy kết quả là:

A ) 153,1

t ω sin(3 0,64

) 110,5 -

t ω sin(

3,1 11

V ) 63,1

t ω sin(3 0,34

) 168,6

t ω sin(

4,8 110

(t)

A ) 66,1

t ω sin(3 0,034

) 168,6

t ω sin(

0,48 11

(t)

A ) 156,1

t ω sin(3 0,63

) 101,4 -

t ω sin(

3,02 (t)

b/ ta có:

 190 120  271 V 2

1 20

2

 3, 1 0,64  11,2 A 2

1 11

IRMS  2  2  2 

Trang 86

c/ ta có:



 60 180 153 , 1   2500 W cos

64 , 0 120

5 , 110 30

cos 1

-, 3 90

1 2

1 220.11

P

0 0

0

0 0

64 , 0 120

5 , 110 30

sin 1 , 3 90

-1 2

1 Q

0 0

0

0 0

271.11,2 I

E

S  RMS RMS  

VA 1692

311 -

2500 -

035 3

Q - P - S

Trang 87

7.2.7 Các đặc trưng của tín hiệu tuần hoàn:

- Hệ số công suất cos: (7.18)

S

P φ

F

k  nRMS

Trang 88

7.2.7 Các đặc trưng của tín hiệu tuần hoàn:

- Hệ số dạng k f :

(7.21)

F

value -

Average

value -

RMS k

F

value -

RMS

f(t)

Max k

RMSMax

Trang 89

7.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN

ĐỔI FOURIER

Trang 90

7.3.1 Biến đổi Fourier và ảnh Fourier.

- Biến đổi Fourier cho tín hiệu không tuần hoàn f(t): là một công cụ toán có phạm vi áp dụng rất lớn trong các bài toán kỹ thuật , nó được định nghĩa là một cặp biến đổi thuận – ngược như sau :

(7.23)

dt

f(t).e )

ω

F(

-tωj-

ω d ).e

ω

F(

π 2

1 f(t)

-tωj

Trang 91

- Để có biến đổi Fourier, tín hiệu f(t) cũng phải thỏa mãn điều kiện Dirichlets (đơn điệu

Trang 92

Trang 93

Trang 94

Trang 95

7.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier.

- Với F() = P() + jQ() thì : P() là hàm chẵn theo tần số  và Q() là hàm lẻ theo tần số .

(7.25)

) ω ( bF )

ω ( aF (t)

bf (t)

- Tuyến tính (Linearity) :

- Nén tín hiệu (Time scaling):

(7.26)

) a

ω F(

a 1 f(at) 

Trang 96

- Trễ tín hiệu (Time shifting):

- Đạo hàm trong miền thời gian:

- Điều chế (Modulation):

(7.27)

).e

ω F(

) t -

f(t - jωt0

0 

(7.28)

)

ω - ω F(

f(t).ejω0 t 0



(7.29)

)

ω )F(

ω

(j dt

) (

df



t

Trang 97

- Tích phân trong miền thời gian (Integration

in the time domain):

(7.30)

) ω ( δ F(0).

π )

ω

F(

ω j

1 τ

)d τ f(

t-

) ω ( ).F ω

( F

τ )d τ - (t )f

τ ( f (t)

(t).f f

21

-21

21



 



Trang 98

- Định lý Parseval (Parseval’s Theorem): Cho ta một sự liên hệ giữa năng lượng ở miền thời gian và năng lượng trong miền tần số.

(7.32)

ω d )

ω

f(

π 2

1 (t)dt

f

-2-

Trang 99

7.3.3 Biến đổi Fourier các hàm thông dụng:

ω j α

1



) ω (

πδ ω

j 1



Trang 100

7.3.3 Biến đổi Fourier các hàm thông dụng:

0

0 0

0

ω - ω

ω )

ω ω

( δ - ) ω - ω (

δ 2

π j

0

0 0

ω - ω

ω

j )

ω ω

( δ )

ω - ω (

δ 2

2 2

ω α

α 2



tα-

e

Trang 101

7.3.4 Áp dụng biến đổi Fourier.

Trang 102

7.3.4 Áp dụng biến đổi Fourier.

- Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính:

+ Xác định biến đổi Fourier của tác động x(t) và hàm truyền theo tần số K(j) của mạch Sau đó xác định :

Y() = K(j).X() + Biến đổi ngược Y() tìm y(t).

- Lưu ý: không có khái niệm điều kiện đầu như Ch6!

Trang 103

VD: Cho mạch điện như hình sau:

Tìm đáp ứng quá độ u(t) khi e(t) = 5e

Trang 104

ω j

) ω (

E  10 U  ( ω )

ω j 10

10 )

ω ( E

) ω (

U )

5 )

ω (

E







Trang 105

1 ω

j 2

1 8

50

) ω ( E ).

ω K(j )

ω (

Trang 106

VD: Cho mạch điện như hình sau:

Tìm đáp ứng xác lập u(t) khi e(t) = 10cos(2t) V

Trang 107

Giải: Ta có:

- Hàm truyền mạch ở miền tần số :

4 - 4 ω j - ω 3

ω )

ω ( E

) ω (

U )

) ω (

2

1

ω j 2

Trang 108

 

4 - 4 ω j - ω 3

2) δ(ω

πω

10 )

ω (

- Suy ra:

- Tìm hàm u(t):

ω

d )e

ω (

U π

2

1 u(t)

-tωj





Trang 109

- Lưu ý: δ(ω ω ) e d ω ejω t

-tωj0

2j2t

2

4 - 4 j(-2).

3.(-2)

-5.(-2) 4

4 j2.

3.2

-5.2



j2t-j2t

j) 8(1

20 j)

8(1

ω δ(ω

).

(ω f

) ω δ(ω

) (ω

Và:

Trang 110

) 45 3,53cos(2t

sin2t) -

(cos2t 2

5



) 45 3,53cos(2t





jsin2t) j)(cos2t

(1

jsin2t) j)(cos2t

(1 4

5 u(t)

Định dạng
Số trang	137
Dung lượng	921,48 KB