MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần... TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:... TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:.
Trang 12 3
2 f(x) = 2
4
3 2
) 1 (
x
x
ĐS F(x) = C
x x
x 2 1 3
3
x x
x ĐS F(x) = x x x C
5
4 4
3 3
5 3 4 2 3
6 f(x) =
3
2 1
9 f(x) =
2 sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2 2
cos sin
2 cos
3 ln
2
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x 1 C
3 1
3
x
Trang 23 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
2
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số
Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)dtu' (x)dx
I = f[u(x)].u' (x)dxf(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ( 5x 1 )dx 2 5
) 2 3
28 2 1
x x dx
29 cos3 xsin2 xdx 30 x x 1 dx 31 x 1
e
dx
32 x3 x2 1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v' (x)dxu(x).v(x) v(x).u' (x)dx
Hay
udvuvvdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5 ) sinxdx 4(x2 2x 3 ) cosxdx
5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx
9 x ln xdx 10 2 x dx
ln 11 lnxdx x 12 e x dx
Trang 3x 1 dx( ).
x dxx
cos sin
tgx dxx
.cos
dx4x 8x
( x x dx 25 2
0
3
) 3
2 2
( x x dx
Trang 4x x
1 1
29 2
1 3
2
2
dx x
x x
30 e
e
x dx
x
x x
x x
1 1
1
1 x dx
13
1 2 1
1 1
1 (1 3 x ) dx
Trang 51 1
e e
x dx
e
e
dx cos x
41 2
x dx x
e e
x dx
e
e
dx cos x
Trang 6x dx(2x 1)
60
1
0
x dx 2x 1
dx x
dx x
x
74 2
0 5 2 sin cos
dx x
3 2
2 2
x x
1 dx cos x
dx x x
x
Trang 7
dx x
) ln(
(
dx x
cos sin
x
x x
dx x
x x
dx x
x x
98 2
0
sin
cos ) cos (
xdx x
1
ln ln 3 1
sin 2 1
dx x
x
1
2 0
1 x dx
103
1 2 0
2 0
2 2
9 3x dx x
1
5 0
1 (1 x dx)
1 1
x dx x
x x
8
2 3
1 dx
e 2
7 3 3 0
Trang 8125
2
2 3 0
ax
ax
f x cosax dx e
0 1
dx x
bằng ph ng pháp đ i biến số ính I 2 =
1 2
2 2
0 (1 )
x dx x
ln
e
x dx x
Trang 95
3 3 1
ln
e
x dx x
ln x
dx x
1
1
ln
x 11) 2
0
2
cos
dx x
0
2
sin ).
2 (
dx x x x
x cos xdx
1 x 0
x sin xdx cos x
(x 1) e dx
e
2 1
0
2
) 1
xdx x
0
) 1 ln(
) 7 2
2
2
) ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
Trang 101 5
3
2
2 3
1 2
dx x x
x
2. b
a
dx b x a
x )( ) (
x x
x
x x
1
0 2 3
1 1
5 1
0
3 2
) 1 3
) 3 ( ) 2 (
1
dx x
x
7 2
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9 3
2
2 2 4
) 1
x
10 1
0 2
3 2
) 1
x n n
11 2
1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
1
dx x x
1 x dx x
x x
0
2
2 2
1
16 1
0
3 2
) 1
2
1
dx x x
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 2
1
4 2
1
1
dx x
x
0 3
1
1
dx x
21 1
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22. 1
0 2 4
1
2
dx x x
23 1
0
6 4
1
1
dx x
x
24
1
2 0
2 2
2
dx x x
1 3
x
x x
x
x x
1
x
x x
2 2
dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Trang 11cos sin
xdx x
3 2 x x dx
0
5 4
cos sin
4 2
0
3 3
) cos (sin
dx x
0
4 4
) cos (sin
2 cos
dx x x
0
2 2
) cos cos
sin sin
2 (
dx x x
x x
10
) sin cos cos
(sin
dx x x x
dx x
11 2
0
2 3
cos 1
sin
dx x
cos cos
sin 2 sin
x x
x x
dx
14 2
0 1 cos cos
dx x x
x
16 2
0 2 sin sin
dx x x
17 2
0
3
cos 1
cos
dx x
19 2
3
2
) cos 1 (
1 cos sin
dx x x
x x
dx tgx
cos
x x
dx
26 2
0 4 sin 5 cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
dx
Trang 1229 4
0
4 3
cos 1
sin 4
dx x
x
30 2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
31 2
0 1 cos
3 sin
dx x
x
32 2
4
sin 2 sin
cos
sin
dx x
x
34 2
0
3 2
) sin 1 ( 2 sin
dx x x
dx xtgx
x x
37 2
0 1 sin cos
x x
39 2
4
5 3
sin cos
4 sin
x xdx
sin
x x
sin
x x dx
45 3
4
6 2
cos sin
sin 4
x x
2 sin
51 2
0
1 2
2 sin
dx e
53 4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
0 2
6 sin 5 sin
2 sin
x x
dx x x
Trang 1357 2 x x dx
0
2
cos ) 1 2 (
cos sin 2
xdx x
e x
62. 4
0
) 1 ln(
dx tgx
63 4
0
2
) cos 2 (sin
x x
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
xdx x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
\ ]
; 0
Trang 14x dx
7 1
0
2 2
1 x dx
0
3 2
) 1 ( x dx
9 3
1
2 2 2
1
1
dx x
11 1
0
3 2
) 1
) 1
dx x
sin
dx x x
dx x
x x
3
0
2 3
10 x dx x
dx x
3 1
xdx x
dx e
x
x x
1
ln ln 3 1
Trang 1531 3
3 5
1
dx x
x x
32 x x x dx
4
0
2 3
) 1
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
0
2 2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36 ln2
0 ( x 1 )3
x e
dx e
x xdx
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
2 3
) (
dx x f
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a a dx x
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a a dx x
f( ) = 2a f x dx
0
) (
1
x x
dx x
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
dx e
x x x x
Trang 16Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
], thì 2
0 2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
Ví dụ: Tính 2
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
x x
Bài toán 6:
b a b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
T T
a a
dx x f dx x f
0
) ( )
T nT
dx x f n dx x f
0 0
) ( )
1
dx x
x x x x
dx x
x x
1 ln(
dx x
x
) 1 ( 1
cot
1
2 1
e
x x
dx x
3.
1
0
dx m x
sin
2 cot
dx x g x
tg
Trang 177 4
3
4
2 sin
cos
dx x x
4 2 1
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đ ờng thẳng x = 2
Vớ dụ 2 : ớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = 0 và đ ờng thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đ ờng thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía d-ới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
3
y
x o
x x y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4
2 2
1
1
3 2
a
ax a y
a
a ax x
Trang 182 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
2 : ) (
: ) (
x
y d
e y
4
2
2
y x
x y
0 2
y
y x
x y
2
2
y y x y
x y
y x y
, 1
0 ,
1
2 2
4 2
5 4
3 4
5 6
2 2
x y
x x y
x x y
x y
0
1
/
/ 1 / 2
x y
2 / /
3 2
y
x x y
5 4
2 2
2 2
y
x x y
x x y
2 2
x y
x y
x x
y
; 0 3
cos 2 sin
2 3
y
x x
y
Trang 19
Chuyờn luyện thi đại học mụn TOÁN & Lí 0973.74.93.73
6 3
2 2
2 2
x x
x x y
x x y
/ 6 5 / 2
y
x x y
/ 2 3 / 2
y
x x y
x
y
x x
x y
x x y
/ 3 4 / 2
y
x x y
6 2 2
x x
x x
x y
/ sin/
x y
x y
0 1 2 2
2
2
y
y x
x y
2 2
a
x a x y
/ 1 /
2
x
x y
/ 1 / 2
x
y x
) 1
x
x y
y x
2 1
; 0
4 y x
x y
x x
y x
x y
x y
x y
27 27
2 2
x y
4
) 4 (
2
3 2
/ log /
x x
y
x y
x y
2
) 1 ( 8 27
2
x y
x y
43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến
đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
2 2
3
y
x x x
y
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY
Cụng thức:
) ( :
) (C y f x a
y
b y
Trang 20
V f x dx
b a
2
) (
V f y dy
b a
2
) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng : y x;y 2 x;y 0
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : y (x 2) 2 và y = 4
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh:
a) rục Ox b) rục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : y 4 x y x2; 2 2
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng :
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = 2x2 và y = 2x + 4
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = y2 = 4x và y = x
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = 2 2
1
.
x e
x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = x ln( 1 x3) ; y = 0 ; x = 1
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox
Trang 21) 0 (
2
y
x y
x x
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4 9
2 2
;
1
0
x x
x
y
3 10
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
x x
