Bài tập ứng dụng tích phân có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Bài 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s y = x2– 1; y = 0; x = 0; x =2

Gi i:

G i S là di n tích c n tính, áp d ng công th c S = ( )

b

a

f x dx

2 2 0 1

x  dx



Ph ng trình: x2

-1= 0  x =  1 , nghi m x = 1 [0;2]

V y S =

1 2 0 (x 1)dx

2 2 1 (x 1)dx

1 3

0

3

x x

2 3

1

3

x x

 = 2 (đvdt)

Bài 2: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s y = 2 – x2

và y = x

Gi i:

C n a,b là nghi m c a ph ng trình: 2 – x2

= x  x2

+ x – 2 = 0  x = 1 và x = -2

G i S là di n tích c n tính, áp d ng công th c S = ( ) ( )

b

a

f x g x dx

1 2 2

2



 



V y S =

1 2 2

2



 

1 2 2

(x x 2)dx



 

1

2

2

x



  = 9

2 (đvdt)

Bài 3: Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 2

4

y  , x=3, Ox, Oy x

Gi i:

t f x( ) 4 x2 Ta th y f x( )0 trên  0; 2 và f x( )0 trên  2;3 Theo công th c (1), di n tích

S c a hình đang xét là:

3 2 0

4

23

3



Bài 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 3

4

yx  x, tr c hoành, đ ng th ng x =-3 và

đ ng th ng x= 4

Gi i:

th hàm s yx34x c t tr c hoành t i 3 đi m x = -2, x = 0, x= 2

NG D NG C A TÍCH PHÂN

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng ng d ng c a tích phân thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn

s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

( ) 0

f x  trên 3;2   0;2 và f x( )0trên 2;0   2;4

Khi đó di n tích S c a hình đang xét là:

201

4

dvdt





Cách 2: D a vào đ th hàm s :

V đ th hàm s : 3

4

yx  x

D a vào đ th ta có:

201

4

dvdt





Cách 3: th hàm s yx34x c t tr c hoành t i 3 đi m x = -2, x = 0, x= 2

Khi đó di n tích c n tìm:

201

4

dvdt







Bài 5: Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s : y = xlnx , Ox, Oy, x = e

Gi i

Tr c tung có ph ng trình x = 0

Di n tích S c n tìm là  

e e

xdx x dx x x S

1 1

ln ln

t





























2

1 ln

2 x v

dx x du xdx

dv

x u

Do đó

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2

2

1 2

1

2 2

1

















x

x e x

x xdx x S

e e

e

(đvdt)

Bài 6: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàn s 2

yx  x y x và x =-1, x= 3

Gi i:

Ta có ph ng trình hoành đ giao đi m: 2

dvdt

S  x  dx  x  dx  x  dx  

Bài 7: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 1 , y x 5

60 50 40 30 20 10

10 20 30 40

Gi i:

Ph ng trình hoành đ giao đi m: x2 1 x 5 t2 1 t 5, t x 0

2

2

t 3

B ng xét d u

x 0 1 3 2

x 1 – 0 +

S

3 (đvdt)

Bài 8: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i 3

y x , y 4x

Gi i

Ta có, ph ng trình hoành đ giao đi m: x3 4x x 2 x 0 x 2

S x 4x dx x 4x dx

V y di n tích c n tìm S 8 (đvdt)

Bài 9: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th các hàm s : 2

y x  x y x

Gi i:

Tr c h t ta v các đ th hai hàm s trên m t h tr c:

T hình v ta suy ra hoành đ giao đi m A, B

là nghi m c a ph ng trình: 2

x  x    x x x

Khi đó :

1

2 0

(( 3) ( 4 3))

S x  x  x dx

 

109

đvdt



Chú ý: các bài t p này h c sinh có th g p lúng túng khi xác đ nh các c n l y tích phân L u ý h c sinh

khi các bài toán có th v đ c đ th , không quá r c r i và khó kh n (có th v phác h a) thì vi c v hình

s giúp nh n di n đ c hình c n tính m t cách d dàng

Trong tr ng h p vi c v hình khó th c hi n, ch a xác đ nh đ c d u c a bi u th c f x( )g x( )thì nên

s d ng công th c tính b ng cách kh d u giá tr tuy t đ i sau:

f x g x dx f x g x dx

kho ng tr c r i đ a d u tr tuy t đ i ra ngoài d u tích phân

Bài 10: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i hai đ ng cong y (1 e xx) và y (e 1)x

Gi i:

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th hai hàm s :

(1e xx)  (1 e x)  x 0,x1

Khi đó di n tích c n tìm:

S e x e x dx x e e dx

Khi 0<x<1 thì ta có x0, (e e x)0 nên:

2

Sx e e dx e xdx   xe dx 

V y di n tích c n tìm: S = 1

2

e  (đvdt)

Bài 11 Tính di n tích hình ph ng {y2 ,x y 3 x x, 0,x2}

Gi i

Ta có

2

0

| 2x 3 |

S  x dx

Ph ng trình 2x  x 3 0 có nghi m duy nh t x trên kho ng 1 (0; 2), do đó

S  x dx  x dx   x dx   x dx

Suy ra

S    x     x  

Bài 12 Tính di n tích hình ph ng {yln ,x y0,xe}

Gi i

Xét ph ng trình lnx   Do đó 0 x 1

1

e

S x dx xdxx x dx

Bài 13 Tính di n tích hình ph ng {y x x, 2y0}

Gi i

Xét ph ng trình 0.

4 2

x x x

x





V y

4

Tính th tích v t th tròn xoay

Bài 1 Cho hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = 2x – x2

và y = 0 Tính th tích v t th tròn xoay đ c

sinh ra b i hình ph ng đó khi nó quay quanh tr c Ox

Gi i: Ph ng trình 2x – x2

= 0  x = 0 và x = 2

G i V là th tích c n tính.Áp d ng công th c: V = 2( )

b

a

f x dx



Ta có V =

(2x x ) dx (4x 4x x dx)

5 2

0

4

x

15



(đvtt

Bài 2: Cho hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = – x2

và y = x3 Tính th tích v t th tròn xoay đ c

sinh ra b i hình ph ng đó khi nó quay quanh tr c Ox

Gi i: Ph ng trình – x2

= x3  x = 0 và x = –1

G i V1 là th tích v t th tròn xoay đ c sinh ra do hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = – x2

,

x = 0, x = –1 và tr c Ox khi hình ph ng đó quay quanh Ox:

Có V1 =

0

2 2 1 ( x ) dx







5 

G i V2 là th tích v t th tròn xoay đ c sinh ra do hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = x3

, x

= 0, x = -1 và tr c Ox…:

Có V2 =

0

3 2 1 (x ) dx



7

V y th tích V c n tính là: V = V1V2 = 2

35 (đvtt) Bài 3: Tính th tích v t th tròn xoay gi i h n b i y = xe2

x

, tr c Ox và x = 0; x = 1

Gi i:

Th tích v t th c n tìm: V =

1

2 x 0

x e dx



Xét I = 1

0

2

dx e

x x t













dx e dv

x u

x

2













x

e v

xdx

du 2

Khi đó: I = 1

0

2 x

e

1 x 0

2 xe dx = e – 2J (1)

Tính J = 1

0

dx

xex t u x x

dv e dx









v e











Khi đó: J = 1

0

x

xe - 1

0

dx

ex = e – 1

0

x

e = 1 (2)

T (1) và (2)  I = e – 2

V y V = (e – 2) (đvtt)

Bài 4: Cho hình (D) gi i h n b i các đ ng: y = sinxcos x

2 ; y = 0 và x = 0; x = 2

 Tính th tích c a v t th tròn xoay đ c t o nên khi cho (D) quay quanh tr c Ox

Gi i:

Th tích v t th c n tìm: V =

2

0

x sin cos xdx 2



2

2 0

(1 cos x) cos xdx 2



=

2

0

(cos x cos x)dx 2



2

0



0



=

3 8

(đvtt)

Bài 5: Tính th tích v t th tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i: y = x2– 4x + 6 và

y = - x2– 2x + 6 quay quanh tr c Ox

Gi i:

Hoành đ giao đi m là nghi m ph ng trình:

x2– 4x + 6 = - x2– 2x + 6 2x2– 2x = 0  









1

0 x

x

Th tích v t th c n tìm: V = 1 x  x    x  x  dx

0

2 2

2 2

) 6 2 (

) 6 4 (



= 1  x  x  x dx

0

2 3

24 36

12

0

2 3

) 24 36

12 (



=

1 0

2 3

4

) 12 12

3 (  x  x  x

Bài 6: Cho hình ph ng gi i h n b i mi n D = { y = x2 ; y = x } Tính th tích v t th tròn xoay khi D quay quanh tr c Ox

Gi i:

Xét ph ng trình: x2

= x x4 = x  









1

0 x x

Th tích v t th c n tìm: V = 1 

0

4

) ( x x dx

1

0

5 2

) 5

1 2

1

10

3 

(đvtt)

Bài 7: Cho hình ph ng (D) gi i h n b i các đ ng: y = x ; y = x ; x = 5

Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o thành khi quay hình ph ng (D) quanh tr c Ox

Gi i:

Xét ph ng trình: x = x 











2

0 x x

x

























1 0 0

x x

x









1

0 x x

Th tích c n tìm: V = 1 

0

2

) ( x x dx

1

2

) ( x x dx

=

1

0

3 2

) 3 2 ( x  x

5

1

2 3

) 2 3 ( x  x

2

59 

(đvtt)

Bài 8: G i (D) là mi n gi i h n b i các đ ng: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x2

(x > 0) và (D) n m ngoài parabol y = x2 Tính th tích v t th tròn xoay khi quay (D) quanh tr c Ox

Gi i:

Xét ph ng trình: x2

= -3x + 10  x2 + 3x – 10 = 0  











5

2 x

x





x0

x = 2

Th tích v t th c n tìm: V = 2

1

4

dx x

2

2

) 3 10

1

dx

 =

2

1

5

5 x



-

3

2

3

) 3 10 (



- 3

1

x

 =

5

56 

(đvtt