BAI TAP CO SO GIAI TICH HIEN DAI

Chứng minh rằng không gian C k 0,1 các hàm khả vi k lần không là một không gian Banach với chuẩn sup... Kết luận: Không gian C k 0,1 các hàm khả vi k lần không là một không gian B

BÀI TẬP CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI

Bài tập 1 Trong không gian Banach

Chứng minh tập hợp các hàm X f  0;1 : f 0  f 1 0 là một không gian Banach với chuẩn

   

0,1

x



+ Chứng minh X là không gian vec-tơ

  0  0,1

f x   x   f X X  

 

, 0,1 ; ,

   , ta có f g, liên tục trên  0,1 nên af bg liên tục trên  0,1

Do đó, af bgC 0,1

Mặt khác, af bg       0  af 0  bg 0 af  0 bg 0  0 af bg

Vậy X là không gian vec-tơ

+ Chứng minh X là không gian định chuẩn

Ta có C 0,1 là không gian định chuẩn với chuẩn sup  X là không gian định chuẩn với chuẩn sup

+ Chứng minh X là không gian Banach

Giả sử  f n là một dãy Cauchy trong X Ta chứng minh tồn tại limf n  f X

Vì f n là một dãy Cauchy nên

m n f f m n x f x f x

Suy ra  f n là một dãy hội tụ đều trên  0,1

Do đó tồn tại f C 0,1 : f n trên  0,1

Vậy

     

0,1

n x f x f x

 

Mặt khác,  0 lim n 0 lim0 0

Vậy f X, do đó limf n  f X

Bài tập 2 Chứng minh rằng không gian C k 0,1 các hàm khả vi k lần không là

một không gian Banach với chuẩn sup

Xét 1         

Đặt  

 

1 0, 2

0 ,1

2 2

1 1 1

2 1 ,

2 2 2

n

t

n

n









; f n liên tục trên  0,1

0

t

g t  f x dx t ; g t n  f t n 

Vậy 1 

0,1

n

Ta có

     

  1     

0,1 0

t



sup

t



1 1 1 1 1 1 1 1 ,

m n

Vậy  g n là dãy Cauchy trong 1 

0,1

0,1

n

g  g C , khi đó g n g n0

     

n



Vì g n g nên g t n g t , t  0,1 Với    

0

t g  f x dx, nếu g n 1

hội tụ suy ra f n x  hội tụ Vậy f n x  f x 

1



1





Điều này mâu thuẫn với điều kiện f là hàm liên tục và khả vi k- lần

Kết luận: Không gian C k 0,1 các hàm khả vi k lần không là một không gian Banach với chuẩn sup

Bài tập 3 Xét toán tử T L: 1 0,1 L1 0,1 xác định bởi    0t  

Tf t  f s ds với mọi f L1 0,1 và mọi t 0,1

a Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục b Tính chuẩn của toán tử T

+ Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục

Chứng minh T tuyến tính

  1

T af bg t  af bg s ds af s bg s ds af s ds bg s ds

              ;  0,1

Suy ra T af bg t   aTf bTg t ;  t  0,1

Vậy T af bgaTf bTg

Chứng minh T bị chặn

  2 1  2

1

0

0,1 :

2

Tf  Tf t dt  f s ds dt  f s ds ds dt

 2

Suy ra Tf  f Do đó, T bị chặn bởi c1

Kết luận: T tuyến tính liên tục

Tính chuẩn của toán tử T

Do T bị chặn ta có 2  

1 *

T



Đặt f t o   1 t  0,1 ; f oL1 0,1

 

 

1

0,,1

1

0 1

f



Bài tập 4 Với mọi TL X Y ,  luôn tồn tại *  * *

,

T L Y X và T*  T

+ T* tuyến tính

*

T af bg x af bg Tx  af Tx  bg Tx af Tx bg Tx

a T f x b T g x aT f bT g x

T af bg aT f bT g

+ T bị chặn

 f T  T f

Vậy T* bị chặn bởi C T

Từ chứng minh T* bị chặn ta có *  

*

Chọn f o là phiếm hàm giá của *  

T f Y f  f Tx  Tx

**

Từ    *  **  có T*  T

Bài tập 5 Cho R và L là toán tử dời chỗ bên phải và nâng bên trái trong không gian l2 Chứng minh rằng R*L

 2 2   1 2 

:

n n n n 0; ; ; ; n;



:

m n m n ; ; ; n;





2

1

:

n





2, f 1; ; n;

1 1 2 2 1

n





Ta có Lf x,  a a2; ; ;3 a n; , x x2; ; ;3 x n;  a x2 1a x3 2  a n1x n 

Suy ra Lf x,  f R, x

Kết luận : R*L

Bài tập 6 Với  2

0,1

kC xét công thức    1    

0 ,

Tf t  k t s f s ds với mọi

 0,1

f C và với mọi t 0,1

a Chứng minh Tf C 0,1 với mọi f C 0,1

b Chứng minh rằng T tuyến tính bị chặn Tìm T khi k t s , 1 với mọi

   2

t s 

Chứng minh Tf C 0,1 với mọi f C 0,1

Chứng minh Tf là ánh xạ liên tục trên  0,1

Vì k liên tục trên    0,1  0,1 nên k bị chặn trên    0,1  0,1

Do đó  M 0 sao cho k t s , M với mọi  t s ,

Vì k liên tục trên tập Compac    0,1  0,1 nên k liên tục đều trên    0,1  0,1

Ta có     0,    ,t1  t2  k t s   1, k t s2,  Do đó

      1     1    

Tf t  Tf t   k t s f s ds k t s f s ds

      1      

1

0 f ds  f

  với mọi giá trị t t1, 2 0,1 Vậy Tf liên tục đều trên  0,1 hay Tf C 0,1

Chứng minh T tuyến tính và bị chặn

T tuyến tính

  , , ; , 0,1

   1     1        

T af bg t  k t s af bg s ds k t s af s bg s ds

0k t s af s ds, 0k t s bg s ds, a k t s f s ds b k t s g s ds0 , 0 ,

           

Vậy T af bgaTf bTg

T bị chặn

0,1

t



   

     

     

   

k t s ds f s ds

1

0

  , với

  1  

0 0,1

t



M f

Vậy T bị chặn và T M

Đặt f t o 1 Với mọi t 0,1 ta có  

   

0,1

t



1

f



   

     

Vậy T M

Bài 7 Chứng rằng trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì hội tụ và hội tụ

yếu là tương đương nhau

Giả sử x hội tụ yếu về x Ta có j     *

j

f x  f x  f X

Mỗi giá xX có biểu diễn duy nhất

1

;

n

i i i i



Xét ánh xạ f i :X 

x i  f x i  là phép chiếu tọa độ thức i

Ta có phép chiếu là ánh xạ tuyến tính liên tục nên *

i

f X Suy ra

    1

i i i

f x  f x  i n với

1

n

j ji i i



   

1

0

n

i j i i



Vậy: Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì hội tụ và hội tụ yếu là tương đương nhau

Bài tập 8 Giả sử X là không gian định chuẩn Chứng minh X hữu hạn chiều khi

và chỉ khi *

X hữu hạn chiều

X hữu hạn chiều thì X* hữu hạn chiều

Giả sử dim X n, l l1, , ,2 l là cơ sở của n X, với mọi

1

n

i i i



Đặt f x i i i1, ,n Khi đó f i là tuyến tính

Ta được   *

1, , n

f f  X (Do mọi phiếm hàm tuyến tính trên không gian hữu hạn

chiều trên X ) và độc lập tuyến tính

Với mọi f X*, đặt f e i i i1, ,n, ta có  

1

i i i



 Do đó f1, , f n

là cơ sở của *

X Suy ra dim X*n

*

X hữu hạn chiều thì X hữu hạn chiều

Giả sử dim X* n, bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta được dim X n

Do X  X nên dim X   n

Kết luận: X là không gian định chuẩn, X hữu hạn chiều khi và chỉ khi X* hữu hạn chiều

Bài tập 9 Giả sử H là không gian Hilbert và    x n , y n H Chứng minh

a x nw x khi và chỉ khi với mỗi aH x a, n,  x a,

b Nếu x nw x và y ny thì x y n, n  x y,

c Nếu x nwx và x n  x thì x n x

Câu a

Ta thấy f H khi và chỉ khi tồn tại aH sao cho f x  x a, Do đó x nwx

khi và chỉ khi  a H thì x x n,  x a,

Câu b

Ta có: x y n, n  x y,

 x y n, n  x y n,  x y n,  x y,  x y n, n  x y n,  x y n,  x y,

 x y n, ny  x nx y, n

 x n y n y x nx y,

sup n n n ,

n

Ta thấy + x n  w x x n  x w 0 Suy ra x n x y,  0,y 0

+ y n  y y n y 0

Suy ra x y n, n  x y, 0 hay x y n, n  x y,

Câu c

x x  x x x  x x  x x  x x  x 

lim n n ;lim , n lim n, n

n x x n x x n x x x

Suy ra x n x 0 hay x n x

Bài tập 10 Giả sử  n là một dãy số và T l: 2 l2 được xác định bởi Txn n x 

với mọi x x n l2

a Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ

a Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ bị chặn

a Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ compắc

Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ

sup n

n

   thì n n x l2 ; sup n

n

   ta chứng minh n n x l2

Giả sử mọi  x n l2 mà n n x l2 Khi đó, nếu tồn tại sup n

n

   thì tồn tại dãy

tăng  x k sao cho nk k, k Ta chọn

1 :

k n

k

k n n k

x



 



khi đó x x n l2 Suy ra Txn n x l2

Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ bị chặn

1

1 1

nk nk nk n n

n

k



     Điều này mâu thuẫn với điều kiện

n n x l2

Do  n n 2 sup n

n

      Giả sử x x n ,y y n l2 và xy

Ta có: x y x n  y nn n x n y nn n x   n y nTxTy với mọi giá trị n

Tìm điều kiện của  n để T là một ánh xạ compắc

:

T l l compắc limn 0

+ limn  0 T compắc

Đặt T l n: 2 l2 khi đó T x n    1 1x, 2 2x , ,n n x ,0,0,0, 

Ta có n sup k k 0

k n



   hay TT n Suy ra Tcompắc

+ Tcompắclimn 0

 e là cơ sở trực chuẩn chính tắc của n l2 Ta có limT e n limn n e 0

Kết luận: T l: 2 l2 compắc limn 0

Bài tập 11 Giả sử H là không gian Hilbert Chứng minh họ các toán tử tự liên hợp trên H là một không gian con đóng của L H H  , 

Giả sử AL H  là một toán tử compắc tự liên hợp trên H và  0 không là giá trị riêng Khi đó Y R A  R A I gọi là họ các toán tử tự liên hợp trên L H H  , 

Ta chứng minh tồn tại r0 sao cho A x r x , x H 1 

Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n tồn tạix nH x, n 1 sao cho

 

1 2

n n

n



A compắc và  x n n bị chặn nên tồn tại dãy con

k

n o

Ax x Khi đó

     và x n k    x o 0

Từ  2 , Ax n k x n k  0 Ax o x o Như vậy  không là giá trị riêng, mâu thuẫn với giả thiết

Chọn y nY y, n y o, khi đó sẽ tồn tại x nH sao cho y n  Ax nx n Do điều kiện

 1 ta có x n x m 1 A x n A x m 1 y n y m n m, 0



Vậy  x n n là dãy cơ bản trong H hội tụ về x oH Cho n  trong y n Ax nx n

ta được y n AI x nY

Kết luận: Họ các toán tử tự liên hợp trên H là một không gian con đóng của L H H , 

_Hết