VECTO TÍCH của một VECTƠ với một số (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

a Gọi O là tâm hình vuông.Theo quy tắc ba điểm ta có -r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Mà ODuuur=- OB OCuuur uuur, =- OAuuur nên ur=3OA OBuuur uuur -Suy

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Tích của vectơ ar với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là kar, cùng

hướng với cùng hướng với ar nếu k >0, ngược hướng với ar nếu k <0 và có độ dài

0v) 1 , ( 1)

) khi và chỉ khi có số k thỏa b kar= r

 Điều kiện cần và đủ để A B C, , thẳng hàng là có số k sao cho AB kACuuur= uuur

4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Cho ar không cùng phương br Với mọi vectơ xr luôn được biểu diễn xr=mar+nbr với,

m n là các số thực duy nhất

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số

1 Phương pháp giải.

Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ

để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức

lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm BC tính độ dài của chúng.

2ABuuur+ ACuuur=uuur uuurAN+AQ=APuuur

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì MN/ /ACÞ ANL· =MNB· =CAB· =600

Hình 1.14

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng ur=4MAuuur- 3MBuuur uuur+MC- 2MDuuuur không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Tính độ dài vectơ ur

a) Gọi O là tâm hình vuông.

Theo quy tắc ba điểm ta có

-r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Mà ODuuur=- OB OCuuur uuur, =- OAuuur nên ur=3OA OBuuur uuur

-Suy ra ur không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Lấy điểm A' trên tia OAsao cho OA'=3OA khi đó

B A'

Hình 1.15

Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng ur=MAuuur- 2MBuuur+3MCuuur- 2MDuuuur không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Tính độ dài vectơ ur

A ur =4a 2 B ur =a 2 C ur =3a 2 D. ur =2a 2

Lời giải:

Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông

Theo quy tắc ba điểm ta có

-r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Mà ODuuur=- OB OCuuur uuur, =- OAuuur nên ur=- 2OAuuur

Suy ra ur không phụ thuộc vào vị trí điểm M

M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ MAuuur uuur+MB=0r

M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ OA OBuuur uuur+ =2OMuuur(Với O là điểm tuỳ ý)

 Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác ABCÛ GAuuur+GBuur+GCuuur=Our

G là trọng tâm của tam giác ABCÛ OAuuur+OBuuur+OCuuur=OGuuur(Với O là điểm tuỳ ý)

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung

điểm của IJ Khẳng định nào sau đây đúng?

b)

A OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=IJur B OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=2uuurOI

C OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=0r D OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=2OJuuur

c) với M là điểm bất kì

A MAuuur uuur uuur uuuur+MB+MC+MD=3MOuuuur B MAuuur uuur uuur uuuur+MB+MC+MD=2MOuuuur

C MA MB MC MDuuur uuur uuur uuuur uuuur+ + + =MO D MAuuur uuur uuur uuuur+MB+MC+MD=4MOuuuur

Lời giải:

(Hình 1.16)

a) Theo quy tắc ba điểm ta có

AC=AI+ =IJ AI+ +IJ JC

uuur uur ur uur ur uur

Tương tự BDuuur uur ur uur=BI+ +IJ JD

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AIuur uur r uur uur+BI=0, JC+JD=0r

Vậy ACuuur uuur+BD=(AIuur uur+BI) (+ JCuur uur+JD)+2IJur=2IJur đpcm

b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA OBuuur uuur+ =2OI OCuur uuur uuur, +OD=2OJuur

Mặt khác O là trung điểm IJ nên OIuur uur+OJ=0r

Suy ra OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=2(OIuur uur+OJ)=0r đpcm

c) Theo câu b ta có OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=0r do đó với mọi điểm M thì

O

J

I A

B

Hình 1.16 14

uuur uuur uuur uuur r

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

4

Û uuur uuur uuur uuuur+ + + = uuuur đpcm

Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm G Gọi 1 1 1 G G G lần lượt 1, 2, 3

là trọng tâm tam giác BCA ABC ACB Chứng minh rằng 1, 1, 1 GGuuuur uuuur uuuur r1+GG2+GG3=0

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác 1 BCA nên 1 3GGuuuur uur uuur uuur1=GB GC+ +GA1

Tương tự G G lần lượt là trọng tâm tam giác 2, 3 ABC ACB suy ra1, 1

3GGuuuur uuur uur uuur=GA GB GC+ + và 3GGuuuur uuur uuur uuur3=GA GC+ +GB1

Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có

GGuuuur uuuur uuuur+GG +GG = GA GB GCuuur uur uuur+ + + GAuuur uuur uuur+GB +GC

Mặt khác hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm G nên 1 1 1

0

GA GB GCuuur uur uuur r+ + = và GAuuur uuur uuur1+GB1+GC1

Suy ra GGuuuur uuuur uuuur r1+GG2+GG3=0

uuur uuur uuur uuur

D HAuuur uuur uuur+HB+HC=3HOuuurb)

C OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = D OA OB OCuuur uuur uuur uuuur+ + =2OH

c)

A GHuuur+2GOuuur=OAuuur B GHuuur+2GOuuur=0r

C GHuuur+2GOuuur=ABuuur D.GHuuur+2GOuuur=ACuuur

Lời giải:

Hình 1.17)

a) Dễ thấy HAuuur uuur uuur+HB+HC=2HOuuur nếu tam

giác ABC vuông

Nếu tam giácABC không vuông gọi D là

điểm đối xứng của A qua O khi đó

/ /

BH DC(vì cùng vuông góc với AC)

/ /

BD CH(vì cùng vuông góc với AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB HCuuur uuur+ =HDuuur

(1)

Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HAuuur uuur+HD=2HOuuur (2)

Từ (1) và (2) suy ra HAuuur uuur uuur+HB+HC=2HOuuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Û uuur uuur uuur uuur+ + = đpcm

H O

A

D

Hình 1.17

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur

Mặt khác theo câu b) ta có OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =

Suy ra OHuuur=3OGuuurÛ (OGuuur uuur+GH)- 3OGuuur= Û0r GHuuur+2GOuuur r=0

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB=c BC, =a CA, = và có trọng tâm G Gọi , ,b D E F

lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC CA AB , ,

Chứng minh rằng a GD2.uuur+b GE2.uur+c GF2.uur=0r

Vậy (*)Û GNuuur uur uuur r+GP+GQ=0

Ta có AC=GP=b PR, =BC= và ·a ACB=GPR· (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)Suy ra DACB= DGPR c g c( )

R G

Hình 1.18

I A

Hình 1.19

0

GNuuur uur uuur uuur uuur r+GP+GQ=GR GQ+ =

Vậy a GD2.uuur+b GE2.uur+c GF2.uur=0r

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c BC, =a CA, = Gọi I là tâm đường btròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng aIAuur+bIBuur+cICuur=0r

uur uur uur uur

uur uur uur

Do I là chân đường phân giác nên ta có :

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’

Ta có ICuur=IAuuur uur'+IB' (*)

Theo định lý Talet và tính chất đường

phân giác trong ta có :

Tương tự : IA' a IA (2)

c

uuur uur

A AM BN CPuuuur uuur uur+ + =ABuuur B AM BN CPuuuur uuur uur+ + =ACuuur

C AM BN CPuuuur uuur uur+ + =BCuuur D AMuuuur uuur uur+BN+CP=0r

b) với O là điểm bất kỳ

A OA OB OC OM ONuuur uuur uuur uuur uuur+ + = + B OA OB OCuuur uuur uuur uuur uuur+ + =ON+OP

C OA OB OCuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + =OM+ON+OP D OA OB OCuuur uuur uuur uuur uuur+ + =OM+OP

= uuur uuur+ + uuur uuur+ + uuur uur+ =rb)

OMuuur uuur uuur+ON+OP=

2 OB OCuuur uuur+ +2 OCuuur uuur+OA +2 OA OBuuur uuur+ =OA OB OCuuur uuur uuur+ +

Bài 1.29: Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam

giác Chọn khẳng định đúng?

N M P

A

Hình 1.49

CHuuur=- uuurAB- ACuuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

b) với M là trung điểm của BC

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC Chọn khẳng định đúng?

Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB C D' ' ' có chung đỉnh A Chọn khẳng định đúng?

A 'B B CCuuur uuur uuuur+ '+D D' =uuurAB' B 'B B CCuuur uuur uuuur+ '+D D' =ACuuuur'

C 'B B CCuuur uuur uuuur+ '+D D' =0r D 'B B CCuuur uuur uuuur+ '+D D' =ADuuuur'

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O M là điểm tùy ý trong tam giác Hạ MD, ME,

MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB Chọn khẳng định đúng?

2

MD+ME+MF= MO

uuuur uuur uuur uuuur

B MDuuuur uuur uuur+ME+MF=2MOuuuur

2

MD+ME+MF= MO

uuuur uuur uuur uuuur

D MDuuuur uuur uuur+ME+MF=3MOuuuur

Lời giải:

Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh  ABC, các

đường thẳng này lần lượt cắt tại các điểm như hình vẽ Dễ

thấy ta có các tam giác đều MD D ME E MF F và các1 2, 2 2, 1 2

E F

Hình 1.50

Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Một đường thẳng D là đường thẳng bất

kỳ Gọi G là trọng tâm DABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,

B, C, G lên đường thẳng V.Chọn khẳng định đúng?

A AAuuuur uuur uuur'+BB'+CC'=GGuuur' B AAuuuur uuur uuur'+BB'+CC'=2GGuuur'

C uuuur uuur uuurAA'+BB'+CC'=3GGuuur' D ' ' ' 1 '

2

AA +BB +CC = GG

uuuur uuur uuur uuur

Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơtrên cùng phương với vectơ còn lại Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ không

Lời giải:

Bài 1.34: Giả sử n vectơ là ,a iuri =1, 2, ,n Đặt ur= + + +aur ur1 a2 aurn

Vì tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó ur

cùng phương với hai vectơ a a1, 2

ur ur nên u =r 0r

Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c BC, =a CA, = Gọi I là tâm và D, E, Fblần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC M, N,

P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:

c) (b+ -c a IM)uuur+ + -(a c b IN)uur+ + -(a b c IP)uur r=0

d) aADuuur+bBEuur+cCFuur=0r

Lời giải:

Bài 1.35: (hình 1.51)

N M P

A

I D

E F

Hình 1.51

a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp DABC ta có

Theo ví dụ 5 ta có aIAuur+bIBuur+cICuur=0r

IMuuur= IBuur uur+IC INuur= ICuur uur+IA IPuur= IAuur uur+IC

IB+IC + IA+IC + IA+IB =

uur uur uur r

(2 ) (2 ) (2 )

0

aIA bIB cIC aAD bBE cCF

uur uur uur uuur uur uur r

Bài 1.36: Cho tam giác ABC M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác Chứng minh rằng :

Bài 1.37: Cho đa giác lồi A A1 2 A ( n n ³ 3); ,1euri £ £i n là vectơ đơn vị vuông góc với

(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở bài 11)

Giả sử đúng với n= -k 1, k³ 4

Gọi er là vectơ đơn vị vuông góc với A A1 k-1 và hướng ra ngoài tam giác A A1 k-1A k

Theo giả thiết quy nạp ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài 1.38: Cho đa giác lồi A A1 2 A ( n n ³ 3) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của

đa giác; gọi ,1euri £ £i n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IA i

uuur Chứng minh rằng

Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi B i i, =1, 2, ,n là các tiếp điểm

đường tròn nội tiếp với cạnh A A i i+1

HC=HC BC=b , Suy ra

Mà b2+ = và IH c2 a2 uur=- IAuur nên suy ra

 Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AMuuuur r=a trong đó điểm A và ar đã biết Khi

đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AMuuuur r=a, để dựng điểm M ta lấy A làm gốc

dựng một vectơ bằng vectơ ar suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M

 Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

M nằm trên tia AB và AM=3AB

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M N P sao cho , ,

a) 2MAuuur uuur uuur+MB+MC=0r

A M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC

B M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB

C M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC

D M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC

b) NAuuur uuur uuur uuur+NB+NC+ND=0r

A N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD

B N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD

C N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC

D N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD

c) 3PAuuur uur uuur uuur r+PB+PC+PD=0

A P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác ACD

B P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác BAD

C P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác BCD

D P là trung điểm AG, G là trọng tâm tam giác ABC

Lời giải:

(hình 1.22)

a)

Gọi I là trung điểm BC suy ra

2

MB+MC= MI

uuur uuur uuur

Do đó 2MAuuur uuur uuur+MB+MC=0r

2MAuuur+2MIuuur r= Û0 MAuuur uuur r+MI=0

Suy ra M là trung điểm AI

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có

Û uuur uuur+ = Ûr N là trung điểm của KH

c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PBuur uuur uuur+PC+PD=3PGuuur

Suy ra 3PAuuur uur uuur uuur r+PB+PC+PD= Û0 3PAuuur+3PGuuur r=0

0

Û uuur uuur r+ = Û là trung điểm AG

Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a b+ ¹ 0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn a IAuur+b IBuur r=0

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thìa MAuuur+b MBuuur=(a b+ )MIuuur

Từ đó suy ra

P M N

H

I

K A

Bài 1.40: Xác định điểm M biết MAuuur+2MBuuur+3MCuuur=0r

Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết

)a IAuur- 2IBuur r=0

A I là điểm đối xứng của A qua B B.I là trung điểm AB

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

a MAuuur uuur+MB+ MCuuur=kMIuuur

A Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1

B Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4

C Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2

D Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3

c MAuuur+ MBuuur+ MCuuur- MDuuuur=kMIuuur

A k=3,IAuur=2uuurAB+3uuurAC- 4uuurAD B k=2, IAuur=2ABuuur+3ACuuur- 4ADuuur

C k=1, IAuur=2ABuuur+3ACuuur- 4ADuuur D k=4, IAuur=2ABuuur+3ACuuur- 4ADuuur

Lời giải:

Bài 1.42: a) Cho Mº ÞI IAuur uur+ +IB 2ICuur= Û0r IJur uur+IC=0r

Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC

k= uurAI= ABuuur uuur- AD

c) k=2, IAuur=2ABuuur+3ACuuur- 4ADuuur

Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c BC, =a CA, = Tìm điểm M sao chob

0

aMAuuur+bMBuuur+cMCuuur=r

A M trung điểm AB

B M trực tâm ABC

C M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức , ,a b g không đồng thời bằng không Chứng

Không mất tính tổng quát giả sử a b+ ¹ 0Þ $!D:a DAuuur+b DBuuur r=0.

Suy ra a MAuuur+b MBuuur+g MCuuur= Û0r (a b+ )MDuuuur+g MCuuur=0r

Do đó tồn tại duy nhất điểm M

b) Giả sử tồn tại điểm N và a ¹ 0

a

(mâu thuẫn với ABC là tam giác)

Bài 1.45: Cho n điểm A A1, 2, ,A và n số n k k1, 2, ,k mà n k1+ + + = ¹k2 k n k 0

a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao chok GA1uuur1+k GA2uuuur2+ + k GA nuuuur rn=0

Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A gắn với hệ số i k Trong trường hợp các hệ i

số k bằng nhau(ta có thể chọn các i k đều bằng 1 ) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm i A i

b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta có

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Đặt ar=uuur rAB b, =ACuuur.

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: 1 , 2

3

AM= AB CN= BC

uuuur uuur uuur uuur

b) Hãy phân tích CM AN MNuuur uuur uuuur, ,

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM=3CM, trên đoạn AM lấy

N sao cho 2AN=5MN G là trọng tâm tam giác ABC

a) Phân tích các vectơ uuuur uuurAM BN,

qua các véc tơ ABuuur và ACuuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai

b) Phân tích các vectơ GC MN,

uuur uuuur

qua các véc tơ GAuuur và GBuur

A GCuuur=- GA GBuuur uur- B 1 1

uuuur uuur uur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GCuuur uur uuur r+ + =0 suy ra GCuuur=- GA GBuuur uur

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh

AB và CD sao cho AB=3AM CD, =2CN và G là trọng tâm tam giác MNB Phân tích các vectơ AN MN AG, ,

uuur uuuur uuur

qua các véc tơ ABuuur và ACuuur

M

Hình 1.25

Vì G là trọng tâm tam giácMNB nên

a) Biểu diễn các vectơ AP AN AMuuur uuur uuuur, ,

theo các vectơ ABuuurvà ACuuur

uuuur uuur uuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai