BAI TAP DAI SO HIEN DAI

Kiến thức: Đại số con: Cho đại số Xtrên vành R, A là tập con của X.. Một trường P gọi là nguyên tố nếu P không có trường con thực sự.. Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt.. Định

BÀI TẬP ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

Bài tập 1 Cho đại số đa thức Đ trên trường số thực Chứng minh

C f x  x f x a a x  a x là đại số con của Đ với phép toán trên Đ

Kiến thức:

Đại số con: Cho đại số Xtrên vành R, A là tập con của X Khi đó

,

D

A

 



    







Giải

+ 1 1x 00x10x2  0x2k   G C

0 2 2k k; 0 2 2k k

f x a x a x  a x g x b x b x  b x

f x g x  a b x  a b x   a b x C

    t t

f x g x c x , trong đó 2 2

2 2

t i j

i j



Tích f x g x chỉ có hệ số mũ chẳn (hệ số mũ lẻ bằng 0)    

    t t

f x g x c x C

+ Tác động:

 

,

0 2 2k k

f x a x a x  a x

rf x r a x r a x r a x C

Bài tập 2 Chứng minh một nhóm hữu hạn cấp n đều nhúng đơn cấu vào một nhóm

phép thế bậc n

Giải

Cho Xlà một nhóm bất kỳ, P X( )là nhóm tất cả các song ánh từ X X Khi đó phép

S F

G

f

a



trong đó h a:X X khi đó phép J là một đơn cấu nhóm.”

x h x a( )ax

Chứng minh:

(1) h alà một song ánh X  X

+ ánh xạ: axlà duy nhất (trong nhóm X)

+ đơn ánh: Nếu có axay, do trong nhóm có luật giản ước  x y

+ Toàn ánh: Lấy bất kỳ y X ax  y x a y1

Lấy xa y1 X thì 1 1

( ) h ( ) ( )

(2) Jlà đơn cấu

+ J là ánh xạ: mỗi a có duy nhất h a

+ Đồng cấu: J ab( )h h a b Thật vậy:

( )

a b

ab a b

+ Jđơn cấu: Nếu có h a  h b h e a( )h e a( )h e b( )aebe a b

Vậy Jlà một đơn cấu nhóm

Bài tập 3 Định nghĩa nhóm tự do Chứng minh với tập S bất kì luôn tồn tại nhóm tự

do sinh bởi S

Giải

Định nghĩa

Nhóm tự do: Cho tập S ta gọi nhóm tự do sinh bởi S (nhóm

tự do trên S ) là nhóm F và 1 ánh xạ f: S  F thỏa mãn:

+ nhóm G

+ ánh xạ g: S  G

Luôn  duy nhất đồng cấu nhóm h F :  G để biểu đồ trên giao hoán

Tức là hf  g

Định lý  của nhóm tự do

Định lý :  tập hợp S luôn tồn tại nhóm tự do sinh bởi S

Chứng minh: Xét tập T  SX  1; 1  (tích Đề -các)

Ký hiệu phần tử  x ,1  T là x1 (hay  1

,1

x  x )

 x , 1    T là x1 (hay   1

, 1

x   x ) Gọi e là tập hợp các bộ hữu hạn phần tử của T

E  x x  x x  T   

Ta gọi: 1

1 n

n

x x

  là một từ của E

Định nghĩa “từ” rút gọn: Trong các từ của E nếu xuất hiện 2 phần tử đứng cạnh nhau giống nhau về cơ số và khác nhau mũ thì bỏ đi(dạng x x1 1 hay y y1 1 ta bỏ đi

Từ  : là từ không có phần tử nào(độ dài=0)

Xác định tập F  {từ   , từ rút gọn của E }

Mục đích xây dựng F là nhóm tự do sinh bởi S

Phép toán trên F : lấy u v ,  F thì tính uv:

Nếu u là từ rỗng thì u v  v

Nếu v là từ rỗng thì u v  u

.

u v   thì u v là viết tiếp liên tục nhưng nếu xuất hiện các phần tử dạng

,

x x y y thì bỏ đi

VD: u  x y z v1 1 1,  t y1 1

1 1 1 1 1

u v x y z t y

1 1 1 1 1 1

,

u  x y z v  z t x 

1 1 1 1

uv x y t x 

Dễ kiểm tra F với phép toán trên là nhóm:

Kết hợp

Đơn vị là từ rỗng

Kiểm tra F thỏa mãn nhóm tự do sinh bởi S (theo định nghĩa)

Xác định ánh xạ

1

:



Kiểm tra F và f thỏa mãn định nghĩa nhóm tự do

Bài tập 4 Chứng minh chỉ có hai loại nhóm Xyclic hoặc là    hoặc là  n Giải

Nhóm xyclic G hoặc có cấp hữu hạn n hoặc có cấp vô hạn Nếu:

i G có cấp hữu hạn n thì G n

ii G có cấp vô hạn thì G

Thậy vậy,

i Cho G xk / k

Do G có cấp n G e x x0; ; ,1 xn 1

Lập:

:

n k

f G

Khi đó f là đẳng cấu Do đó G n

ii Do G có cấp vô hạn xn e n , 1 nên xn xm, n m

Khi đó: G , x t; x t 1, , x 1; x0 e x ; ; , ; 1 xt t

Lập: :

k

f G

Khi đó f là đẳng cấu Do đó G

Vậy chỉ có hai loại nhóm xyclic (hoặc hoặc n )

Bài tập 5 Định nghĩa trường nguyên tố Cho ví dụ Chứng minh chỉ có hai loại

trường nguyên tố

Định nghĩa trường nguyên tố

ĐN(1) Cho trường E, tập con K của E được gọi là trường con của E nếu:

K  

a b K; a b, K

ab1K; a b, K

ĐN(2) Một trường P gọi là nguyên tố nếu P không có trường con thực sự

Ví dụ trường nguyên tố

VD(1) Trường là trường nguyên tố

VD(2) Trường p là trường nguyên tố ( p là số nguyên tố)

Định lý

Cho P là trường nguyên tố thì P thuộc một trong hai loại:

+ Loại 1 P có đặc số 0 thì P

+ Loại 2 P có đặc số khác 0 thì P p (p nguyên tố)

Chứng minh định lý ( chỉ có hai loại trường nguyên tố)

Gọi E là đơn vị của P; ký hiệu Ene n/  ; kiểm tra được E là vành giao hoán có đơn vị là 1e e và không có ước của 0 E là miền nguyên  E K ( trường K trường các thương của E)

Trường hợp 1

Nếu P có đặc số 0 ne  0, n * E ;

Mà có trường các thương là trường hữu tỉ ; E có trường các thương là trường K K

 

K là trường con của P, p nguyên tố K P

Vậy P hay P là trường loại 1

Trường hợp 2

P có đặc số p (p nguyên tố)

0

pe

  và p bé nhất  E 0;1 ;2 ; ;e e p1e E p

Mà p là trường

E

 là trường và E P p, nguyên tố  E P

Vậy P p hay P là trường loại 2

Bài tập 6 Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt Ví dụ Chứng minh nếu mở

rộng K của E hữu hạn  K E: n thì mọi phần tử thuộc K là đại số trên E

Giải

Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt? Cho ví dụ

Cho trường E và E K, phần tử a

Được gọi là đại số trên E nếu a là nghiệm của đa thức hệ số thuộc E tức là a là nghiệm của phương trình:

Được gọi là siêu việt trên E nếu a không phải là đại số trên E ( không phải là nghiệm của một đa thức thuộc E[x] )

Ví dụ: Xét trường Q ( E= Q) và R mở rộng của Q thì:

Các số √ , √ ,….là đại số trên Q

Các số là siêu việt trên Q

Chứng minh rằng nếu mở rộng K của E là hữu hạn ( [ K : E ] = n ) thì với mọi phần tử thuộc K là đại số trên E

Trong không gian vector K xét hệ vector: , a , ,…, , (*) là hệ có

n+1 vector trong không gian n chiều Suy ra hệ (*) là phụ thuộc tuyến

tính ( trong không gian vector n chiều hệ n+1 vector luôn phụ thuộc tuyến tính)

Suy ra bộ hệ số , để

Suy ra a là nghiệm của phương trình phương trình có hệ số thuộc E

 a đại số trên E

Bài tập 7 Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin cho là mô-đun Hỏi

có Noether không? có Artin không?

Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin

Cho mô-đun R M

+ M được gọi là Noether nếu với mọi chuỗi tăng các mô-đun con của M đều dừng

Tức là với mọi chuỗi tăng A1A2   A n  trong đó

m i

A M thì tồn tại k để

,

k k t

A A  t

+ M được gọi là Artin nếu với mọi chuỗi giảm các mô-đun con của M đều dừng Tức

là B1B2  B n trong đó

m i

B M đều tồn tại l  *

l để A l A l t, t

có Noether không? có Artin không?

Chứng minh là Noether

Mô-đun con của có dạng m , m

Nếu có dãy tăng bất kì các mô-đun con của là

 

n n n  n 

2; ; ; ; 3 t

mà n1là số tự nhiên nên có hữu hạn các ước

dãy  * phải dừng

Vậy là Noether

Chứng minh không là Artin

Chọn dãy giảm bất kì các mô-đun con của là 2 22 23  2n 

Thấy 2;2 ;2 ; ;2 ; 2 3 n là dãy giảm không bị chặn

2 2 2  2n  là dãy giảm không dừng

Vậy không là Artin

Bài tập 8 Định nghĩa đại số, đại số con, iđêan của đại số Cho ví dụ

Giải

Định nghĩa (đại số)

Cho vành R giao hoán đơn vị ký hiệu 1, tập X được gọi là đại số trên vành R nếu X

có ba phép toán:

(i) Cộng trong X : x y X

(ii) Nhân trong X : xyX

(iii) Tác động: R X X

 r x, rx

Thỏa mãn:

ĐK1: Xđối với phép cộng và phép nhân là vành

X và (i) + (ii) =vành

ĐK2: Xlà _R môđun với cộng và tác động

X và (i) + (ii) =môđun

ĐK3: r xy    rx y; rs xr sx 

Ví dụ (đại số)

(a) Cho X vành bất kì đơn vị 1 và

v

RX , 1 R sao cho     R, x X có

   là vành giao hoán có đợn vị là 1

Khi đó X là đại số trên R

Với cộng: là phép cộng của vành X

Nhận: là phép nhân của vành X

Tác động: R X X

 r x, rx

thì rx chính là : Phép nhân trong vành X

Kiểm tra được

+Xlà vành (giả thiết)

+ Cộng và tác động biến Xlà _R môđun

+ Thỏa r xy    rx y là tính chất kết hợp của vành X

Định nghĩa (Đại số con)

Cho đại số X trên vành R, A tập con của Xkhi đó:

, , , , , ,

D

A

 



    







Định nghĩa (Iđêan)

Cho đại số ,X I tập con của X, Iđược gọi là Iđêan của X nếu:

+

m

Imôđun X

+ I vành X

Kí hiệu: I X

1 R

, , , , , , ,

I

I X

 









VD: Cho Xlà vành giao hoán có đơn vị là 1, I X (Ilà Iđêan của X ) thế thì

(i)X là đại số trên chính nó

(ii)I là đại số con củaX

Chứng minh: Xlà đại số trên X

x y X x y X xy X

       X là vành

Tác động X X X

 r x, rx : Nhân trên X

Suy ra: Phép cộng và tác động biến X thành X _môđun Xvà thỏa điều kiện tính chất kết hợp của phép nhân: r xy    rx y

Chứng minh: Ilà đại số con của X

0   I I

I là Iđêan của vành X    a b I, a b, I

I là iđêan của vành X   r X a, I có raI mà I  X

…

Bài tập 9 Mô tả đại số ma trận M n R và đại số đa thức ĐR x  với Rlà vành giao hoán có đơn vị là 1

Giải

Mô tả đại số ma trận M n R

    ij ; ij 

M R  a a  tập các ma trận cấp n phần tử thực

Bài tập 10 Với một phần tử tùy ý acủa một vành đã choX idean I a   của X

sinh ra bởi đơn tập   a gọi là gọi là idean chính của X Thử nghiệm rằngI   0  0

, vàI   1  X , trong đó 0 là phần tử không, 1là phần tử đơn vị (nếu có của vànhX

) Nếu mọi idean của X đều là idean chính thì ta nói rằngXlà một vành chính (vành idean chính) Chứng minh rằng vành với tất cả các số nguyên là chính

Ta chứng minh vành số nguyên là vành chính

Giả sử I là một idean của

NếuI  {0} thì I là idean sinh bởi {0}

Nếu I  {0} Giả sử a là một số nguyên dương bé nhất của Ivà   b I

Ta giả sử b  0( nếu b  0thì   b 0và   b I ta lấy  b)

Ta lấy b chia cho a, ta được: b  aq r  với rlà số dư và 0 r   a

Mà r   b aq  I Nếu r  0thì a không phải là số nguyên dương bé nhất của I

(mâu thuẩn) Dó đór  0và b  aqtức là I  a là idean sinh ra bởi a

Vậy là vành chính, mọi idean của nó đều có dạng n

Bài tập 11 Giả sử K là một iđêan của một vành R với đơn vị là 1 và x là một phần

tử đã cho của một mô-đun X trên R Chứng minh: AKx  x/ K của X là một mô-đun con của X

Kiến thức

Cho R là vành tùy ý, M là mô-đun trên R, N M N là mô-đun con của M khi: + N  

+ R x y; , N ta có x y N; xN

Giải

+ K là một iđêan của một vành R K là vành con của R; K vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R

+ x R, ta có x    1x A A

+  1, 2 K  1, 2R; 1  

2

, a x









Ta có: a b 1x2x  1 2xA

  K; a     x   xA

Kết luận: AKx  x/ K của X là một mô-đun con của X

Bài tập 12 Chứng minh rằng giao của một họ bất kì những đại số con của một họ

đại số X trên R là một đại số con của X Do đó, với một tập con bất kì S của X, tồn tại một đại số con nhỏ nhất của X chứa S, đại số con này gọi là đại số con của X sinh ra bởi S Chứng minh đại số đa thức R t được sinh ra bởi 1 và t  

+ Gs A A1, 2, , An, là họ các Đại số con của đại số X

Đặt G  A1 A2 An

Ta có: Ai là đại số   i N*  1  Ai,  i N* 1 G     G

    Ta có: a b ,  Ai,  i N* mà Ai là đại số con của X nên

; ;

a b a b ra  đều thuộc Ai,  i N* Suy ra : a b a b ra G  ; ;  Vậy G là đại số

con của X

Đặt S    1 ; t Ta có : S  R t  

Gs A là đại số con của đại số R t   sinh bở S

Với mọi f t    R t   Ta có :   2

f t  a  a t  a t   a t ,     ai R , i 1 n

Ta có: A là đại số sinh bởi 1 và t trên vành R

Suy ra : ai  a1.1  A,  i 0 n và ti  t t t  A,  i 1 n (i thừa số t)

i

a t  A ,   i 1 n

f t  a  a t  a t   a t  A (Vì A là đại số )

Vậy R t    A (đpcm)