VECTO TÍCH của một VECTƠ với một số (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong ta

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Tích của vectơ a

r với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka

r, cùng hướng với cùng hướng với a

r nếu k > , ngược hướng với 0 a

r nếu k < và có độ dài 0bằng k a

0v) 1 , ( 1)

=êë

4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho ar không cùng phương br Với mọi vectơ xr luôn được biểu diễn x= ma+ nb

với ,

m n là các số thực duy nhất

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số

1 Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ

để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức

lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm BC tính độ dài của

uuur uuur uuur uuur

suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 1

2

2AB+ AC= AN+ AQ= AP

uuur uuur uuur uuur uuur

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

MN ACÞ ANL= MNB=CAB=

Hình 1.14

r uuur uuur uuur uuuur

không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tính độ dài vectơ u

r

Lời giải:

(Hình 1.15)

a) Gọi O là tâm hình vuông

Theo quy tắc ba điểm ta có

-r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuur uuur uuur uuur

không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Lấy điểm A' trên tia OAsao cho OA'= 3OA khi đó

B A'

Hình 1.15

Gọi I là hình chiếu của E lên AC

r uuur uuur uuur uuuur

không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tính độ dài vectơ u

Lời giải:

Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông

Theo quy tắc ba điểm ta có

-r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuur uuur uuur uuur

M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ MAuuur+ MBuuur = 0r

M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ OAuuur+ OBuuur= 2OMuuur (Với O là điểm tuỳ ý)

• Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác ABC Û GA

uuur+GB

uur+GC

uuur+OC

uuur

=OG

uuur(Với O là điểm tuỳ ý)

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung

điểm của IJ Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur uur ur uur

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI+ BI= 0, JC+ JD= 0

uur uur r uur uur r

Vậy AC+ BD= (AI+ BI) (+ JC+ JD)+ 2IJ= 2IJ

uuur uuur uur uur uur uur ur ur

đpcm

b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA+ OB= 2OI OC, + OD= 2OJ

uuur uuur uur uuur uuur uur

Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI+ OJ= 0

uuur uuur uuur uuur r

do đó với mọi điểm M thì

O

J

I A

B

Hình 1.16

14

uuur uuur uuur uuur r

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

4

MA MB MC MD MO

Û uuur+ uuur+ uuur+ uuuur= uuuur đpcm

Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A B C1 1 1 có cùng trọng tâm G Gọi G G G1, 2, 3 lần lượt

là trọng tâm tam giác BCA ABC ACB1, 1, 1 Chứng minh rằng GG1+ GG2+ GG3 = 0

uuuur uuuur uuuur r

Lời giải:

Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1= GB GC+ + GA1

uuuur uur uuur uuur

Tương tự G G2, 3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC ACB1, 1 suy ra

3GG = GA+ GB GC+

uuuur uuur uur uuur

và 3GG3 = GA+ GC+ GB1

uuuur uuur uuur uuur

Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có

GG +GG + GG = GA+ GB GC+ + GA + GB + GC

uuuur uuuur uuuur uuur uur uuur uuur uuur uuur

Mặt khác hai tam giác ABC và A B C1 1 1 có cùng trọng tâm G nên

giác ABC vuông

Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là

điểm đối xứng của A qua O khi đó

/ /

BH DC (vì cùng vuông góc với AC)

/ /

BD CH (vì cùng vuông góc với AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB+ HC= HD

uuur uuur uuur(1)

Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA+ HD= 2HO

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

H O

A

D

Hình 1.17

OA OB OC OH

Û uuur+ uuur+ uuur= uuur đpcm

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA OB OC+ + = 3OG

uuur uuur uuur uuur

Mặt khác theo câu b) ta có OA+ OB+ OC= OH

uuur uuur uuur uuur

Suy ra OHuuur = 3OGuuur Û (OGuuur+ GHuuur)- 3OGuuur= 0r Û GHuuur+ 2GOuuur= 0r

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB= c BC, = a CA, = b và có trọng tâm G Gọi , ,D E F

lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC CA AB , ,

Vậy (*)Û GNuuur+GP GQuur+ uuur= 0r

Ta có AC= GP= b PR, = BC= a và ·ACB= GPR· (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau) Suy ra DACB= DGPR c g c( )

R G

Hình 1.18

I A

uur uur uur uur

uur uur uur

Do I là chân đường phân giác nên ta có :

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với

BI cắt AI tại A’

Ta có IC= IA'+ IB'

uur uuur uur

(*) Theo định lý Talet và tính chất đường

phân giác trong ta có :

B'

C'

Hình 1.20

uuur uuur uuur

Bài 1.29: Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam

uuur uuur uuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

b) với M là trung điểm của BC

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC Chọn khẳng định đúng?

N

M P

A

Hình 1.49

uuuur uuur uuur uuuur

Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB C D có chung đỉnh A Chọn khẳng ' ' 'định đúng?

A B B CC' + '+ D D' = AB'

uuur uuur uuuur uuur

B B B CC' + '+ D D' = AC'uuur uuur uuuur uuuur

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O M là điểm tùy ý trong tam giác Hạ MD, ME,

MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB Chọn khẳng định đúng?

Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song

với các cạnh  ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các

điểm như hình vẽ Dễ thấy ta có các tam giác đều

uuuur uuur uuur uuuur

Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Một đường thẳng D là đường thẳng bất

kỳ Gọi G là trọng tâm ABCD và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,

B, C, G lên đường thẳng V Chọn khẳng định đúng?

A AA'+ BB'+CC'= GG'

uuuur uuur uuur uuur

B AA'+ BB'+CC'= 2GG'uuuur uuur uuur uuur

ur ur nên u = 0

r r

E F

Hình 1.50

M P

A

I D

E F

Hình 1.51

Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB= c BC, = a CA, = b Gọi I là tâm và D, E, F

lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC M, N,

P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:

a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABCD ta có

cot cot ; cot cot ; cot cot

Theo ví dụ 5 ta có aIA+ bIB+ cIC= 0

uur uur uur r

uuur uur uur uur uur uur uur uur uur

Theo câu a) ta có cot ( ) cot ( ) cot ( ) 0

IB+ IC + IA+ IC + IA+ IB =uur uur uur uur uur uur r

Suy ra cot cot cot 0

uur uur uur r

aIA bIB cIC aAD bBE cCF

Bài 1.36: Cho tam giác ABC M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác Chứng minh rằng :

Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh

Bài 1.37: Cho đa giác lồi A A1 2 A n(n ³ 3); euri,1£ £i n là vectơ đơn vị vuông góc với

Gọi er là vectơ đơn vị vuông góc với A A1 k-1 và hướng

ra ngoài tam giác A A1 k-1A k

Theo giả thiết quy nạp ta có

Bài 1.38: Cho đa giác lồi A A1 2 A n(n ³ 3) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của

đa giác; gọi euri,1£ £i n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IA i

uuur Chứng minh rằng

Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi B i i, = 1, 2, ,n là các tiếp điểm

đường tròn nội tiếp với cạnh A A i i+1

suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M

• Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

A M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC

B M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB

C M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC

D M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC

Hình 1.21

b) NA+ NB+ NC+ ND= 0

uuur uuur uuur uuur r

A N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD

B N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD

C N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC

D N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD

c) 3PA+ PB+ PC+ PD= 0

uuur uur uuur uuur r

A P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD

B P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD

C P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD

D P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC

uuur uuur uuur r

2MAuuur+ 2MIuuur= 0r Û MAuuur+ MIuuur= 0r

Suy ra M là trung điểm AI

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có

c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB+ PC+ PD= 3PG

uur uuur uuur uuur

Suy ra 3PAuuur+ PBuur+ PCuuur+ PDuuur= 0r Û 3PAuuur+ 3PGuuur= 0r

0

Û uuur+ uuur= r Û là trung điểm AG

Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a+ b¹ 0 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn a IA+ b IB= 0

uur uur r

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thìa MA+ b MB= (a+ b)MI

uuur uuur uuur

3 Bài tập luyện tập

Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA+ 2MB+ 3MC= 0

uuur uuur uuur r

Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

A Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1

B Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4

C Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2

D Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3

Bài 1.42: a) Cho Mº IÞ IAuur+ IBuur+ 2ICuur= Û0r IJur+ ICuur= 0r

Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC

C M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức , , a b g không đồng thời bằng không Chứng minh rằng:

a) Nếu a+ + ¹b g 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho a MA+ b MB+ g MC= 0

uuur uuur uuur r

b) Nếu a+b+g= 0 thì không tồn tại điểm N sao cho a NA+ b NB+ g NC= 0

uuur uuur uuur r

Lời giải:

Bài 1.44: a) Vì a+ + ¹b g 0Þ (a + b) (+ b+ g) (+ g+ a)¹ 0

Không mất tính tổng quát giả sử a + b ¹ 0Þ $!D:a DAuuur+ b DBuuur= 0.r

Suy ra a MAuuur+ b MBuuur+ g MCuuur= 0r Û (a+ b)MDuuuur+ g MCuuur= 0r

Do đó tồn tại duy nhất điểm M

b) Giả sử tồn tại điểm N và a ¹ 0

Ta có a NA b NB g NC 0 CA b CB

a

-uuur uuur uuur r uuur uur

(mâu thuẫn với ABC là tam giác)

Bài 1.45: Cho n điểm A A1, 2, ,A n và n số k k1, 2, ,k n mà k1+ k2+ + k n= ¹k 0

a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao chok GA1 1+ k GA2 2+ + k GA n n= 0

Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A i gắn với hệ số k i Trong trường hợp các hệ

số k i bằng nhau(ta có thể chọn cáck i đều bằng 1 ) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm A i

b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta có

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur r

uuur uuuur uuuur uuuur

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM= 3CM, trên đoạn AM lấy

N sao cho 2AN= 5MN G là trọng tâm tam giác ABC

A

M

Hình 1.23

uuur uuur uuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai

uuuur uuur uur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai

uuur uuur uuur uuur uuur

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA+ GB GC+ = 0

uuur uur uuur r

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh

AB và CD sao cho AB= 3AM CD, = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB Phân tích

N

A

B G

M

Hình 1.25

a) Biểu diễn các vectơ AP AN AM, ,

uuur uuur uuuur

uuuur uuur uuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A,B đều sai

Bài 1.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA= 2IB, 3JA+ 2JC= 0

uur uur uur uur r

uur uuur uuur ur uur

suy ra IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 1.48 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho

2CI= 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB= 2JC

uur uuur uuur

C Cả A,B đều đúng D.Cả A, B đều sai b) Hãy phân tích AG

uuur theo AI

uur

và AJ

uur

uur uur uuur uur uuur uur uur uuur uuur

b) Gọi M là trung điểm BC, ta có:

35 1

48 16

Þ uuur = uur- uur

Bài 1.49: Cho hai vectơ a b,

r r không cùng phương Tìm x sao cho a) u= a+(2x- 1)b

x x

é = êê

-ê =êë

C

112

x x

é = êê

ê = êë

-D

112

x x

é =êê

ê =êë

x x

é = êê

-ê =êë

C

112

x x

é = êê

ê = êë

1

2

x kx

2

3( )3

ïî

 DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm

1 Phương pháp giải

• Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1: Chứng minh A A =uuuuur1 2 0.r

Cách 2: Chứng minh OA1= OA2

uuuur uuuur

với O là điểm tuỳ ý

• Để chứng minh hai tam giác ABC và ' ' ' A B C cùng trọng tâm ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm ABCD trùng với 'G là trọng tâmDA B C' ' '

Cách 2: Gọi G là trọng tâm ABCD (tức ta có GA+ GB GC+ = 0

uuur uur uuur r

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra AI= ID CJ, = JB

uur uur uur uur

Do đó ABuuur= CDuuurÛ AIuur+ IJur+ uurJB= CJuur+ urJI+ IDuur

AB = suy ra AM= kAB BN ; = kBC CP ; = kCA

uuuur uuur uuur uuur uur uuur

Tương tự BG+GG'+ G N' = kBC

uuur uuur uuuur uuur

Và CG+ GG'+ G P' = kCA

uuur uuur uuuur uuur

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được

(AG+ BG+ CG)+ 3GG'+ (G M' + G N' + G P' ) (= k AB+ BC+ CA)

uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur

Kết hợp với (*) ta được GG =uuur' 0r

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA+ GB GC+ = 0

uuur uur uuur r

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF Gọi M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các , , , , ,cạnh AB BC CD DE EF FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và , , , , , NQS có cùng trọng tâm

Lời giải:

(hình 1.26)

Gọi G là trọng tâm của MPRD suy ra GM+ GP+GR= 0

uuur uur uuur r

(*) Mặt khác 2GM= GA GB+ ,

uuur uuur uuur

2GP= GC GD+ ,uur uuur uuur

B

A

D C

Hình 1.26

uuur uur uur uuur uuur uur r

uur uuur uuur r

uur uuur uuur r

Suy ra G là trọng tâm của DSNQ

Vậy MPRD và DSNQ có cùng trọng tâm

Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB C D chung ' ' '

đỉnh A Chứng minh rằng hai tam giác BC D và '' B CD cùng '

trọng tâm

Lời giải:

(hình 1.27)

Gọi G là trọng tâm tam giác BC D suy ra ' GB GC+ '+ GD= 0

uur uuur uuur r

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AC- AC- AC'+ AC= 0

uuur uuur uuuur uuur r

(2)

Từ (1) và (2) ta có GB'+GC+GD'= 0

uuur uuur uuuur r

hay G là trọng tâm tam giác 'B CD '

3 Bài tập luyện tập

Bài 1.50 Cho các tam giác ABC A B C có G, G’ lần lượt là trọng tâm Chứng minh , ' ' 'rằng: AA'+ BB'+ CC'= 3GG'

uuuur uuur uuur uuur

Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm

C' D'

Hình 1.27

uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là AA'+ BB'+ CC'= 0

uuuur uuur uuur r

Bài 1.51 Cho tam giác ABC , vẽ các hình bình hành ABIJ BCPQ CARS , ,

Chứng minh rằng DRIP,DJQS có cùng trọng tâm

uuur uur uur uur uuur uuur r

Suy ra GR GIuuur+ uur+ GPuur= GJuur+ GQ GSuuur+ uur Þ GJuur+ GQ GSuuur+ uur = 0r

Do đó G là trọng tâm DJQS

Bài 1.52 Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng

của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và

Û uuur+ uuur+ uuur= r Û r = r (đúng)

Bài 1.53 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r

Suy ra GA GNuuur+ uuur+GPuur= GCuuur+GMuuur+GQuuurÞ GCuuur+GMuuur+GQuuur= 0r